方程發(fā)展史

宋子君

古代中國是一個在世界上數(shù)學(xué)領(lǐng)先的國家，用近代科目來分類的話，可以看出在算術(shù)、代數(shù)、和幾何各方面都十分發(fā)達(dá). 現(xiàn)在就讓我們來簡單回顧一下初等數(shù)學(xué)在中國發(fā)展的歷史.

（一） 屬于算術(shù)方面的材料

大約在3 000年以前，中國已經(jīng)知道自然數(shù)的四則運(yùn)算，這些運(yùn)算只是一些結(jié)果，被保存在古代的文字和典籍中. 乘除的運(yùn)算規(guī)則在后來的《孫子算經(jīng)》（公元3世紀(jì)）內(nèi)有了詳細(xì)的記載. 中國古代是用籌來計數(shù)的，在我們古代人民的計數(shù)中，已利用了和我們現(xiàn)在相同的位率，用籌記數(shù)的方法是以縱的籌表示個位數(shù)、百位數(shù)、萬位數(shù)等，用橫的籌表示十位數(shù)、千位數(shù)等，在運(yùn)算過程中也很明顯地表現(xiàn)出來. 《孫子算經(jīng)》用十六字來表明它，“一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)”.

和其他古代國家一樣，乘法表的產(chǎn)生在中國也很早. 乘法表中國古代叫“九九”，估計在2 500年以前中國已有這個表，在那個時候人們便以“九九”來代表數(shù)學(xué). 現(xiàn)在我們還能看到漢代遺留下來的木簡（公元前1世紀(jì)）上面寫有九九的乘法口訣.

現(xiàn)有的史料指出，中國古代數(shù)學(xué)書《九章算術(shù)》（公元1世紀(jì)前后）的分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則是世界上分?jǐn)?shù)運(yùn)算方面最早的文獻(xiàn)，《九章算術(shù)》的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和現(xiàn)在我們所用的幾乎完全一樣.

古代學(xué)習(xí)算術(shù)也從量的衡量開始認(rèn)識分?jǐn)?shù)，《孫子算經(jīng)》（公元3世紀(jì)）和《夏侯陽算經(jīng)》（公元6、7世紀(jì)）在論述分?jǐn)?shù)之前都開始講度量衡，《夏侯陽算經(jīng)》卷上在敘述度量衡后又記著：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，萬乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，萬除退四等. ”這種以十的方冪來表示位率無疑的也是中國最早發(fā)現(xiàn)的.

在我國，小數(shù)很早就開始使用. 元朝（公元13世紀(jì)）時，劉瑾在《律呂成書》中提出了世界上最早的小數(shù)表示法，他把小數(shù)部分降低一格來表示. 如13.56作13 56. 公元3世紀(jì)《孫子算經(jīng)》的物不知數(shù)題發(fā)展到宋朝秦九韶（公元1247年）的大衍求一術(shù)，這就是中國剩余定理，相同的方法歐洲在19世紀(jì)才進(jìn)行研究.

宋朝楊輝所著的書中（公元1274年）有一個1-300以內(nèi)的因數(shù)表，例如297用“三因加一損一”來代表，就是說，297=3×11×9，（“11=10+1”叫加一，“9=10-1”叫損一）. 楊輝還用“連身加”這名詞來說明201-300以內(nèi)的質(zhì)數(shù).

（二） 屬于代數(shù)方面的材料

從《九章算術(shù)》卷八說明方程以后，在數(shù)值代數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)中國一直保持了領(lǐng)先的地位.

《九章算術(shù)》方程章首先解釋正負(fù)是確切不移的，正像我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時從正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算學(xué)起一樣，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)便豐富了數(shù)的內(nèi)容.

我們古代記載的方程在公元前1世紀(jì)的時候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種. 一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明. 不定方程的出現(xiàn)在兩千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比我們現(xiàn)在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年. 具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中國在公元7世紀(jì)的唐代王孝通《緝古算經(jīng)》已有記載，用“從開立方除之”而求出數(shù)字解答（可惜原解法失傳了），不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動他著作內(nèi)的一個字可酬以千金.

11世紀(jì)的賈憲已發(fā)明了和霍納（1786～1837）方法相同的數(shù)字方程解法，我們也不能忘記13世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家秦九韶在這方面的偉大貢獻(xiàn).

在世界數(shù)學(xué)史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來不得不提中國天元術(shù)的簡潔明了. 四元術(shù)是天元術(shù)發(fā)展的必然產(chǎn)物.

級數(shù)是古老的東西，兩千多年前的《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》都談到算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù). 14世紀(jì)初中國元代朱世杰的級數(shù)計算應(yīng)給予很高的評價，他的一些發(fā)現(xiàn)，歐洲在18、19世紀(jì)的著作內(nèi)才有記錄. 11世紀(jì)時，中國已有完備的二項式系數(shù)表，并且還有這表的編制方法.

歷史文獻(xiàn)揭示出在計算中有名的盈不足術(shù)是由中國傳往歐洲的.

內(nèi)插法的計算，中國可上溯到6世紀(jì)的劉焯，并且7世紀(jì)末的僧一行有不等間距的內(nèi)插法計算.

14世紀(jì)以前，屬于代數(shù)方面的許多問題的研究，中國是先進(jìn)國家之一.

18、19世紀(jì)由李銳（1773～1817），汪萊（1768～1813）到李善蘭（1811～1882），他們在這一方面的研究也都發(fā)表了很多的名著.

11世紀(jì)，阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根.

11世紀(jì)，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統(tǒng)研究三次方程的書《代數(shù)學(xué)》.

11世紀(jì)中葉，中國宋朝的賈憲在《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》中，創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”，并列出了二項式定理系數(shù)表，這是現(xiàn)代“組合數(shù)學(xué)”的早期發(fā)現(xiàn). 后人所稱的“楊輝三角”即指此法.

12世紀(jì)，印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書，是東方算術(shù)和計算方面的重要著作.

1202年，意大利的斐波那契發(fā)表《計算之書》，把印度—阿拉伯記數(shù)法介紹到西方.

1247年，中國宋朝的秦九韶著《數(shù)書九章》共十八卷，推廣了“增乘開方法”. 書中提出的聯(lián)立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年.

1248年，中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷，這是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”的著作.

1261年，中國宋朝的楊輝著《詳解九章算法》，用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級數(shù)之和.

1274年，中國宋朝的楊輝發(fā)表《乘除通變本末》，敘述“九歸”捷法，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法.

1280年，元朝《授時歷》用招差法編制日月的方位表（中國王恂、郭守敬等）.

14世紀(jì)中葉前，中國開始應(yīng)用珠算盤.

1303年，中國元朝的朱世杰著《四元玉鑒》三卷，把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”.

人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月，早在公元前2000年左右，居住在底格里斯河和幼發(fā)拉底河的古巴比倫人已經(jīng)能解一些一元二次方程. 而在中國，《九章算術(shù)》“勾股”章中就有一題：“今有戶，高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”之后的丟番圖（古代希臘數(shù)學(xué)家）、歐幾里得（古代希臘數(shù)學(xué)家）、趙爽、張遂、楊輝對一元二次方程的貢獻(xiàn)更大.

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）