明辨知識(shí) 清晰解題

薛燕

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，下面就結(jié)合例題對(duì)本章所涉及的幾個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行辨析.

一、 關(guān)于柱體、錐體、球體

【相關(guān)知識(shí)】 在常見幾何體中，柱體包括棱柱和圓柱；錐體包括棱錐和圓錐.

例1 將圖1中的幾何體進(jìn)行分類，并說明理由.

【分析】 分類首先要確定標(biāo)準(zhǔn)，可以按組成幾何體的面的平或曲來劃分，也可以按柱、錐、球來劃分.

（1） 長方體是由平面組成的，屬于柱體. （2） 三棱柱是由平面組成的，屬于柱體. （3） 球體是由曲面組成的，屬于球體. （4） 圓柱是由2個(gè)平面和1個(gè)曲面組成的，屬于柱體. （5） 圓錐是由1個(gè)曲面和1個(gè)平面組成的，屬于錐體. （6） 四棱錐是由平面組成的，屬于錐體. （7） 六棱柱是由平面組成的，屬于柱體.

若按組成幾何體的面的平或曲來劃分：（1）（2）（6）（7）是一類，組成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一類，組成它的面至少有一個(gè)是曲面；

若按柱、錐、球來劃分：（1）（2）（4）（7）是一類，即柱體；（5）（6）是一類，即錐體；（3）是球體.

【總結(jié)】 將幾何體進(jìn)行分類，方法并不唯一，只要能說明分類的理由即可. 但要注意：按某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類時(shí)，要做到不重不漏. 分類標(biāo)準(zhǔn)不同時(shí)，分類的結(jié)果也不盡相同.

二、 關(guān)于圖形的運(yùn)動(dòng)

【相關(guān)知識(shí)】 ① 點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體；② 常見的圖形運(yùn)動(dòng)方式：平移、翻折、旋轉(zhuǎn).

例2 （2013·南寧）如圖2所示，將平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是（ ）.

A B C D

【分析】 半圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球體. 故選A.

【總結(jié)】 圓柱可以看成是一個(gè)矩形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而得到；圓錐可以看成是一個(gè)直角三角形繞著它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而得到；球可以看成是一個(gè)半圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周而得到.

三、 關(guān)于幾何體的展開與折疊

【相關(guān)知識(shí)】 ① 棱柱的特點(diǎn)：棱柱的上下底面是完全相同且互相平行的多邊形，棱柱的側(cè)棱長都相等；② 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，相鄰兩邊長分別是圓柱的高和圓柱底面圓的周長；③ 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，扇形的弧長是圓錐底面周長.

例3 （2013·菏澤）下列圖形中，能通過折疊圍成一個(gè)三棱柱的是（ ）.

A B C D

【分析】 A：另一底面的三角形是直角三角形，兩底面的三角形不全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B：折疊后兩側(cè)面重疊，不能圍成三棱柱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：折疊后能圍成三棱柱，故本選項(xiàng)正確；D：折疊后兩側(cè)面重疊，不能圍成三棱柱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選C.

【總結(jié)】 本題考查了三棱柱表面展開圖，上、下兩底面應(yīng)在側(cè)面展開圖長方形的兩側(cè)，且是全等的三角形，不能有兩個(gè)側(cè)面在兩三角形的同一側(cè).

例4 （2012·吳江）把下面的硬紙板，按照虛線折疊，能圍成一個(gè)正方體的是（ ）號(hào)圖形.

【分析】 若按虛線折疊，A、C、D都有面會(huì)重合，故選B. 本題也可通過找對(duì)面的方法來解決.

【總結(jié)】 本題考查正方體的展開圖. 意在訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力和空間想象能力. 想象不出時(shí)，動(dòng)手折疊一下，也有助于問題的解答.

例5 （2014·西寧）如圖是每個(gè)面上都有一個(gè)漢字的正方體的一種平面展開圖，那么在原正方體中和“國”字相對(duì)的面是（ ）.

A. 中 B. 釣

C. 魚 D. 島

【分析】 由圖形可知，與“中”字相對(duì)的字是“的”，與“釣”字相對(duì)的字是“島”，與“國”字相對(duì)的字是“魚”.

【總結(jié)】 本題考查了正方體的平面展開圖上相對(duì)的兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問題. 想象不出的可以通過動(dòng)手操作來解決問題.

四、 關(guān)于三視圖

【相關(guān)知識(shí)】 一般地，我們把從正面看到的圖形稱為主視圖；從左面看到的圖形稱為左視圖；從上面看到的圖形稱為俯視圖.

例6 （2014·遂寧）一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，這個(gè)幾何體是（ ）.

A. 棱柱 B. 圓柱

C. 圓錐 D. 球

【分析】 根據(jù)主視圖和左視圖均為矩形可以判斷幾何體是柱體，根據(jù)俯視圖是圓可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是圓柱. 故選B.

【總結(jié)】 這類題目的解決方法一般先由主視圖和左視圖確定是柱體、錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀.

例7 如圖4是一個(gè)由若干個(gè)小正方體搭成的幾何體的俯視圖，其中小正方形格內(nèi)的數(shù)字是該位置小正方體的層數(shù)，請(qǐng)你畫出它的主視圖和左視圖.

【分析】 如右圖所示，從俯視圖可以看出主視圖共四列，第一列最高一層，第二列最高兩層，第三列最高三層，第四列最高一層，從而確定主視圖的形狀.在左視圖中共三行，第一行最高三層，第二行最高兩層，第三行最高一層，從而確定左視圖的形狀. 主視圖和左視圖如圖6所示.

【總結(jié)】 本題考查幾何體的三視圖畫法. 由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字. 左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.

總之，本章知識(shí)點(diǎn)較多，同學(xué)們要正確理解各知識(shí)點(diǎn)，提高解題的效率和正確率.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）