一種平板折疊桌的動態(tài)建模與最優(yōu)設(shè)計

侯勇超 張大全 季媛媛 魏紅晶

（1 巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）（2 巢湖學(xué)院計算機與信息工程學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

1 引言

折疊結(jié)構(gòu)的家具因其運輸、存儲方便，節(jié)約空間而贏得消費者親睞。某公司生產(chǎn)了一種可折疊的桌子，桌面呈圓形（橢圓形），桌腿與桌面用鉸鏈鏈接，可以展開成一張長方形平板[1]。桌腿分成兩組，每組用一根鋼筋貫穿木條，每條桌腿上有長短不一的空槽供鋼筋滑動。根據(jù)2014年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題[2]，本文建立的數(shù)學(xué)模型描述了折疊桌的動態(tài)變化過程，并給出了求解最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，最后設(shè)計出了一種用戶可任意設(shè)定桌子高度、桌面形狀和使用者腿部空間需求的橢圓形桌面的折疊桌，并給出了動態(tài)變化過程圖。

2 問題分析與求解

對于給定的長方形平板以及每根木條的寬度，可以得出平板折疊桌兩側(cè)分別有二十根桌腿并排排列，平面示意圖如圖1。此時連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，而且折疊后的桌子高度為53cm，當(dāng)提起木板的兩側(cè)，桌子會緩緩提升，直至達到平衡狀態(tài)。

2.1 桌腿開槽長度及桌角邊緣線方程的求解

因為折疊桌的桌腿長度不同，因此需要開槽以達到穩(wěn)定的目的。

由圖2，可知

由圖3，折疊桌最外側(cè)桌腿與垂直地面方向的夾角設(shè)為α，

圖1 平板折疊桌示意圖

圖2 桌面部分截圖

由（1）（2）解得桌腿開槽長度：

圖3 折疊桌側(cè)面投影圖

由Matlab編程實現(xiàn)得開槽長度，

表1 開槽長度

如下圖以桌面圓心在地面的投影為坐標(biāo)原點建立三維坐標(biāo)系，邊緣線右側(cè)近端的一半的方程：

圖4 折疊桌坐標(biāo)系示意圖

其中，t為參數(shù)，表示桌腿的位置（序號）。

得折疊后桌腳邊緣線的結(jié)果如下圖5，圖6所示

圖5 桌腳單邊緣曲線

圖6 折疊桌立體圖

2.2 給定桌面高度和形狀的折疊桌最優(yōu)設(shè)計

對于給定的桌高70cm，桌面直徑，要求用材最少，即要求所用木材的面積最小。由于桌面直徑已經(jīng)為80cm，即可使桌面寬度定為2y=80cm，只需控制桌面長度能滿足桌高達到70cm的同時最短，此時平板用材最小即達到最優(yōu)。即目標(biāo)函數(shù)為

由第一問可知：折疊桌中最短的木條開槽長度是最長的，但這個開槽長度又必須比這根最短的腿還要短，否則就會造成最短的腿在桌面完全撐起的時候無法夠到鋼筋，故得出約束條件：

根據(jù)桌面的受力分析，穩(wěn)固性由4根桌腳形成的支撐面決定。由于桌面為圓面，當(dāng)以圓的直徑為邊長做圓的外切正方形，正方形四個角所對應(yīng)的地面正投影點為最外側(cè)桌腳著地點時，此時的桌面應(yīng)為最穩(wěn)固狀態(tài)，若著地點再往內(nèi)側(cè)移動就會造成桌面不穩(wěn)定。所以得出約束條件：

于是得到如下非線性規(guī)劃模型，

得出最優(yōu)設(shè)計加工參數(shù)：長方形平板長度為：161.26cm；折疊桌未折疊時圓心軸線與鋼筋位置間的距離為：40.9cm；最短木條開槽長度為39.5916cm。

表2 每條桌腿的開槽長度

2.3 任意橢圓桌面折疊桌的定制模型

設(shè)計并給出橢圓桌面的折疊桌，且材料最省，方案最優(yōu)，已知高度設(shè)定為h，橢圓的長半軸和短半軸分別為r1，r2，折疊桌鋼筋位置與地面的距離為gh，由于橢圓桌面的長半軸為r1，所以折疊桌平板長度為2r1，但平板的長度未知，只需使得桌面長度能滿足桌高達到的同時最短，即能達到材料最省的目標(biāo)，

圖7 橢圓折疊桌折疊過程示意圖

已知折疊桌每條腿的開槽長度都不相同，各條腿的開槽長度從最外側(cè)向內(nèi)逐漸加長，但開槽的最長長度必須要小于最短木條自身的長度，否則鋼筋對最短木條無固定作用，即約束條件為：

桌子的穩(wěn)定條件為：

用戶腿部活動空間的要求為：

于是得出橢圓折疊桌的非線性規(guī)劃模型，

比如某餐桌的用戶定制數(shù)據(jù)為

通過求解上述優(yōu)化問題得到，最外側(cè)桌腿長為x=74.33，折疊桌未折疊時橢圓長軸線與鋼筋位置間的距離為s=35.8815。

根據(jù)上述結(jié)果繪制動態(tài)變化過程圖為：

圖8 橢圓餐桌動態(tài)變化過程圖

3 模型評價與改進

折疊桌模型的設(shè)計不僅能夠精準(zhǔn)的確定開槽的位置與開槽長度，使得折疊桌造型美觀，還能夠優(yōu)化設(shè)計達到節(jié)省材料，節(jié)約成本的目的；面對不同客戶對折疊桌高低大小的不同要求也能夠很好的滿足客戶的要求。

由于在建立模型時，直接將木板的長度作為最外側(cè)的兩條桌腿長度，而現(xiàn)實當(dāng)中會在最外側(cè)兩條腿之間預(yù)留一定的長度，以便安裝鉸鏈等，如果將木板中間留出一定長度會導(dǎo)致桌面無法達到預(yù)定的高度。

文章雖然已經(jīng)考慮了鋼筋距離地面的高度對人放腿是否舒適，但還可以使桌腳邊緣線更往內(nèi)側(cè)移動，從而使得使用者坐在桌子邊緣時，不僅高度符合要求，并且腳活動的范圍更大更舒適。而桌腳邊緣線的彎曲程度取決于木條旋轉(zhuǎn)支點與木板中心線的距離以及最外側(cè)桌腿與垂直方向的夾角，因此可以通過再次求解非線性方程求得更優(yōu)的方案。

[1]韓佳成.平板折疊邊桌[J].設(shè)計，2012，（8）：24-24.

[2]2014 年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題 B 題，http：//www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm2014problems.rar.