一種用于線性陣列綜合的改進(jìn)遺傳算法

董建剛,王新寬

摘? 要： 為了提高陣列綜合收斂速度，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)局部最優(yōu)，分析了現(xiàn)有的遺傳算法存在的不足，提出了一種應(yīng)用于線性陣列綜合的改進(jìn)遺傳算法。該算法根據(jù)現(xiàn)有算法對(duì)實(shí)數(shù)編碼搜索能力不強(qiáng)，容易陷于局部最優(yōu)解的缺陷，提出了能夠增強(qiáng)個(gè)體尋優(yōu)范圍的搜索方案，以跳出局部最優(yōu)解，是解決問(wèn)題的有效途徑。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法能夠使目標(biāo)函數(shù)迅速跳出局部最優(yōu)解，收斂速度至少增加了2～10倍。

關(guān)鍵詞： 遺傳算法； 陣列綜合； 局部最優(yōu)； 收斂速度

中圖分類(lèi)號(hào)： TN955?34??????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A??????????????????????? 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）23?0062?04

Abstract： In order to improve the convergence speed and the target array synthesis function of local optimum， the deficiencies of the existing genetic algorithm are analyzed， and a modified genetic algorithm for synthesis of linear arrays is proposed in this paper because the existing genetic algorithm is easy to occur the local convergence when it conducts the synthesis of linear arrays. A search scheme to enhance the scope of individual search program so as to jump out of the local optimal solution is proposed in consideration of the problems that the existing algorithms are not strong in real?coded search capability and is easy to trap in the local optima solution. It′s an effective way to solve the problem. Simulation results show that the modified algorithm can make the object function jump out of local optimum solution rapidly， and the convergence speed is substantially increased by at least 2～10 times， comparing with the origin method.

Keywords： genetic algorithm； array synthesis； local optimum； convergence speed

0? 引? 言

陣列綜合是通過(guò)設(shè)計(jì)天線陣元的激勵(lì)電流幅度、相位和陣元位置等來(lái)實(shí)現(xiàn)要求的方向圖，其本質(zhì)是一個(gè)非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題。遺傳算法是模擬生物在自然界中的遺傳和變異而形成的一種全局優(yōu)化算法[1]，廣泛地應(yīng)用于天線陣綜合問(wèn)題[2?7]。

在遺傳算法中，交叉算子和變異算子是產(chǎn)生新個(gè)體的原因，其中交叉算子的好壞對(duì)算法的搜索能力和收斂速度有著關(guān)鍵性的影響。因此，尋找優(yōu)異的交叉算子，改善遺傳算法的局部搜索能力，是保證算法快速收斂的重要途徑。本文在已有的用于陣列天線綜合的遺傳算法[8]基礎(chǔ)上，引入了一種改進(jìn)的交叉算子，并結(jié)合電流振幅的擴(kuò)展操作對(duì)已有算法進(jìn)行改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)線性陣列天線方向圖的快速綜合。仿真結(jié)果表明，與已有算法相比，改進(jìn)后的算法能夠有效避免早熟現(xiàn)象，較大程度地降低了天線方向圖的最大旁瓣電平；并且，算法的收斂速度至少提高了2～10倍。

1? 線陣綜合基本理論

對(duì)于一個(gè)陣元數(shù)為[N，]陣元各向同性的線性陣列，若不考慮陣元之間的耦合，其遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖為[9?10]：

[E（?）=n=0N-1Inexp[j（nψ+δn）]]?? （1）

式中：[In]和[δn]分別為第[n]個(gè)陣元的激勵(lì)幅度和相位；[ψ=kdcos（φ），][d]是陣元間距，[k]是波數(shù)，[φ]是從陣列軸線算起的掃描角。假定[N]為偶數(shù)，相位、振幅均對(duì)稱(chēng)分布，則有：

[In=IN-n-1，δn=δN-n-1] （2）

[E（?）=n=0N2-1In{exp[j（nψ+δn）]+exp（j[（N-n-1）ψ+δN-n-1]）}]? （3）

利用歐拉公式，把式（3）中的實(shí)部和虛部分別結(jié)合起來(lái)，再采用三角函數(shù)的和差化積公式得到：

[E（?）=2n=0N/2-1IncosN-2n-12ψexpjN-12ψ+δn+δN-n-12]? （4）

考慮一個(gè)陣元相位為零的邊射陣，可以將式（4）表示成以分貝表示的歸一化陣列方向圖：

[F1（?）=20lg n=0N/2-1IncosN-2n-12kdcos?n=0N/2-1In]? （5）

同樣，若陣元因子為[sin?，]電流振幅不變，僅考慮相位變化，則可得到以分貝表示的唯相位分布的陣列方向圖：

[F2（?）=20lg sin?n=0N/2-1exp（jδn）cosN-2n-12ψn=0N/2-1exp（jδn）] （6）

最大旁瓣電平[MSLL]表示為：

[MSLL=max{Fm（?）?∈S}] （7）

式中：[max]為求最大值的函數(shù)；[m∈]{1，2}；[S]表示方向圖的旁瓣區(qū)域。如果希望[MSLL]接近某一數(shù)值[SLVL]的同時(shí)，在[Nn]個(gè)方向[?i]（[i=1，2，…，Nn]）能產(chǎn)生電平為[NLVL]的零陷，則目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

[f=αMSLL-SLVL+βmax{Fm（?i）}-NLVL， i=1，2，…，Nn]? （8）

式中：[α，][β]分別為權(quán)系數(shù)，這里取[α=0.8，][β=0.2。]由式（8）可知，目標(biāo)函數(shù)越小，越接近最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)為0 dB時(shí)，達(dá)到期望的結(jié)果。

2? 基于實(shí)數(shù)編碼的改進(jìn)遺傳算法

2.1? 文獻(xiàn)中的算法步驟[8]

（1） 編碼方式：采用實(shí)數(shù)編碼方式，直接將待求變量依次排列構(gòu)成染色體；

（2） 選擇算子：采用基于排序的選擇機(jī)制，并定義序號(hào)[i]對(duì)應(yīng)的染色體[Vi]被選中的概率[pi]如式（9）所示，使得序號(hào)越小，染色體越優(yōu)。種群規(guī)模選為50，然后通過(guò)輪盤(pán)賭法選擇染色體。

[pi=1popsize+α（gen）popsize+1-2ipopsize（popsize+1）] （9）

（3） 交叉算子：設(shè)[ρ]為（0，1）中的隨機(jī)數(shù)，隨機(jī)配對(duì)的兩個(gè)父代個(gè)體為[V1，][V2，]則子代個(gè)體[V′1，][V′2]為：

[V′1=ρV1+（1-ρ）V2V′2=ρV2+（1-ρ）V1] （10）

如果兩個(gè)子代屬于可行集， 則用它們替換其父代；否則， 重新產(chǎn)生新的隨機(jī)數(shù)[ρ，]重復(fù)式（10）的操作， 直到得到可行的后代或循環(huán)到給定的次數(shù)為止。為了防止參與交叉的染色體相同，采用避同交叉方式。

（4） 變異算子：以變異概率[pm]隨機(jī)地選擇待變異的個(gè)體基因[V′i，]然后在[Rn]中隨機(jī)選擇變異方向[D，] 給定一正數(shù)[M，]按下式進(jìn)行變異操作，產(chǎn)生的變異基因[V″i]為：

[V″i=V′i+M?D] （11）

式中[M]的選取如式（12）所示[8]：

[M=fiavg? f1-genmaxgen] （12）

根據(jù)式（11），如果[V″i]屬于可行集， 則用它替代[V′i；]否則，置[M]為[0～M]之間的隨機(jī)數(shù)，重新進(jìn)行變異，直到滿足可行集或達(dá)到給定的循環(huán)次數(shù)為止。然后采取精英策略，把迄今為止的最佳個(gè)體保留下來(lái)作為進(jìn)化結(jié)束時(shí)的最佳結(jié)果。

2.2? 對(duì)現(xiàn)有算法的改進(jìn)及理論分析

由于現(xiàn)有算法的實(shí)數(shù)編碼搜索能力不強(qiáng)，容易陷于局部最優(yōu)解。因此，尋求能夠增強(qiáng)個(gè)體尋優(yōu)范圍的搜索方案，跳出局部最優(yōu)解，是解決問(wèn)題的有效途徑?；诖怂枷耄疚膶?duì)上述算法做了如下改進(jìn)：

（1） 交叉算子的改進(jìn)，對(duì)式（10）進(jìn)行變形：

[V′1=ρ（V1-V2）+V2V′2=ρ（V2-V1）+V1] （13）

根據(jù)式（13），令[Δv=ρ（V1-V2）。]若[（V1-V2）]趨近于零，或者[ρ]趨近于零，或者[ρ]和[（V1-V2）]都是一個(gè)比零稍大的小量，這三種情況都能造成[Δv≈0]，從而[V′1≈V2，][V′2≈V1，]使得產(chǎn)生的子代個(gè)體幾乎和父代相同，進(jìn)而無(wú)法產(chǎn)生新的個(gè)體，或者產(chǎn)生的新個(gè)體和父代個(gè)體性狀過(guò)于相似，不利于進(jìn)化。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以嘗試擴(kuò)大隨機(jī)數(shù)[ρ]的取值范圍，以期使得[Δv]能以更小的概率趨向于零值。設(shè)定[ρ]取分段不連續(xù)區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，表示為：

[ρ=3.8?rand， gen<；Max gen22.6?rand， Max gen2≤gen<；2?Max gen31.8?rand， gen≥2?Max gen3 ] （14）

式中：[rand]代表（0，1）之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；gen為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)；[Max gen]為最大進(jìn)化代數(shù)。當(dāng)產(chǎn)生的子代個(gè)體超出染色體的可行集時(shí)，子代就取原來(lái)父代的值。

從式（14）可以看出，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)較小時(shí)，隨機(jī)數(shù)范圍取大一些有助于擴(kuò)大搜索范圍，避免陷入局部最優(yōu)解；當(dāng)進(jìn)化代數(shù)較大時(shí)，個(gè)體之間的差異相對(duì)減小，適當(dāng)縮小隨機(jī)數(shù)范圍以加快收斂。

（2） 對(duì)振幅的擴(kuò)大操作：通常進(jìn)行陣列方向圖優(yōu)化時(shí)，習(xí)慣將電流激勵(lì)幅度設(shè)定為（0，1）范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。從式（5）可以看出，電流振幅同時(shí)增大或縮小N倍，陣列方向圖不變。在本文的計(jì)算中，振幅的初始取值范圍仍然設(shè)定在（0，1）之間，但在優(yōu)化過(guò)程中，將振幅范圍擴(kuò)大至（0，20）之間的隨機(jī)數(shù)，最終輸出結(jié)果時(shí)再將振幅除以擴(kuò)大的倍數(shù)20即可。這樣做的好處是擴(kuò)展了變異操作中個(gè)體的搜索范圍。具體的分析如下：

若個(gè)體中的某一基因位[x]滿足[x∈]（0，1），根據(jù)式（11），令[Δx=M?D，]若[x]滿足變異條件，則有：

[x=x+Δx] （15）

假定[x=0.9，][Δx]=0.2，則[x]值超出可行集，根據(jù)本文的算法，需要重置[M]值以得到新的[Δx]值。若經(jīng)過(guò)一定次數(shù)的迭代后，[Δx]的值仍然大于0.1，比如[Δx]=0.15，造成[x]的值仍然超出可行集，則放棄變異。然而，如果把[x]的初值范圍擴(kuò)大20倍，則此次變異的基因[x]相應(yīng)的擴(kuò)大至18.0，經(jīng)過(guò)變異操作，[x]取得新值18.2，滿足可行集（0，20），最終得到的染色體需要再縮小20倍，得到[x]=0.91，滿足[x∈]（0，1）的要求。由此可見(jiàn)，振幅擴(kuò)大一定的倍數(shù)后，在原來(lái)變異操作中超出可行集的部分基因位會(huì)重新進(jìn)入可行集，從而擴(kuò)大了變異算子的尋優(yōu)范圍，有利于跳出局部最優(yōu)值。

3? 仿真結(jié)果及分析

設(shè)定陣列單元數(shù)[N=20，]陣列間距[d=λ2，]方向圖主瓣波束寬度為[20°]，各陣元的初始電流幅度滿足[In∈]（0，1），[n=0，1，2，…，N2-1。]

例1：令SLVL=-35 dB，NLVL=-80 dB，方向圖在70°方向生成一個(gè)零點(diǎn)，為了和文獻(xiàn)[8]中的參數(shù)符合，這里取[In∈]（0，10）。計(jì)算得到的最大旁瓣電平為-34.998 dB，零點(diǎn)深度為-80.00 dB，結(jié)果如圖1（a）所示。圖中虛線是文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，實(shí)線是改進(jìn)后的算法得到的結(jié)果。圖1（b）描述了使用改進(jìn)后算法計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)值的進(jìn)化情況。從圖中可以看出，改進(jìn)后的算法只需要280代的進(jìn)化，就達(dá)到了期望值，而文獻(xiàn)[8]中的算法則需要大約580代的進(jìn)化。并且，在主瓣和第一副瓣相同的情況下，前者比后者所得到的方向圖次級(jí)旁瓣電平更低。

例2：令SLVL=-40 dB，NLVL=-90 dB，方向圖在64°，70°和76°三個(gè)方向形成零點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如圖2（a）所示。其中虛線代表文獻(xiàn)[8]中的算法得到的結(jié)果，實(shí)線代表改進(jìn)后的算法得到的結(jié)果。可以看出，利用文獻(xiàn)[8]中的算法經(jīng)過(guò)20 000代進(jìn)化后陷入局部最優(yōu)值，此后進(jìn)化基本停止，既使進(jìn)化到80 000代，目標(biāo)函數(shù)仍無(wú)法跳出局部最優(yōu)值。而改進(jìn)后的算法只需進(jìn)化到7 500代就基本達(dá)到了要求，綜合得到的最大旁瓣電平為-38.85 dB，最高零陷為-89.99 dB。圖2（b）給出了4種情況下目標(biāo)函數(shù)值的進(jìn)化曲線，分別為：

① 文獻(xiàn)中的方法；

② 僅改進(jìn)振幅的操作，把振幅范圍從（0，1）擴(kuò)展至（0，20）；

③ 僅改進(jìn)交叉算子；

④ 本文改進(jìn)的算法，也就是既改進(jìn)交叉算子，又把振幅范圍擴(kuò)展至（0，20）。

從圖2（b）中可以看出，①～③三種情況下分別進(jìn)化到20 000代、28 000代、5 000代后，均陷入局部最優(yōu)值。而④情況下只需要7 500代就進(jìn)化到了期望值。比較這四種情形可以看出，前兩種情況下目標(biāo)函數(shù)在偏離目標(biāo)值很遠(yuǎn)的地方陷入無(wú)法收斂的狀況；第三種情況雖然比前兩種情況改善了許多，但距離目標(biāo)值仍然較遠(yuǎn)，無(wú)法收斂；第四種情況則實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)函數(shù)值的快速收斂，并且所得到的天線方向圖的旁瓣電平有了很大的降低。因此，可以看出，僅采用擴(kuò)大振幅的操作來(lái)加速收斂所起到的作用很小，而采用改進(jìn)的交叉算子后則效果明顯。如果兩者同時(shí)采用，目標(biāo)函數(shù)則會(huì)迅速收斂到期望的結(jié)果。

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圖1 改進(jìn)前后的歸一化陣列方向圖及

目標(biāo)函數(shù)值的進(jìn)化曲線圖

例3：令SLVL=-38 dB，NLVL=-85 dB，方向圖在23.5°，36.4°，43.4°，50.4°，55°，64.8°，69.8°，75.6°八個(gè)方向形成零點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。圖3（a）中虛線代表采用文獻(xiàn)[8]中的算法得到的結(jié)果，實(shí)線代表改進(jìn)后的算法得到的結(jié)果?？梢钥闯?，利用文獻(xiàn)[8]中的算法經(jīng)過(guò)41 300代進(jìn)化后陷入局部最優(yōu)值，之后進(jìn)化基本停止，既使進(jìn)化到80 000代，仍無(wú)法跳出局部最優(yōu)值，得到的結(jié)果遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到目標(biāo)要求。而改進(jìn)后的算法只需進(jìn)化到4 900代就達(dá)到了要求，綜合得到的最大旁瓣電平為-37.92 dB，最高零陷為-85.00 dB。

同例2中的分析一樣，從圖3（b）可以看出，①，②情況下分別進(jìn)化到41 340代、40 840代后，進(jìn)化基本停止，既使進(jìn)化到80 000代，仍無(wú)法跳出局部最優(yōu)值。③ 情況下收斂緩慢，進(jìn)化到80 000代時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值為1.77 dB，已經(jīng)接近目標(biāo)值0 dB。④ 情況下只需要4 900代就達(dá)到了要求。通過(guò)比較可以看出，僅采用擴(kuò)大振幅的操作來(lái)加速收斂所起到的作用較小，而采用改進(jìn)的交叉算子則效果明顯。如果既擴(kuò)大振幅范圍，又改進(jìn)交叉算子，則可以使得目標(biāo)函數(shù)迅速收斂到期望的結(jié)果。

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圖2 改進(jìn)前后的歸一化方向圖及目標(biāo)函數(shù)值的進(jìn)化曲線圖

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圖3 改進(jìn)前后的歸一化方向圖及目標(biāo)函數(shù)值的進(jìn)化曲線圖

為了進(jìn)一步探求改進(jìn)算法的適用性，利用式（6）優(yōu)化了唯相位分布的、非各向同性陣元的線陣方向圖，假定在64°，70°方向形成零陷，結(jié)果如圖4所示。由于相位擴(kuò)大操作會(huì)改變函數(shù)值，因此，這里僅改進(jìn)了交叉算子。圖4中虛線代表文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果，實(shí)線代表本文算法得到的優(yōu)化結(jié)果。從圖4（a）可以看出，運(yùn)用改進(jìn)后的算法得到的方向圖的最大旁瓣為-15.01 dB，最高零陷為-54.76 dB，比文獻(xiàn)[11]中分別低2.53 dB、4.96 dB，并且主瓣波束寬度幾乎沒(méi)有變化。從圖4（b）可以看出，利用改進(jìn)后的算法，僅需要850代進(jìn)化就達(dá)到了要求，因此本文算法同樣可高效地應(yīng)用于陣列天線方向圖的唯相位綜合上。

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圖4 改進(jìn)前后的歸一化方向圖及目標(biāo)函數(shù)值的進(jìn)化曲線圖

4? 結(jié)? 語(yǔ)

本文利用一種改進(jìn)的遺傳算法分別進(jìn)行線性陣列天線方向圖的唯振幅和唯相位綜合，數(shù)值仿真結(jié)果表明該算法能夠很好地克服原來(lái)算法的早熟現(xiàn)象，并使算法的收斂速度提高了2～10倍以上，表明本文算法是一種較為高效的陣列方向圖綜合算法。

參考文獻(xiàn)

[1] 周明，孫樹(shù)棟.遺傳算法原理及應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1999.

[2] 梁宇宏，陳星，溫劍，等.改進(jìn)遺傳算法應(yīng)用于超低副瓣天線陣的綜合設(shè)計(jì)[J].微波學(xué)報(bào)，2010，26（4）：47?50.

[3] 楊麗娜，丁君，郭陳江，等.基于遺傳算法的陣列天線方向圖綜合技術(shù)[J].微波學(xué)報(bào)，2005，21（2）：38?41.

[4] 葉正華，謝勇，鄭金華.一種改進(jìn)的基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法[J].湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24（3）：32?35.

[5] RADIOM S， ALIAKBARIAN H， VANDENBOSCH G， et al. A simple real?coded compact genetic algorithm and its application to antenna optimization [C]// Proceedings of Microwave conference. [S.l.]： APMC， 2007： 36?41.

[6] HERRERA Francisco， LOZANO Manuel. Gradual distributed real?coded genetic algorithms [J]. IEEE transactions on evolutionary computation， 2000， 4（1）： 43?62.

[7] MARCANO Díógenes， DUR?N Filinto. Synthesis of antenna arrays using genetic algorithms [J]. IEEE Antennas and Propagation Magazine， 2011， 42（3）：12?20.

[8] 馬云輝.陣列天線的遺傳算法綜合[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2001，16（2）：172?176.

[9] LIAO Wen?pin， CHU Fu?lai. Array pattern synthesis with null steering using genetic algorithm by controlling only the current amplitudes [J]. International Journal of Electronics， 1999， 86（4）： 445?457.

[10] LIAO Wen?pin， CHU Fu?lai.? Application of genetic algorithms to phase?only null steering of linear arrays [J] Electromagnetics， 1997， 17： 171?183.

[11] 馬云輝.基于遺傳算法的唯相位控制方向圖零點(diǎn)生成[J].微波學(xué)報(bào)，2001，17（2）：41?46.

[2] 梁宇宏，陳星，溫劍，等.改進(jìn)遺傳算法應(yīng)用于超低副瓣天線陣的綜合設(shè)計(jì)[J].微波學(xué)報(bào)，2010，26（4）：47?50.

[3] 楊麗娜，丁君，郭陳江，等.基于遺傳算法的陣列天線方向圖綜合技術(shù)[J].微波學(xué)報(bào)，2005，21（2）：38?41.

[4] 葉正華，謝勇，鄭金華.一種改進(jìn)的基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法[J].湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24（3）：32?35.

[5] RADIOM S， ALIAKBARIAN H， VANDENBOSCH G， et al. A simple real?coded compact genetic algorithm and its application to antenna optimization [C]// Proceedings of Microwave conference. [S.l.]： APMC， 2007： 36?41.

[6] HERRERA Francisco， LOZANO Manuel. Gradual distributed real?coded genetic algorithms [J]. IEEE transactions on evolutionary computation， 2000， 4（1）： 43?62.

[7] MARCANO Díógenes， DUR?N Filinto. Synthesis of antenna arrays using genetic algorithms [J]. IEEE Antennas and Propagation Magazine， 2011， 42（3）：12?20.

[8] 馬云輝.陣列天線的遺傳算法綜合[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2001，16（2）：172?176.

[9] LIAO Wen?pin， CHU Fu?lai. Array pattern synthesis with null steering using genetic algorithm by controlling only the current amplitudes [J]. International Journal of Electronics， 1999， 86（4）： 445?457.

[10] LIAO Wen?pin， CHU Fu?lai.? Application of genetic algorithms to phase?only null steering of linear arrays [J] Electromagnetics， 1997， 17： 171?183.

[11] 馬云輝.基于遺傳算法的唯相位控制方向圖零點(diǎn)生成[J].微波學(xué)報(bào)，2001，17（2）：41?46.

[2] 梁宇宏，陳星，溫劍，等.改進(jìn)遺傳算法應(yīng)用于超低副瓣天線陣的綜合設(shè)計(jì)[J].微波學(xué)報(bào)，2010，26（4）：47?50.

[3] 楊麗娜，丁君，郭陳江，等.基于遺傳算法的陣列天線方向圖綜合技術(shù)[J].微波學(xué)報(bào)，2005，21（2）：38?41.

[4] 葉正華，謝勇，鄭金華.一種改進(jìn)的基于實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法[J].湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24（3）：32?35.

[5] RADIOM S， ALIAKBARIAN H， VANDENBOSCH G， et al. A simple real?coded compact genetic algorithm and its application to antenna optimization [C]// Proceedings of Microwave conference. [S.l.]： APMC， 2007： 36?41.

[6] HERRERA Francisco， LOZANO Manuel. Gradual distributed real?coded genetic algorithms [J]. IEEE transactions on evolutionary computation， 2000， 4（1）： 43?62.

[7] MARCANO Díógenes， DUR?N Filinto. Synthesis of antenna arrays using genetic algorithms [J]. IEEE Antennas and Propagation Magazine， 2011， 42（3）：12?20.

[8] 馬云輝.陣列天線的遺傳算法綜合[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2001，16（2）：172?176.

[9] LIAO Wen?pin， CHU Fu?lai. Array pattern synthesis with null steering using genetic algorithm by controlling only the current amplitudes [J]. International Journal of Electronics， 1999， 86（4）： 445?457.

[10] LIAO Wen?pin， CHU Fu?lai.? Application of genetic algorithms to phase?only null steering of linear arrays [J] Electromagnetics， 1997， 17： 171?183.

[11] 馬云輝.基于遺傳算法的唯相位控制方向圖零點(diǎn)生成[J].微波學(xué)報(bào)，2001，17（2）：41?46.