基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析

I.Iervolino M.Giorgio B.Polidoro

引言

地震危險(xiǎn)性概率分析（PSHA，如McGuire，2004）是評(píng)估特定區(qū)域地震危險(xiǎn)性的綜合過程。地震危險(xiǎn)性概率分析，在傳統(tǒng)模式中一般只涉及主震的發(fā)生。這些顯著震級(jí)的事件是在時(shí)空上集中的事件序列內(nèi)鑒別。

另一方面，地震序列中的余震可看作是由主震觸發(fā)的。每個(gè)序列的特征被認(rèn)為只依賴于觸發(fā)事件的震級(jí)和位置，是有條件地與過去的歷史無關(guān)（隨機(jī)意義上）。在這些前提下，Yeo和Cornell（2009）發(fā)展了余震地震危險(xiǎn)性概率分析（APSHA）來表示類似于主震的余震危險(xiǎn)性。事實(shí)上，余震地震危險(xiǎn)性概率分析結(jié)果是用地震動(dòng)強(qiáng)度測度（IM）閾值的超越概率表示。這對(duì)于主震后的應(yīng)急期是很有用的，見 Yeo和Cornell（2005）的討論。

地震叢集的發(fā)生被概率性地描述為與計(jì)算主震事件采用的相同隨機(jī)過程可能會(huì)引起爭議。本文中假定每個(gè)叢集的發(fā)生時(shí)間與觸發(fā)地震的發(fā)生時(shí)間一致。事實(shí)上，從Toro與Silva（2001）和Boyd（2012）的研究開始，將地震危險(xiǎn)性概率分析擴(kuò)展到主震發(fā)生概率與序列期間至少超越一次地震動(dòng)強(qiáng)度測度閾值的概率相乘看來都是可能的。這意味著只保留地震叢集中導(dǎo)致超越的事件而過濾掉其他事件。

從工程的觀點(diǎn)，計(jì)算在地震序列發(fā)生期間涉及到超越地震動(dòng)強(qiáng)度水平的地震事件（例如對(duì)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵的）發(fā)生率，實(shí)際上意味著也考慮余震引起結(jié)構(gòu)破壞而主震沒有引起結(jié)構(gòu)破壞的概率。這就導(dǎo)致出了基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析（SPSHA）方法，對(duì)基于性能的抗震設(shè)計(jì)是適合的。它允許確定設(shè)計(jì)強(qiáng)度的超越概率以考慮余震的潛在威脅（Iervolin，Giorgio and Polidoro，2013）。對(duì)于當(dāng)前抗震規(guī)范的每次普通實(shí)踐，忽略了對(duì)結(jié)構(gòu)的累積損傷，而它可能對(duì)短期風(fēng)險(xiǎn)管理有意義；這一研究方向的某些結(jié)果參見Yeo與Cornell（2005）及Iervolino，Giorgio和Chioccarelli（2013）。

在下面的研究中，從對(duì)上述研究的直覺開始，導(dǎo)出基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析的解析表達(dá)式，在地震危險(xiǎn)性整體中包含了余震，而這在Toro與Silva（2001）和Boyd（2012）的研究中未包括。該方法基于的假設(shè)是，主震的發(fā)生由均勻泊松過程（HPP）調(diào)節(jié)，而余震的發(fā)生由有條件的非均勻泊松過程（NHPP）調(diào)節(jié)。假定屬于一個(gè)給定序列的余震的發(fā)生率，其震級(jí)的范圍和它們的空間叢集僅依賴于觸發(fā)主震的震級(jí)和位置。在本文中，前震因?yàn)閿?shù)量非常有限而予以忽略（Yeo and Cornell，2009）。

如下所述，余震的模型基于的是修訂的大森定律（Utsu，1961）；因此，本研究可以視為是模擬主要余震。事實(shí)上，其他模型如傳染型余震序列（ETAS；如，Ogata，1988）實(shí)際上能夠模擬地震叢集，其中每個(gè)事件都能夠產(chǎn)生它自己的序列。

這項(xiàng)研究不直接涉及有關(guān)地震去叢集的問題，而只依據(jù)主震最后的發(fā)生率和作為建議模型輸入數(shù)據(jù)的修訂大森定律的參數(shù)。另一方面，應(yīng)該想到的是主震和余震獲得的結(jié)果都與模型有關(guān)。這是因?yàn)?，給定的原始地震目錄中，叢集是在傳統(tǒng)的規(guī)則基礎(chǔ)上進(jìn)行的，這是通過采用描述地震發(fā)生的模型來定義的。

本文的結(jié)構(gòu)為首先對(duì)地震危險(xiǎn)性概率分析和余震地震危險(xiǎn)性概率分析方法的原理進(jìn)行簡要回顧。然后，解析性地討論二者的結(jié)合，用一個(gè)地震危險(xiǎn)性積分形式說明整個(gè)地震序列的影響。應(yīng)用實(shí)例中考慮了一般的震源，使用基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析方法對(duì)不同強(qiáng)度測度水平的年超越率進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)忽略了余震影響的傳統(tǒng)地震危險(xiǎn)性分析的相對(duì)差異的顯著性進(jìn)行評(píng)估。

1 主震、余震和地震動(dòng)強(qiáng)度

本節(jié)簡要地回顧用于評(píng)估主震和條件余震危險(xiǎn)性、均以地震動(dòng)強(qiáng)度閾值超越率表達(dá)的隨機(jī)處理和解析公式。

1.1 主震危險(xiǎn)性概率分析

地震危險(xiǎn)性概率分析通常采用均勻伯松過程概率性地模擬在震源區(qū)產(chǎn)生的地震數(shù)量。均勻伯松過程是一個(gè)獨(dú)立且穩(wěn)定的增量（即，無記憶）過程，完全由一個(gè)參數(shù)即發(fā)生率νE描述。根據(jù)均勻伯松過程，發(fā)生在所關(guān)注時(shí)間間隔（t，t＋ΔT）的事件數(shù)NE與過去的歷史地震無關(guān)，并具有泊松概率質(zhì)量函數(shù)如式（1）：

對(duì)均勻伯松過程也自然得出，主震的到達(dá)間隔時(shí)間分布是指數(shù)分布，其中兩者間平均到達(dá)時(shí)間為發(fā)生率的倒數(shù)。

在地震危險(xiǎn)性概率分析中，對(duì)所關(guān)注區(qū)域，強(qiáng)度測度閾值的超越數(shù)im也由均勻伯松過程概率性地給出（Cornell，1968）。im的超越率λim，E由νE通過方程（2）得到，其中項(xiàng)地震動(dòng)預(yù)測方程（GMPE）提供，表示對(duì)于一個(gè)給定震級(jí)為ME＝x和震中距范圍RE＝y(tǒng)的地震強(qiáng)度閾值被超越的概率：

項(xiàng)fME，RE是主震震級(jí)和距離隨機(jī)變量（RV）的聯(lián)合概率密度函數(shù)（PDF）。在單個(gè)震源情況下，如果這兩個(gè)隨機(jī)變量可被認(rèn)為是隨機(jī)獨(dú)立的，fME通常由古登堡—里克特（GR）關(guān)系式（Gutenberg and Richter，1944）給出，而fRE是基于震源—場地幾何組構(gòu)獲得。積分限是由古登堡—里克特關(guān)系式約束的震級(jí)和確定可能RE值域的距離（Reiter，1990）。

1.2 余震地震危險(xiǎn)性概率分析

余震地震危險(xiǎn)性概率分析也由所關(guān)注區(qū)域超越地震動(dòng)強(qiáng)度測度閾值的事件發(fā)生率來表示。與地震危險(xiǎn)性概率分析的主要不同是該發(fā)生率是隨時(shí)間變化的。自觸發(fā)主震發(fā)生以來，每單位時(shí)間預(yù)期的事件數(shù)隨時(shí)間的流逝而減少。這種意義上，描述余震發(fā)生的過程對(duì)于主震的發(fā)生和特征而言是必要條件。

用于構(gòu)建余震地震危險(xiǎn)性概率分析的非均勻伯松過程基于的假設(shè)是余震的日發(fā)生率νA｜mE（t）可以用方程（3）來表示，其中t為觸發(fā)主震發(fā)生后消逝的時(shí)間，這里采用的時(shí)間軸為主震發(fā)生時(shí)t＝0。這個(gè)模型同樣假設(shè)余震的震級(jí)在有意義的最小震級(jí)mmin與觸發(fā)主震的震級(jí)之間。對(duì)于所考慮的地震序列，系數(shù)a和b來自適合的古登堡—里克特關(guān)系式，而參數(shù)c和p由修訂的大森定律（Utsu，1961）給出。最后，給定觸發(fā)主震的強(qiáng)度，序列中余震的強(qiáng)度都被假設(shè)為隨機(jī)獨(dú)立的隨機(jī)變量：

由式（3）可得，在時(shí)間間隔（t，t＋ΔTA）內(nèi)余震的預(yù)期數(shù)量由方程（4）給出：

與地震危險(xiǎn)性概率分析類似，余震地震危險(xiǎn)性概率分析也通過事件的發(fā)生率與關(guān)注區(qū)域強(qiáng)度測度超越閾值的概率（時(shí)間的不變量）相乘來過濾地震過程的強(qiáng)度，減少事件的發(fā)生率。這使非均勻伯松過程的發(fā)生率λim，A｜mE（t）如方程（5），其中fMA，RA是一般余震震級(jí)和震源—場地距離的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

在上一節(jié)對(duì)fME，RE的考慮也同樣適用于fMA，RA。余震的位置、震源距及其限定值｛rA，min，rA，max｝將在后面討論。實(shí)際上，雖然在式（5）中的符號(hào)與Yeo和Cornell（2009）研究中的一致，但強(qiáng)度測度的超越率也依賴于主震的位置。

2 主震和余震隨機(jī)過程的聯(lián)合

在本節(jié)中，考慮主震和余震影響的地震危險(xiǎn)性概率分析均用公式表示。序列的發(fā)生被描述成一個(gè)均勻伯松過程，而在一序列內(nèi)，余震的發(fā)生被描述成非均勻伯松過程，其發(fā)生率函數(shù)對(duì)于觸發(fā)事件的震級(jí)是必要條件。其目標(biāo)還是評(píng)估地震動(dòng)強(qiáng)度測度的年超越率（λim）。這里，這個(gè)考慮地震事件發(fā)生的發(fā)生率被定義為在序列內(nèi)至少一次強(qiáng)度測度閾值的超越數(shù)，如式（6）：

式中強(qiáng)度測度是這個(gè)叢集內(nèi)所有事件中地震動(dòng)強(qiáng)度的最大值，IME是主震的強(qiáng)度測度，而IM∪A為余震中的最大強(qiáng)度。實(shí)際上，如果出現(xiàn)至少一次一個(gè)余震引起的強(qiáng)度高于這個(gè)場地的閾值，IM∪A就超過閾值。

根據(jù)余震地震危險(xiǎn)性概率分析，余震序列的特征完全依賴于主震的特征。事件的數(shù)量、震級(jí)和位置是序列觸發(fā)地震的大小和位置的函數(shù)。因此，對(duì)于主震的震級(jí)和位置的條件，定義為強(qiáng)度測度閾值的兩個(gè)事件沒有被超越：（1）在主震和（2）在任何余震中均是隨機(jī)獨(dú)立的，見方程（7）。（注意，它是由地震危險(xiǎn)性概率分析和余震地震危險(xiǎn)性概率分析模型得出的，與Boyd，2012的研究一致）

余震序列期間未超越閾值的概率已經(jīng)公式化了，考慮了這種序列是由事件的隨機(jī)數(shù)NA組成的情況。根據(jù)非均勻伯松過程假設(shè)，這種隨機(jī)變量符合泊松分布，如式（1），還有式（4）給出的平均數(shù)。因此，將全概率理論應(yīng)用于方程（7）中的項(xiàng)，方程（8）給出結(jié)果：

式中在i＝0時(shí)，P ［IMUA≤im｜x，y，i］＝1。νA｜x實(shí)際上反映的是該發(fā)生率依賴于主震震級(jí)，而ΔTA是余震序列的持續(xù)時(shí)間（該參數(shù)設(shè)定值會(huì)影響基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析結(jié)果，因?yàn)棣A越大，NA的隨機(jī)變量平均數(shù)越大，所以，強(qiáng)度測度超越率也越大）。每次余震地震危險(xiǎn)性概率分析所有余震都相等（Yeo and Cornell，2009），是一般余震強(qiáng)度閾值的非超越概率，與其可能震級(jí)和位置相關(guān)，還是主震給定的震級(jí)和位置。

給定余震的震級(jí)和位置，強(qiáng)度測度閾值的非超越概率有條件地與主震無關(guān)。然后，根據(jù)全概率理論，對(duì)方程（8）中P ［IMA≤項(xiàng)重列公式，如方程（9）結(jié)果：

式中P ［IMA≤im｜w，z］項(xiàng)是已知震級(jí)和位置的一般余震的im非超越概率，而fMA，RA｜ME，RE是余震震級(jí)和震中距的聯(lián)合概率密度函數(shù)，與主震的特征相關(guān)。這個(gè)概率密度函數(shù)對(duì)觸發(fā)主震（下同）的震級(jí)和位置考慮了余震震級(jí)和余震孕震區(qū)的大?。恢玫南嚓P(guān)性。積分限分別對(duì)主震和余震在式（2）和式（5）中給出。

更簡潔的地震危險(xiǎn)性積分表達(dá)式如式（10）給出：

實(shí)際上，式（10）是使用式（11）等式得到的。

要注意的是，方程（10）的結(jié)果也能直接得到，在式（5）中通過發(fā)生率的非均勻伯松過程計(jì)算零級(jí)余震在（0，ΔTA）區(qū)間導(dǎo)致超越的概率。然而，給出公式的來源可以更深入了解在地震危險(xiǎn)性積分中余震過程假設(shè)的含義。

用公式表示出單個(gè)震源情況下地震叢集的地震危險(xiǎn)性積分后，就可能值得簡要討論對(duì)關(guān)注區(qū)地震危險(xiǎn)性有貢獻(xiàn)的多個(gè)震源（相互獨(dú)立）的一般情況。在任一主震發(fā)生通過均勻伯松過程來模擬的情況下，對(duì)于所有震源，從式（9）得出的結(jié)果值只需求和。如果主震的發(fā)生在概率上用其他過程描述，例如更新過程，那么這個(gè)超越率值可能不是非時(shí)變的（討論見Polidoro et al，2013）。這種情況下，如果修訂的大森定律仍然適用于余震，那么就能夠?qū)懗鲱愃票狙芯恐械卣饏布某礁怕史匠?，然而得出的公式肯定不同?/p>

推薦的這一方法也可以擴(kuò)展應(yīng)用到其他情況，在考慮地震叢集中任何地震產(chǎn)生其自己序列的可能性時(shí)用其他模型，如傳染型余震序列模型（Ogata，1988），替代修訂的大森定律來描述地震序列。這些模型會(huì)引起余震發(fā)生率的改變，而且可能影響主震的發(fā)生率。

3 應(yīng)用實(shí)例

作為一個(gè)基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析應(yīng)用實(shí)例，計(jì)算了一般震源區(qū)中間的地震危險(xiǎn)性，該區(qū)域大小是30×100km2（圖1）。

3.1 主震和條件余震序列的特征

圖1 主震震源、主震震中周圍一般余震的網(wǎng)格及所關(guān)注場地

圖2 （a）主震震級(jí)分布。（b）余震震源區(qū)面積與主震震級(jí)的關(guān)系

主震震中假定為在如圖1所示的地震震源區(qū)均勻分布。為計(jì)算目的將圖1劃分成5×5km2的網(wǎng)格。主震發(fā)生率任意設(shè)為νE＝0.054個(gè)事件／年。主震的震級(jí)分布也任意設(shè)定為在4.3～5.8級(jí)區(qū)間范圍的指數(shù)形式，如圖2a。古登堡—里克特關(guān)系式的b值主震為1.056。在應(yīng)用中，震級(jí)和震源距視為獨(dú)立的隨機(jī)變量。

假定每個(gè)主震都有由震中周圍區(qū)域約束的余震。用平方千米表示的余震孕震區(qū)尺度SA通過式（12）由主震震級(jí)給出（Utsu，1970），如圖2b。

在這個(gè)區(qū)域，任意指定一個(gè)方形區(qū)，劃分成121個(gè)節(jié)點(diǎn)，震中均勻分布（見圖1）。實(shí)際上，對(duì)地震危險(xiǎn)性分析建議的方法可以處理任何形狀的余震區(qū)（常用的如橢圓形）。另外，代表這個(gè)區(qū)域每個(gè)網(wǎng)格單元概率的任意函數(shù)都可以視為一個(gè)余震的位置（例如，概率密度函數(shù)有從主震的位置起的鐘形徑向衰減，如見Zhuang et al，2002）。然而，這個(gè)問題沒有顯著影響我們研究的結(jié)論，因此為簡單起見考慮了在方形區(qū)的均勻分布。

在修訂的大森定律和古登堡—里克特關(guān)系式中余震使用的參數(shù)，即式（3）中的參數(shù)，取自Lolli和Gasperini（2003）：a＝－1.66，b＝0.96，c＝0.03（天），p＝0.93，Mmin＝4.2。這些參數(shù)應(yīng)用于意大利一般的余震序列；例如，Yeo和Cornell（2009）用另一組參數(shù)表示等價(jià)的加利福尼亞模型。

為了估算P ［IME≤im｜m，r］和P［IMA≤im｜m，r］項(xiàng)，使用了Ambraseys等（1996）的地震動(dòng)預(yù)測方程；因此，要考慮的震級(jí)標(biāo)度是該地震動(dòng)預(yù)測方程的標(biāo)度。Ambraseys等（1996）使用的是Rjb距離度量，指到震源地表投影的距離（Joyner and Boore，1981）。另一方面，由于圖1中的點(diǎn)被看作主震的震中，由Gruppo di Lavoro（2004）給出的式（13）用于得到需要在地震動(dòng)預(yù)測方程中插入的從震中距R轉(zhuǎn)換的Rjb（km）值，其在前面地震危險(xiǎn)性積分中用RE或RA表示。

3.2 案例和結(jié)果

給定為應(yīng)用所做的工作假設(shè)，基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析根據(jù)式（10）進(jìn)行計(jì)算。首先的實(shí)踐執(zhí)行中，強(qiáng)度測度視為地面基巖的地震動(dòng)峰值加速度（PGA）。而且，按Yeo和Cornell（2009），余震序列的持續(xù)時(shí)間（ΔTA）任意視為等同于從主震發(fā)生后的90天（Yeo，私人通訊，2013）。

圖3a按照不同的地震動(dòng)峰值加速度閾值的年超越率，比較了基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析的結(jié)果和使用式（2）由地震危險(xiǎn)性概率分析得到的只考慮主震的結(jié)果。當(dāng)然，圖3b中也用發(fā)生率顯示了基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析和地震危險(xiǎn)性概率分析的相對(duì)差異。盡管危險(xiǎn)性曲線很接近，但可觀察到發(fā)生率高達(dá)30%的差異。

因?yàn)?%阻尼偽譜加速度SA（T）是一般地震工程意義的強(qiáng)度測度，基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析也依靠這個(gè)強(qiáng)度測度計(jì)算，其T（結(jié)構(gòu)周期）在0～2s范圍變化。這種進(jìn)一步分析的結(jié)果用均勻危險(xiǎn)性譜（UHS）表示，即，頻譜縱軸在給定時(shí)間框架內(nèi)都有相同的超越概率，或等效的相同重現(xiàn)周期（如Reiter，1990）。在圖4a，將表示普通結(jié)構(gòu)典型生命安全相關(guān)設(shè)計(jì)重現(xiàn)周期475年的均勻危險(xiǎn)性譜與其地震危險(xiǎn)性概率分析的相應(yīng)參數(shù)作對(duì)比。圖4b顯示分別采用基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析和地震危險(xiǎn)性概率分析計(jì)算的頻譜的相對(duì)差異。注意，在此情況中，比較依據(jù)的是給定重現(xiàn)周期的強(qiáng)度測度（而不是前例中的發(fā)生率），發(fā)現(xiàn)有高達(dá)10%的變化。

這些結(jié)果，根據(jù)發(fā)生率和加速度的變化，與Boyd（2012）得到的結(jié)果相差不大，盡管在兩個(gè)研究和應(yīng)用實(shí)例中存在差異（Boyd，私人通訊，2013）。

4 結(jié)論

圖3 （a）應(yīng)用實(shí)例中用地震動(dòng)峰值加速度（PGA）表示的地震危險(xiǎn)性概率分析（PSHA）和基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析（SPSHA）的結(jié)果。（b）應(yīng)用實(shí)例中用地震動(dòng)峰值加速度（PGA）表示的地震危險(xiǎn)性概率分析與基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析的差異

圖4 （a）用475年均勻危險(xiǎn)性譜表示的地震危險(xiǎn)性概率分析（PSHA）和基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析（SPSHA）應(yīng)用實(shí)例結(jié)果，即5%阻尼偽譜加速度與震蕩周期的關(guān)系，其中所有坐標(biāo)都有相同的10%的50年超越概率。（b）應(yīng)用實(shí)例用475年均勻危險(xiǎn)性譜表示的地震危險(xiǎn)性概率分析和基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析的差異

這篇短文的研究目的在于幫助在地震危險(xiǎn)性分析中用地震動(dòng)強(qiáng)度測度的超越率表示，將大森型余震也納入主震事件來考慮。重點(diǎn)是對(duì)危險(xiǎn)性積分在概率上一致形式化，著眼于在地震序列期間至少一次超越強(qiáng)度閾值的事件。

由于地震叢集中的任何地震都可超越所關(guān)注結(jié)構(gòu)的臨界強(qiáng)度，在超越率的估算中直接擴(kuò)展包含余震潛在威脅的地震危險(xiǎn)性對(duì)于基于性能的設(shè)計(jì)可能有用。

對(duì)主震—余震地震序列的地震危險(xiǎn)性概率分析基于的是主震發(fā)生的均勻伯松過程假設(shè)和余震發(fā)生的條件非均勻伯松過程。后者依賴于通過修訂的大森定律得出的主震特征和主震特征與余震震源區(qū)之間的半經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。

用解析公式進(jìn)行基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析考慮的是，在給定觸發(fā)主震震級(jí)和位置的情況下，余震的影響（即地震動(dòng)強(qiáng)度）有條件地與這個(gè)叢集之外發(fā)生的任何事情無關(guān)。

應(yīng)用實(shí)例指的是主震的一般震源區(qū)和一般余震序列。對(duì)基于序列的地震危險(xiǎn)性概率分析結(jié)果與經(jīng)典的地震危險(xiǎn)性概率分析結(jié)果進(jìn)行了比較，二者用的是給定強(qiáng)度測度閾值的發(fā)生率和給定重現(xiàn)周期的強(qiáng)度測度。結(jié)果至少對(duì)設(shè)置的案例顯示，對(duì)應(yīng)475年重現(xiàn)周期的地震動(dòng)峰值加速度發(fā)生率有高達(dá)約30%的變化，偽譜加速度值有高達(dá)約10%的變化。

相信導(dǎo)出的公式會(huì)對(duì)地震工程有意義，特別是對(duì)長期基于性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和評(píng)估。

數(shù)據(jù)與來源

本研究使用的所有數(shù)據(jù)均來自參考文獻(xiàn)中列出的公開出版資料。Toro和Silva（2001）的報(bào)告來自 http：／／www.riskeng.com／downloads／scen－ceus－rept（最后訪問時(shí)間2013年7月）。Gruppo di Lavoro（2004）的報(bào)告來自 http：／／zonesismiche.mi.ingv.it／documenti／rapporto－conclusivo.pdf（意大利文，最后訪問時(shí)間2013年7月）。