基于核范數(shù)凸優(yōu)化的溫度場(chǎng)缺失點(diǎn)重建*

趙震震 ，劉書朋 ，姜 華 ，吳 波 ，何風(fēng)行 ，王營冠

（1.上海大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，上海 200444；2.中國科學(xué)院上海高等研究院 公共安全中心，上海 201210；3.中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所 無線傳感網(wǎng)與通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200050）

0 引言

隨著科技的發(fā)展，大規(guī)模數(shù)據(jù)的分析和處理在當(dāng)今的社會(huì)生活中占據(jù)著越來越重要的地位。然而，常常因?yàn)閿?shù)據(jù)保存不當(dāng)或條件有限等原因?qū)е伦罱K得到的數(shù)據(jù)是缺失的，不完整的。為了得到完整的數(shù)據(jù)，需要對(duì)高維大規(guī)模數(shù)據(jù)的處理與分析。如何利用數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，挖掘出主要信息[1]，利用有限的信息得到完整的數(shù)據(jù)成為近年來研究的熱點(diǎn)問題。

溫度場(chǎng)是物質(zhì)系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)上溫度的集合，包含大量的數(shù)據(jù)。已有研究[2-6]介紹了用聲學(xué)法測(cè)量，用不同算法擬合溫度場(chǎng)的方法，但是關(guān)于溫度場(chǎng)含有缺失點(diǎn)后的重建問題，目前的研究還比較少。本文針對(duì)含有缺失點(diǎn)的溫度場(chǎng)，提出了一種基于核范數(shù)凸優(yōu)化的矩陣填充理論的方法，為含有缺失點(diǎn)的溫度場(chǎng)重建提供了新的思路，并與模擬的溫度場(chǎng)進(jìn)行比較，驗(yàn)證該方法的可行性。

1 問題建模

以二維的穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1中，白框代表已知的溫度場(chǎng)的值，黑框代表未知的值。本文需要解決的問題是，如何通過已知溫度場(chǎng)的數(shù)據(jù)構(gòu)造未知的部分，從而重建整個(gè)溫度場(chǎng)。圖中的P和Q分別為二維溫度場(chǎng)的長和寬。

2 矩陣填充理論

圖1 含有缺失點(diǎn)的二維溫度場(chǎng)離散化模型

矩陣填充考慮的是矩陣的一部分或者大部分元素由于各種原因丟失或無法得知的情況下，如何準(zhǔn)確地將這些元素合理地填充。該理論是由CANDèS E J等人在2009年在壓縮感知的基礎(chǔ)上提出[7]。CANDèS E J詳細(xì)證明了待填充矩陣的特征以及在一定條件下的重建概率[8]。為了解決矩陣的填充問題，假設(shè)待填充的矩陣是冗余的，即其數(shù)據(jù)可以用一個(gè)低位的線性子空間表示[9]。矩陣填充的優(yōu)化問題表示為：

其中M是觀測(cè)到的含有缺失點(diǎn)的矩陣，X是待重建的矩陣，Ω是觀測(cè)到的已知元素的下標(biāo)的集合。此模型的意義在于，將空缺的元素填充后，使矩陣的結(jié)構(gòu)盡可能好，即秩盡可能低。然而，這是一個(gè)NP-hard問題。由于矩陣的秩r與它非奇異值的個(gè)數(shù)相同，所以用矩陣的奇異值的和(即核范數(shù))來近似代替矩陣的秩，于是式(1)優(yōu)化為：

其中||·||*表示核范數(shù)，

表示矩陣第 k大的奇異值。式（1）與式（2）不同之處在于，矩陣的秩對(duì)應(yīng)于矩陣奇異值組成的向量的零范數(shù)，而核范數(shù)對(duì)應(yīng)于矩陣的1范數(shù)。零范數(shù)并非數(shù)學(xué)意義上的范數(shù)，所以從問題（1）到（2）就轉(zhuǎn)變?yōu)榱艘粋€(gè)凸優(yōu)化問題[10]。

然而二維穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)數(shù)值構(gòu)成的矩陣是非稀疏的，如果直接對(duì)缺失點(diǎn)進(jìn)行填充，不僅會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，而且重建出來的溫度場(chǎng)誤差很大。實(shí)驗(yàn)表明，溫度場(chǎng)數(shù)值構(gòu)成的矩陣通過DCT(即離散傅里葉)變換后，表現(xiàn)出較好的稀疏性。在DCT域下，通過矩陣填充理論，采用奇異值迭代[11]的方法對(duì)缺失點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)，然后再對(duì)重構(gòu)后的矩陣作逆變換，最終得到完整的溫度場(chǎng)。

3 溫度場(chǎng)缺失值填充算法

3.1 DCT變換

DCT即離散傅里葉變換，屬于正交變換，它將空間域變換到頻域，把能量集中到少數(shù)幾個(gè)低頻系數(shù)上，高頻分量占其中的比重相當(dāng)小，因此將高頻取出后，仍然可以使原數(shù)據(jù)保持較高的準(zhǔn)確性，具體公式為：

DCT正變換：

其中：0≤μ≤M-1，0≤v≤N-1，c(μ)和 c(v)的表達(dá)式為：

A(i，j)對(duì)應(yīng)溫度場(chǎng)數(shù)值構(gòu)成的矩陣上對(duì)應(yīng)的元素值，Q(μ，v)對(duì)應(yīng)變換到 DCT域后形成的矩陣的對(duì)應(yīng)的元素值。DCT反變換：

3.2 SVD分解

通過SVD（奇異值分解）將一個(gè)非常復(fù)雜的矩陣用更小更簡單的幾個(gè)子矩陣相乘來表示，分解后的奇異值越大，表明對(duì)應(yīng)的元素越重要[12]。奇異值分解描述為：

即A=UΣVT，其中 U為左奇異向量組成的矩陣，V為右奇異向量組成的矩陣，U和V中的向量均相互正交。其中的Σ除了對(duì)角線上的奇異值外，其他都是零，表示為：

其中r為矩陣A的秩。

3.3 算法設(shè)計(jì)如下

輸入：含有缺失值的矩陣EM×N，

輸出：完整的矩陣X。

(1)初始化，令矩陣 EM×N缺失點(diǎn)處的值為零，Y0=0。

(2)計(jì)算：Xk=Dτ(Yk-1)，Yk=Yk-1+δkPΩ(E-Xk)。其中 Dτ為收縮算子，δk為迭代步長，PΩ為投影算子。

(4)矩陣填充結(jié)束，得到結(jié)果為X。

上述算法中，每一次迭代都使Xk最小化，最終收斂到最優(yōu)解，并且設(shè)置迭代的最大次數(shù)為N。然后根據(jù)得到的最優(yōu)解，通過DCT逆變換，實(shí)現(xiàn)溫度場(chǎng)的重建。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 仿真結(jié)果

在長P=10 m、寬Q=10 m的二維空間中，構(gòu)建一個(gè)如下的模擬的典型單峰對(duì)稱溫度場(chǎng)[5]：

在溫度場(chǎng)重建過程中各取長寬M=N=100。文中采用隨機(jī)均勻去掉溫度值的方式，分別對(duì)不同缺失率的溫度場(chǎng)進(jìn)行重建，重建結(jié)果用均方根誤差[5]評(píng)價(jià)，仿真實(shí)驗(yàn)在內(nèi)存為3 GB、處理器為2 GHz的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。為了保證數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性，以10次結(jié)果的平均值作為實(shí)驗(yàn)依據(jù)。均方根誤差定義為：

圖2 模擬溫度場(chǎng)

圖3 缺失10%重構(gòu)圖

圖4 缺失15%重構(gòu)圖

4.2 仿真分析

圖5 缺失20%重構(gòu)圖

表1 溫度場(chǎng)重建誤差及重建時(shí)間

從表1中可以看出，隨著缺失率的提高，均方根誤差不斷增大，即便在缺失率高達(dá)20%的情況下，均方根誤差依然在誤差較小的范圍內(nèi)，并且重構(gòu)溫度場(chǎng)的時(shí)間僅為3.12 s。但是從圖5可以看出，此時(shí)在溫度場(chǎng)的若干點(diǎn)上，誤差相對(duì)較大。因此實(shí)驗(yàn)表明：僅在缺失率處于較低水平時(shí)，該方法能夠精確快速地重構(gòu)出原來的溫度場(chǎng)。另外從表1中可以看出，當(dāng)缺失率變大時(shí)，重建時(shí)間并不一定會(huì)變大，這與溫度場(chǎng)缺失數(shù)據(jù)后形成的矩陣的自由度有關(guān)[8]，矩陣自由度反映了數(shù)據(jù)的可降維性，處理后的矩陣自由度越小，重建時(shí)間和迭代次數(shù)會(huì)越小，反之亦然，因此實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合矩陣填充理論。

5 結(jié)論

在大規(guī)模數(shù)據(jù)處理與分析占據(jù)著社會(huì)生活和科學(xué)研究主流的時(shí)代，如何充分利用數(shù)據(jù)間的冗余性對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效地提取成為研究的重點(diǎn)。本文以含有缺失點(diǎn)的復(fù)雜的溫度場(chǎng)為研究對(duì)象，利用核范數(shù)凸優(yōu)化的矩陣填充理論，對(duì)溫度場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏化處理，對(duì)不同缺失率下溫度場(chǎng)的重建進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了該方法在低缺失率下的可行性，為研究含有缺失點(diǎn)的溫度場(chǎng)的重構(gòu)問題提供了新的方向。

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