挖掘機(jī)工作空間求解的蒙特卡洛法改進(jìn)

邱偉星

(福建省特種設(shè)備檢驗(yàn)研究院龍巖分院，福建 龍巖 364000)

1 引言

液壓挖掘機(jī)的工作空間表示了挖掘機(jī)的工作范圍，因而其形狀和尺寸是衡量挖掘機(jī)工作能力的重要指標(biāo)，也是挖掘機(jī)設(shè)計(jì)和選型的重要依據(jù)。目前挖掘機(jī)工作空間的求解方法主要有圖解法、解析法與數(shù)值法[1-3]。圖解法較直觀，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力。解析法利用解析函數(shù)，求解復(fù)雜且抽象，一般不具有通用性。

蒙特卡洛法是一種數(shù)值概率算法，簡(jiǎn)單實(shí)用、通用性強(qiáng)且可用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[3]提出用蒙特卡洛法計(jì)算挖掘機(jī)的工作空間，雖然可以求解得出工作空間，但誤差較大且效率不高，在工程實(shí)踐中只能用于定性分析和幾何驗(yàn)證。文中改進(jìn)蒙特卡洛法求解挖掘機(jī)工作空間，提高了挖掘機(jī)工作空間的求解效率和精度。

2 挖掘機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解建模

挖掘機(jī)工作裝置包括動(dòng)臂、斗桿、鏟斗及動(dòng)臂油缸、斗桿油缸和鏟斗油缸，其結(jié)構(gòu)類似于具有臂、關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器的機(jī)器人手。因此，我們可以運(yùn)用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，建立挖掘機(jī)工作裝置的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是在已知各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的條件下，求解挖掘機(jī)鏟斗齒尖的位置和姿態(tài)。坐標(biāo)系的設(shè)定和選擇D-H方法如圖1所示。

圖1 挖掘機(jī)工作裝置運(yùn)動(dòng)學(xué)模型圖

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，挖掘機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，即鏟斗齒尖位置為：

式中：

3 現(xiàn)有算法原理與誤差分析

3.1 現(xiàn)有蒙特卡洛算法原理

蒙特卡洛法又稱隨機(jī)抽樣法，它是一種使用隨機(jī)數(shù)來解決計(jì)算問題的方法。將所求解的問題同特定的概率模型相結(jié)合，用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。

蒙特卡洛算法的原理是：隨機(jī)產(chǎn)生大量的關(guān)節(jié)變量，根據(jù)挖掘機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程（1），得到相對(duì)應(yīng)的鏟斗齒尖隨機(jī)點(diǎn)，即可計(jì)算出挖掘機(jī)的工作空間。

現(xiàn)有求解算法如圖2所示：

圖2 挖掘機(jī)工作空間程序流程圖3.2仿真結(jié)果

圖3 為利用matlab求解得出的挖掘機(jī)工作空間的點(diǎn)云圖?？梢钥闯?，隨機(jī)點(diǎn)分布不均勻，只有隨機(jī)點(diǎn)數(shù)取得足夠大時(shí)，才能較近似得到工作空間點(diǎn)云圖，且邊界毛糙，空腔、空洞明顯。誤差大的本質(zhì)是由于隨機(jī)點(diǎn)落點(diǎn)的隨機(jī)性，造成隨機(jī)點(diǎn)分布不均勻，無法控制隨機(jī)點(diǎn)分布在工作空間邊界上。

圖2 常規(guī)蒙特卡洛法求解挖掘機(jī)工作空間點(diǎn)云圖

3.2 誤差分析

表1 常規(guī)蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果

從表1可知，常規(guī)蒙特卡洛法求解挖掘機(jī)工作空間，隨機(jī)點(diǎn)數(shù)越多，求解值越接近真實(shí)值，但問題是我們無法估計(jì)隨機(jī)點(diǎn)數(shù)該取到多少，才能在誤差控制范圍內(nèi)。理論上，隨機(jī)點(diǎn)數(shù)取值無限大時(shí)，可以得出真實(shí)值，但計(jì)算無限耗時(shí)，因此不可行?？紤]到計(jì)算效率，實(shí)踐中挖掘機(jī)工作空間的求解只能控制在一定的誤差范圍內(nèi)。但從計(jì)算結(jié)果看，即使隨機(jī)點(diǎn)數(shù)從6萬點(diǎn)取到60萬點(diǎn)時(shí)，二者之間的誤差還有1%，與真實(shí)值得誤差還會(huì)更大，故常規(guī)算法誤差較大，誤差無法控制。

常規(guī)算法誤差較大的原因是：從挖掘機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程（1）可知，挖掘機(jī)工作空間是由運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的三個(gè)變量非線性耦合共同形成的，這就造成隨機(jī)點(diǎn)分布的不均勻性。大量的隨機(jī)點(diǎn)分布在工作空間內(nèi)部，而邊界處的分布密度低，導(dǎo)致工作空間邊界提取到的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)下降，造成較大的誤差。

4 蒙特卡洛法改進(jìn)

根據(jù)前面分析，常規(guī)算法低效、精度不高的主要原因是隨機(jī)點(diǎn)分布在邊界處的概率低，應(yīng)設(shè)法控制隨機(jī)點(diǎn)落在工作空間邊界上，從運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程分析，需要減少變量的個(gè)數(shù)，這就需要分析挖掘機(jī)工作空間邊界形成的內(nèi)在機(jī)理，以改進(jìn)蒙特卡洛算法，控制隨機(jī)點(diǎn)的落點(diǎn)。

4.1 挖掘機(jī)工作空間邊界形成的內(nèi)在機(jī)理

在不考慮回轉(zhuǎn)工況時(shí)，液壓挖掘機(jī)的工作空間的形成是由動(dòng)臂油缸、斗桿油缸、鏟斗油缸這三組驅(qū)動(dòng)油缸共同作用形成的。在工程實(shí)踐中，挖掘機(jī)工作空間邊界的界定并非是由三組油缸的隨機(jī)組合形成，而是其中兩組驅(qū)動(dòng)油缸位移在極小值或極大值時(shí)，另一組油缸變化而形成，由組合公式2×可知，共有6段工作空間邊界。它們分別是：如圖3所示。

圖3 ADAMS求解的挖掘機(jī)工作空間邊界

表2 挖掘機(jī)工作空間位于邊界時(shí)各油缸狀態(tài)

鏟斗齒尖位于圖3所示的6個(gè)邊界段時(shí)，挖掘機(jī)動(dòng)臂油缸、斗桿油缸、鏟斗油缸狀態(tài)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的三個(gè)變量狀態(tài)如表3所示。

表3 挖掘機(jī)工作空間位于邊界時(shí)各關(guān)節(jié)角狀態(tài)

由上述分析，改進(jìn)算法的基本原理：方程（1）的三個(gè)變量中的任意兩個(gè)變量取極限值，另一關(guān)節(jié)角度為隨機(jī)變量；因此運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程是關(guān)于其中一個(gè)關(guān)節(jié)變量的線性方程，方程求解大為簡(jiǎn)化，隨機(jī)點(diǎn)的分布得到控制致使隨機(jī)點(diǎn)都分布在工作空間邊界上。

4.2 求解效果

圖4為改進(jìn)算法后挖掘機(jī)工作空間云圖。對(duì)比圖2，改進(jìn)算法后工作空間邊界清晰、空洞極少。隨機(jī)點(diǎn)數(shù)由6千點(diǎn)到60萬點(diǎn)，邊界效果幾乎一樣。根源在于此時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程（1）中只有一個(gè)關(guān)節(jié)變量且是線性關(guān)系，因此方程大為簡(jiǎn)化，使得隨機(jī)點(diǎn)都分布在工作空間邊界上，提高了求解針對(duì)性和效果。

圖4 蒙特卡洛法改進(jìn)后挖掘機(jī)工作空間云圖

4.3 誤差分析

表4 改進(jìn)蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果

從表4可知，每個(gè)工作空間邊界段隨機(jī)點(diǎn)數(shù)為1千點(diǎn)時(shí)的精準(zhǔn)度與隨機(jī)點(diǎn)數(shù)1萬點(diǎn)以上時(shí)的計(jì)算結(jié)果幾乎一致，誤差僅在0.13%。而1%以內(nèi)的誤差控制足以滿足我們工程機(jī)械的要求。

表5 常規(guī)與改進(jìn)蒙特卡洛法誤差對(duì)比

對(duì)表5分析，常規(guī)蒙特卡洛算法隨機(jī)點(diǎn)數(shù)越多，與改進(jìn)算法計(jì)算結(jié)果越接近，證明了改進(jìn)算法的正確性。而常規(guī)算法隨機(jī)點(diǎn)數(shù)60萬點(diǎn)時(shí)，與改進(jìn)法隨機(jī)點(diǎn)數(shù)取6千點(diǎn)，還有2%的誤差。上述誤差分析證明了改進(jìn)蒙特卡洛算法求解挖掘機(jī)工作空間的精準(zhǔn)性和高效性。

5 結(jié)論

第一常規(guī)蒙特卡洛法計(jì)算簡(jiǎn)單，但隨機(jī)點(diǎn)的落點(diǎn)無法控制，誤差較大。從方程（1）可知，常規(guī)算法中的挖掘機(jī)工作空間的邊界是由三個(gè)關(guān)節(jié)隨機(jī)變量耦合組成，這時(shí)大部分的隨機(jī)點(diǎn)分布在工作空間內(nèi)部，而在邊界處的隨機(jī)點(diǎn)分布較少，使得工作空間圖形不是很清晰，帶有毛刺和空洞。

第二通過對(duì)挖掘機(jī)工作空間邊界內(nèi)在機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其邊界的界定本質(zhì)是挖掘機(jī)任意兩組油缸取極限值，另一組油缸為變量。這就使得方程（1）變化為只含有一個(gè)關(guān)節(jié)變量的線性方程，從而使得隨機(jī)點(diǎn)控制分布在挖掘機(jī)工作空間邊界上，大大減少了計(jì)算機(jī)數(shù)值求解所需要的隨機(jī)點(diǎn)的數(shù)量。與常規(guī)法相比，改進(jìn)蒙特卡洛算法更為高效精準(zhǔn)，為工程實(shí)踐的運(yùn)用提供了工具參考。

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