阻尼振動的Mathematica模擬

謝文海，吉 莉，滕艷萍，楊 碩*

(1.大連大學，遼寧 大連 116622;2.大連科技學院，遼寧大連 116035)

阻尼振動是自然界普遍存在的一種振動形式，是振動系統(tǒng)本身的性質與外界共同作用的結果。阻尼振動［1］是物理學和工程領域的一種常見的物理現(xiàn)象，工程中常見的阻力有各種不同的形式，如物體在液體和氣體中振動時的粘尼力;物體沿接觸面振動時的滑動和滾動摩擦力;材料本身的內摩擦如電磁學實驗中導線的內阻等等，其特性在實際問題中較為常見，應用較廣。

Mathematica［2］是美國 Wolfram Research 公司開發(fā)的數(shù)學軟件，Mathematica具有運算準確，方便簡潔，易于操作和直觀等優(yōu)點。利用它可以進行微分、積分、向量、矩陣的運算以及方程式求解、運算式的化簡和展開、因式分解、數(shù)值分析等數(shù)學運算，同時它還具有強大的繪圖功能和交互操作功能，可以繪制出精美的二維圖，三維圖等。Mathematica強大的功能，使其廣泛運用數(shù)學、物理、生物、金融等領域的科研和教學中。已有研究表明Mathematica輔助理論力學將有助于優(yōu)化教學效果［3］。利用Mathematica中傅里葉變換可幫助分析阻尼運動信號的頻譜和能譜［4］。

以彈簧振子為例，利用Mathematica簡化阻尼振動的理論計算，推導阻尼振動的基本原理，展現(xiàn)基本規(guī)律，利用Mathematica傅里葉變換對阻尼運動進行分析，并用圖像清晰直觀展現(xiàn)阻尼振動的規(guī)律。研究運用Mathematica計算和模擬阻尼振動，形象直觀的展現(xiàn)阻尼振動的特點，以期為相關的教學研究和工程分析提供有益借鑒。

1 阻尼振動的Mathematica符號計算和數(shù)值模擬

運用Mathematica來計算阻尼振動。以水平彈簧振子為例，在阻尼運動中，物體在水平方向受到輕質彈簧的彈性力以及阻力的作用。振動速度較小時，阻尼力F的大小與振動質點的速度的大小成正比，方向相反，表示為F=－kx。這里以彈簧振子為例，振動系統(tǒng)方程可寫為

式中:γ為阻力系數(shù)，k為彈簧系數(shù);將兩邊都除以m，同時令為振動系統(tǒng)固有圓頻率，β為阻尼系數(shù)，即上式表示為

在Mathematica面板中利用DSolve來解二階常微分方程，如下

根據(jù)ω0，β的關系可以將阻尼分為三種類型，當β＜ω0時，振動系統(tǒng)是欠阻尼振動，我們利用數(shù)值模擬來探究阻尼振動的規(guī)律。取β=，ω0=15，假設初值條件x'［0］=0，x［0］=3，輸入函數(shù)表達式，振用Mathematica可作出x-t圖，如圖1所示。在Mathematica窗口輸入下列式子:

圖1 當ω0＜β時，阻尼振動振動的圖像

我們還可以探究在相同初始條件下，ω0和β不同時研究阻尼振動的圖像［5］。

選取 ω0=2β，ω0=5β，ω0=10β 的振動圖像，并對比如圖2所示。

圖2 相同初始條件下 ω0=2β，ω0=5β，ω0=10β的振動圖像對比

由圖像分析，ω0和β相差較小時，振幅減小較大，振蕩時間越短;ω0和β相差較小時，振幅減小較大，振蕩時間越短。

當β=ω0時振動系統(tǒng)為臨界阻尼。這里將阻尼系數(shù)和振動圓頻率改成β=ω0=3同理操作可得x-t圖見圖3。由圖可知，當β=ω0時，質點從振動處迅速移向平衡位置停止振動，即為臨界阻尼振動。

圖3 當β=ω0=3時，臨界阻尼振動的圖像

當β＞ω0時，振動系統(tǒng)為過阻尼振動，取ω0=2，β=5，同理操作作出x-t圖如圖3所示。由圖可知，當β＞ω0時，質點將從振幅處向平衡位置緩緩移動，且停止振動前經歷時間較長，則為過阻尼振動，見圖4。

圖4 當β＞ω0時，過阻尼振動的圖像

根據(jù)圖像可以得到β與ω0的比值(也就是阻尼比的大小)不同有不同的振動規(guī)律，我們通過Mathematica展現(xiàn)出來的非周期性阻尼振動形象生動，易于理解。通過圖像可以知道不同的阻尼比所表示的阻尼振動有不一樣的振動特點，因而為了更精確地表達，我們需要掌握好阻尼比阻尼因子，可以利用Mathematica將阻尼振動，臨界阻尼振動和過阻尼振動圖像結合在一起，清楚直觀的對比阻尼振動的規(guī)律。此外還可以探究不同初始條件下，阻尼運動，欠阻尼運動和過阻尼運動規(guī)律的不同，見圖5。

圖5 阻尼振動，臨界阻尼振動，過阻尼對比圖線

2 對阻尼振動的Mathematica傅里葉分析

如上分析，阻尼振動的規(guī)律比較復雜，不可能是單一頻率的振動，由傅里葉分析可知阻尼振動是無窮多個正弦振動和余弦振動所組成，其頻率是從0～∞。系統(tǒng)的能譜不是系統(tǒng)的真是能量，如動能，勢能，機械能等，而是表示頻率分量振幅的平方，是一個衡量不同成分貢獻的一個方便表示。因此分析能譜能找出頻率分量的特征。利用Mathematica軟件中傅里葉分析探究分析彈簧的能譜。

利用Mathematica對此式進行傅里葉變換［6-7］，并已知 t≥0，ω，ω0，β 為實數(shù)。如下

引入傅里葉強度 I(ω)=A2+B2，并用Simplify進一步簡化可得，

可以利用mathematica軟件中Manipulate命令實現(xiàn)人機交互，它包含一個或多個控件滑塊，移動滑塊能動態(tài)改變多個參數(shù)的數(shù)值，圖像可實現(xiàn)即時更新動態(tài)演示［4］。改變 ω0，β 大小，分析阻尼振動強度的變化。如下

由于討論弱阻尼運動，即β2＜＜ω0，其傅里葉強度如圖6所示，當β2＜＜ω0時，β不變時，彈簧能譜最大值隨著ω0的增大而增大，ω0不變時，彈簧能譜寬度隨著β的增大而增大。β較小時，系統(tǒng)的譜線較窄，單色性較好。

圖6 β2＜＜ω0β，ω0不同時傅里葉強度的變化

3 結 論

通過Mathematica我們可以將不同條件下的阻尼振動形象地展現(xiàn)出來，體現(xiàn)了mathematica軟件對曲線非線性擬合的強大功能，以及對數(shù)據(jù)的精確處理，更加清晰直觀的解釋了阻尼振動的原理和規(guī)律，這對物理學中研究阻尼振動提供了更方便更有利的工具。

［1］漆安慎，杜禪英.力學［M］.2版，北京:高等教育出版社.

［2］［M］.赫孝良，周義倉，譯.西安:西安交通大學出版社，2002.

［3］楊碩，謝文海，霍颯.Mathematica在理論力學教學中的應用［J］.湖北師范學院學報:自然科學版，2014，31(1):82-86.

［4］董鍵.Mathematica與大學物理計算［M］.北京:清華大學出版社，2013.

［5］彭楚西，姚進斌，田超等.淺析Mathematica阻尼振動在實驗當中的應用［J］.科技信息，2010，32，525.

［6］劉果紅，盛守奇.阻尼振動的傅里葉分析［J］.安徽建筑工業(yè)學院學報:自然科學版，2005，13(2):7-8.

［7］王明美.“幾何畫板”繪制機械振動的關系圖示［J］.大學物理實驗，2013(4):13-15.