軌面短波不平順時(shí)域反演算法研究

毛曉君，周 宇，許玉德

（同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201804）

軌面短波不平順是指鋼軌頂面波長小于2 m的不平順，主要包括軌面不均勻磨耗、軌面擦傷、剝離掉塊、焊縫不平順等，其波長小于1 m，幅值在1 mm 以內(nèi)［1］。軌面短波不平順對(duì)輪軌垂向力、鋼軌振動(dòng)加速度、軌道板振動(dòng)加速度、底座板振動(dòng)加速度和CA砂漿壓應(yīng)力均有顯著的影響，且其影響程度超過中長波隨機(jī)不平順［2］。此外軌面短波不平順會(huì)引起高頻輪軌接觸力［3］和沖擊力［4-5］，加快鋼軌、車輪及部件的傷損斷裂［6］。國內(nèi)外研究還發(fā)現(xiàn)，輪軌表面不平順與輪軌滾動(dòng)噪聲直接相關(guān)，特別是在500～2 500 Hz頻率范圍內(nèi)的噪聲與輪軌表面短波不平順幅值之間存在線性關(guān)系［7］。因此對(duì)軌面短波不平順的分析，是合理進(jìn)行鋼軌養(yǎng)護(hù)維修、延長鋼軌使用壽命、控制輪軌振動(dòng)和噪聲提高列車運(yùn)行品質(zhì)的重要基礎(chǔ)。

而目前我國尚未對(duì)軌面短波不平順展開較為系統(tǒng)的測量與分析，也未有典型的軌面短波不平順頻譜。單次測量得到的軌面短波不平順時(shí)域波形又很難具備代表性?；诖?，本文提出從軌面短波不平順（粗糙度）水平譜反演短波不平順時(shí)域波形的算法，并能保證一定代表性和隨機(jī)性。結(jié)合上海地鐵1號(hào)線實(shí)測得到的短波不平順?biāo)阶V，反演得到了該線路時(shí)域內(nèi)的短波不平順波形。反演得到的短波不平順時(shí)域波形可作為輪軌動(dòng)力學(xué)仿真模型的激勵(lì)輸入，也可為預(yù)測軌面不平順發(fā)展提供模擬數(shù)據(jù)。

1 軌面短波不平順?biāo)阶V

由于軌面短波不平順隨線路里程變化表現(xiàn)為一定的空間隨機(jī)性，因此往往將其轉(zhuǎn)換到頻域，再經(jīng)1/3倍頻程處理后通過軌面短波不平順?biāo)阶V加以表現(xiàn)。

1.1 1/3倍頻程

1/3倍頻程是一種頻域分析方法，它具有譜線少、帶寬的特點(diǎn)，常用于聲學(xué)、人體振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)等測試分析以及頻帶范圍較寬的隨機(jī)振動(dòng)測試分析等［8］。1/3倍頻程譜按逐級(jí)式頻率進(jìn)行分析，它是由多個(gè)帶通濾波器并聯(lián)組成，為的是使這些帶通濾波器的帶寬覆蓋整個(gè)分析頻帶。根據(jù)國際電工委員會(huì)（IEC）的推薦，1/3倍頻程的中心頻率為

但在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常采用的中心頻率是其近似值。此外，1/3倍頻程的上、下限頻率以及中心頻率之間的關(guān)系為

式中：fm為上限頻率；fl為下限頻率；fc為中心頻率。因此，1/3倍頻程的帶寬為Δf=fm-fl。

1.2 軌面短波不平順度（粗糙度）水平

軌面粗糙度水平是指經(jīng)1/3倍頻帶通濾波后，對(duì)每一帶寬內(nèi)的波形計(jì)算其均方根r~k（root mean square，RMS），并除以參考值rref后，換算到水平級(jí)，從而對(duì)軌面短波不平順進(jìn)行衡量。對(duì)于一段測量長度為L的軌面不平順，經(jīng)1/3 倍頻帶通濾波后在某一帶寬k內(nèi)的均方根計(jì)算如圖1和公式（3）所示

式中：Yi是帶寬k內(nèi)的信號(hào)采樣值，n為長度L內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)。

圖1 軌面短波不平順均方值計(jì)算示意圖Fig.1 Mean square value calculation diagram of rail surface shortwave irregularities

圖1中，x為線路里程長度；L為線路長度。

一定長度范圍內(nèi)短波不平順幅值的均方根直觀地反映了該段軌面不平順在特定帶寬內(nèi)的粗糙程度。在得到各帶寬內(nèi)的均方根后，通過公式（4）計(jì)算便可得到各帶寬內(nèi)對(duì)應(yīng)的短波不平順粗糙度水平［9］。

目前只有歐洲鐵路在研究輪軌噪聲時(shí)制訂了軌面的不平順度（粗糙度）水平——ISO3095標(biāo)準(zhǔn)［9］對(duì)軌面不平順度進(jìn)行評(píng)價(jià)，它是從軌道車輛車外輻射噪聲的角度對(duì)鋼軌表面輪軌粗糙度進(jìn)行評(píng)價(jià)控制，此外標(biāo)準(zhǔn)中還制定了相應(yīng)的噪聲測量方法。之后歐洲鐵研究所（ERRI）采用德國Müller-BBM公司開發(fā)的mbbm-RM1200軌面不平順度測量儀對(duì)歐洲鐵路的軌面進(jìn)行了不平順度測量，統(tǒng)計(jì)得到了ISO3095軌面粗糙度水平標(biāo)準(zhǔn)限值。

2 軌面短波不平順時(shí)域波形反演算法

2.1 反演算法的基本思想

軌面短波不平順時(shí)域波形反演算法的思想是從短波不平順粗糙度水平譜出發(fā)，按照1/3倍頻程的帶寬劃分，將1 m以下的短波不平順分成若干個(gè)頻帶（波長帶）。在每個(gè)波長帶中生成若干不同波長、相位且振幅為1的正弦波，再通過振幅的調(diào)整，使得該波長帶中的若干正弦波疊加后經(jīng)計(jì)算得到的粗糙度水平與標(biāo)準(zhǔn)或?qū)崪y結(jié)果的相同。具體算法流程可分為以下6個(gè)步驟。

1）將1 m以下的短波按照1/3倍頻程的中心波長劃分成24個(gè)頻帶，各頻帶中心波長、上下截止波長見表1。

2）在每一個(gè)波長里，將波長等步長細(xì)分成m份，其中最小波長為該頻帶的下截止波長，最大波長為該頻帶的上截止波長。

3）根據(jù)上述波長，在第i個(gè)頻帶內(nèi)產(chǎn)生m個(gè)振幅為1，相位在［0，2π］間隨機(jī)分布的正弦波，并疊加得到一個(gè)復(fù)合波。式中：x為線路里程的離散形式；λij為第i個(gè)頻帶內(nèi)第j個(gè)諧波的長度；φij為第i個(gè)頻帶內(nèi)第j個(gè)諧波的相位。

4）對(duì)上述復(fù)合波按式（3）進(jìn)行均方根計(jì)算，得到均方根ri。

5）根據(jù)式（5）計(jì)算每個(gè)頻帶內(nèi)的振幅ai

式中：Li是在第i個(gè)頻帶內(nèi)的粗糙度水平，由（4）式計(jì)算得到，可以是若干實(shí)測數(shù)據(jù)的計(jì)算平均，也可以是ISO3095的標(biāo)準(zhǔn)值；rref為參考值，同樣取rref=1 μm。

6）將各頻帶不同波長的波按照式（6）復(fù)合疊加，由此構(gòu)成［4.5，1 140.4］mm波長范圍內(nèi)任意長度軌面短波不平順的時(shí)域模擬值。

表1 1/3倍頻程中心波長、上下截止波長Tab.1 Central and cut-off wavelength of 1/3 octave mm

2.2 ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜反演

按照上述構(gòu)造思想，在鋼軌粗糙度水平ISO3095標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行反演，得到時(shí)域波形如圖2所示。

圖2中，模擬線路長度為10 m，模擬得到的短波不平順時(shí)域波形幅值在±0.1 mm之間，符合實(shí)際情況。此外，構(gòu)造算法中由于各正弦波的相位是隨機(jī)產(chǎn)生的，因此基于同一個(gè)粗糙度水平譜，可得到無數(shù)多個(gè)短波不平順時(shí)域模擬波形，這在保證代表性的同時(shí)又保證了隨機(jī)性。

對(duì)上述反演得到的短波不平順進(jìn)行粗糙度水平計(jì)算，結(jié)果與ISO3095標(biāo)準(zhǔn)限值對(duì)比，如圖3所示。

從圖3中可以看出，由反演得到的時(shí)域波形計(jì)算得到的粗糙度水平譜與ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜吻合得很好，驗(yàn)證了上述算法的可行性與正確性。因此，該反演算法可進(jìn)一步用于實(shí)測鋼軌表面粗糙度水平譜的軌面短波不平順波形反演。

圖2 ISO3095標(biāo)準(zhǔn)反演得到的短波不平順波形Fig.2 Rail surface shortwave irregularities inverted from ISO3095 standard

圖3 ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜與反演譜對(duì)比Fig.3 Contrast between ISO3095 standard spectrum and inverse spectrum

3 實(shí)測水平譜反演

3.1 測試儀器及數(shù)據(jù)來源

軌面短波不平順的測量采用RMF-2.3E型波磨測量儀，該測量小車可以實(shí)現(xiàn)鋼軌表面縱向波浪形磨耗的在線連續(xù)測量，其技術(shù)參數(shù)見表2所示。

表2 RMF-2.3E型波磨測量儀測量參數(shù)Tab.2 Parameters of RMF-2.3E corrugation detection instrument

用RMF-2.3E 型波磨測量儀對(duì)上海軌道交通1 號(hào)線隧道地段一段450 m 長的軌面短波不平順進(jìn)行測量，測量結(jié)果經(jīng)［4.5，1140.4］mm帶通濾波后得到時(shí)域波形如圖4所示。

3.2 實(shí)測水平譜反演與對(duì)比

對(duì)上述實(shí)測軌面短波不平順數(shù)據(jù)做1/3倍頻程處理并換算成分貝做軌面粗糙度水平譜，得到各中心波長處的粗糙度水平Li。利用反演算法進(jìn)行時(shí)域內(nèi)軌面短波不平順的反演，反演長度與原始數(shù)據(jù)長度一致，反演得到的時(shí)域波形如圖5所示。

對(duì)比圖4、圖5 可知，反演得到的時(shí)域波形幅值主要集中于-0.2～0.2 mm 間，而實(shí)測波形有更大的離散性，存在較多異常值。造成這一差異的原因在于，反演得到的波形是由若干不同振幅、波長和相位的正弦波疊加而成的，這一過程將軌面短波不平順視為平穩(wěn)的高斯過程，而實(shí)際軌面短波不平順的形成和發(fā)展是很多隨機(jī)性因素共同作用的結(jié)果，因而并不是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以反演得到的時(shí)域波形與原始實(shí)測波形存在一定偏差。

圖4 ［4.5，1 140.4］mm濾波后的實(shí)測軌面短波不平順波形Fig.4 Measured rail surface shortwave irregularities after［4.5，1 140.4］mm band pass filtering

但盡管如此，上述反演算法的優(yōu)點(diǎn)在于，能夠保證反演波形的軌面粗糙度水平譜與實(shí)測數(shù)據(jù)粗糙度基本吻合，如圖6所示。

圖5 實(shí)測數(shù)據(jù)反演得到的軌面短波不平順波形Fig.5 Inverted rail surface shortwave irregularities based on measured datum

圖6 實(shí)測軌面短波不平順粗糙度譜與反演譜對(duì)比Fig.6 Contrast between measured spectrum and inverse spectrum

因此，反演算法得到的時(shí)域波形在頻域內(nèi)與原始數(shù)據(jù)一致，即能保證在短波范圍內(nèi)具有相同的波長組成，這是該反演算法的最主要目的和意義。

4 結(jié)論

軌面短波不平順對(duì)高頻輪軌接觸力、沖擊力、軌道各部件振動(dòng)加速度、輪軌噪聲等方面都有顯著的影響，而目前國內(nèi)外尚未有典型的軌面短波不平順頻譜，且單次測量結(jié)果又很難具備代表性?；诖耍疚膭?chuàng)造性地提出一種從軌面短波不平順（粗糙度）水平譜反演短波不平順時(shí)域波形的算法，并用該算法實(shí)現(xiàn)了ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜與上海軌道交通實(shí)測譜的反演，得到以下結(jié)論：

1）反演得到的時(shí)域波形計(jì)算得到的粗糙度水平譜能與ISO3095標(biāo)準(zhǔn)譜和實(shí)測譜較好吻合，驗(yàn)證了算法的可行性和正確性；

2）反演算法中由于各正弦波的相位是隨機(jī)產(chǎn)生的，因此基于同一個(gè)粗糙度水平譜，可反演得到無數(shù)多個(gè)短波不平順時(shí)域模擬波形，這使得反演算法在保證代表性的同時(shí)又具備了一定隨機(jī)性；

3）反演過程將軌面短波不平順視為平穩(wěn)的高斯過程，而實(shí)際軌面短波不平順并不滿足嚴(yán)格平穩(wěn)性，因此反演波形與原始實(shí)測波形存在一定偏差。反演波形更平穩(wěn)，對(duì)于實(shí)測波形的大離散性和異常值不能模擬。

4）軌面短波不平順時(shí)域波形反演算法的提出為進(jìn)一步研究振動(dòng)噪聲和軌面狀態(tài)仿真分析提供了數(shù)學(xué)方法。

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