分位數(shù)回歸在大壩變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

袁國(guó)根

（江西省水利規(guī)劃設(shè)計(jì)院，江西 南昌330029）

0 引言

大壩的變形受諸多因素的影響，如建筑物所在地的工程地質(zhì)、水文地質(zhì)、土壤的物理性質(zhì)、大氣溫度等外部因素和建筑物承受的荷載、建筑物的結(jié)構(gòu)、型式等內(nèi)部因素。變形超過(guò)了規(guī)定的限度，會(huì)影響大壩的正常使用，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)危及大壩的安全。因此，在大壩的施工和運(yùn)營(yíng)期間，必須對(duì)其進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)和資料分析，為大壩的安全運(yùn)營(yíng)提供保障[1-2]。

在目前的大壩監(jiān)測(cè)資料分析方法中，較為常用的有回歸分析模型、灰色理論模型和混合模型等。但其中部分模型無(wú)法精確模擬出大壩的變形曲線(xiàn)，預(yù)測(cè)的結(jié)果精度較差，難以應(yīng)用于實(shí)際工程中[3]。與傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法相比，分位數(shù)回歸[4-9]以其高精度、高效及穩(wěn)健的特點(diǎn)被廣泛用于各類(lèi)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)計(jì)算中。本文利用分位數(shù)回歸法對(duì)某大壩的垂向位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)結(jié)果與其他預(yù)測(cè)模型所得結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果顯示分位數(shù)回歸法預(yù)測(cè)精度更高。

1 分位數(shù)回歸理論

設(shè)某隨機(jī)變量y的分布函數(shù)為F（y）=P（Y≤y），y的分位數(shù)定義為：

其中，0＜τ＜1，用Q（τ）表示y的分位數(shù)，當(dāng)τ取 0.5時(shí)，即為中位數(shù)回歸。

回歸分析的基本思想就是使樣本值與擬合值之間的差值最小，對(duì)于Y的一組隨機(jī)樣本，最小二乘回歸是使誤差平方和最小，即

式中，yi為樣本值，ξ為擬合值。

而樣本分位數(shù)回歸是使樣本與擬合值的加權(quán)誤差絕對(duì)值之和最小，即：

從式（3）可以看出，分位數(shù)回歸的算法就是最小一乘回歸，當(dāng)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)存在明顯的異方差時(shí)，最小二乘估計(jì)就不再具有優(yōu)良性質(zhì)，穩(wěn)健性表現(xiàn)差。而分位數(shù)回歸具有單調(diào)同變性，對(duì)離群值不敏感，表現(xiàn)出很好的穩(wěn)健性，估計(jì)出來(lái)的參數(shù)具有大樣本數(shù)據(jù)理論下的漸進(jìn)優(yōu)良性，適用于大壩位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。

2 實(shí)例分析

本文分析采用某土石壩垂向位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，現(xiàn)以某壩段施工后期2年左右的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，以半個(gè)月為周期間隔共截取40期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。為了方便后文的計(jì)算與分析，將40期數(shù)據(jù)分為兩類(lèi)：歷史數(shù)據(jù)（前35期）用來(lái)建立分位數(shù)回歸模型，檢核數(shù)據(jù)（后5期）用來(lái)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)精度。

2.1 模型的確定

采用二次、三次、四次和五次模型結(jié)合4個(gè)具有代表性的分位數(shù)：0.3、0.5、0.7 及 0.9，利用 EVIEWS7.2 軟件中的分位數(shù)回歸功能對(duì)大壩垂向位移觀測(cè)值進(jìn)行回歸分析。模型函數(shù)如下：

式中：βti為模型參數(shù)（t＝1，2，3，…，40，為觀測(cè)數(shù)據(jù)的期數(shù)），n為模型次數(shù)，εt為誤差項(xiàng)，相互獨(dú)立，且εt～N（0，σ2）。

回歸分析得到的結(jié)果是，四次模型的擬合精度最高，觀測(cè)值和擬合值間的平均誤差最小，其擬合效果和殘差分別如圖1和圖2所示。

圖1 四次模型各分位擬合結(jié)果圖

圖2 四次模型0.3分位擬合殘差圖

將后5期檢核數(shù)據(jù)與四次模型函數(shù)的擬合結(jié)果作比較，如表1所示。從表1可以看出，四次函數(shù)在0.3、0.5、0.7、0.9 四個(gè)分位數(shù)下的擬合結(jié)果，以 0.3 分位下的擬合精度最高，誤差絕對(duì)值之和的平均值最小為0.43。所以本文最終取四次模型在0.3分位時(shí)建立的分位數(shù)回歸模型作為最終的預(yù)測(cè)模型。另外，從圖1中沉降過(guò)程線(xiàn)和擬合過(guò)程線(xiàn)來(lái)看，該壩段沉降較為嚴(yán)重，因此在蓄水期和運(yùn)行期間，應(yīng)對(duì)該壩段垂向位移進(jìn)行長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，并制定合理的防范措施，為大壩的安全運(yùn)營(yíng)提供保障。

表1 四次函數(shù)各分位擬合結(jié)果

2.2 數(shù)據(jù)檢核

為了檢核分位數(shù)回歸擬合結(jié)果的精度，用三次多項(xiàng)式結(jié)合最小二乘法以及一、二、三次指數(shù)平滑法對(duì)大壩垂向位移觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 三次多項(xiàng)式及指數(shù)平滑法擬合結(jié)果

將各預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的差值絕對(duì)值之和取平均后，與分位數(shù)回歸分析的比較結(jié)果如表3所示。

表3 分位數(shù)回歸和各預(yù)測(cè)方法平均誤差比較

從表3可以看出，分位數(shù)回歸的平均誤差明顯低于基于最小二乘的三次多項(xiàng)式擬合和一次指數(shù)平滑法，和二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法精度相當(dāng)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了分位數(shù)回歸的基本理論和方法，利用EVIEWS 7.2軟件對(duì)大壩垂向位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，確定最終的預(yù)測(cè)模型。并將分位數(shù)回歸模型預(yù)測(cè)結(jié)果與多項(xiàng)式模型及指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明分位數(shù)回歸法預(yù)測(cè)精度理想，很好地反映了大壩的變形趨勢(shì)。

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