提高雷達(dá)速度分辨率的線性調(diào)頻Z變換方法*

孔 偉，曾 榮，王 成，張智源

(中國華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西華陰 714200)

0 引言

彈箭飛行速度影響武器系統(tǒng)的射程、射擊精度和壽命等性能［1］，在常規(guī)靶場武器彈藥的定型、鑒定、射表編擬及科研摸底等試驗(yàn)中，常常需要對(duì)目標(biāo)飛行速度進(jìn)行測量。

基于FFT分析技術(shù)的連續(xù)波測速雷達(dá)具有測速精度高、設(shè)備簡單、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在各國靶場得到廣泛應(yīng)用。FFT分析技術(shù)等效于用一組數(shù)字濾波器對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行濾波，當(dāng)雷達(dá)波束內(nèi)的多個(gè)目標(biāo)之間的速度差大于雷達(dá)速度分辨率時(shí)，雷達(dá)可以對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行檢測。

FFT對(duì)多普勒頻移的物理分辨率［2］取決于所分析的信號(hào)長度，測量信號(hào)長度一定，選擇補(bǔ)零計(jì)算及不同的窗函數(shù)計(jì)算僅僅對(duì)速度頻譜進(jìn)行了某種改善，不能提高速度分辨率，影響多目標(biāo)的測量精度。

實(shí)際測量中，目標(biāo)飛行時(shí)間是一定的，這就決定了FFT的速度分辨率，限制了多目標(biāo)檢測能力。針對(duì)FFT對(duì)于雷達(dá)速度分辨率存在的局限性，文中提出了線性調(diào)頻Z變換方法。

1 頻域速度測量

速度分辨率是指雷達(dá)區(qū)分兩個(gè)具有不同多普勒頻移的目標(biāo)的能力，當(dāng)速度分辨率大于目標(biāo)之間的速度差時(shí)，這些目標(biāo)將被視為一個(gè)目標(biāo)，不能有效分離;當(dāng)速度分辨率小于目標(biāo)之間的速度差時(shí)，多個(gè)目標(biāo)可得到有效分離。

目標(biāo)速度與多普勒頻移存在下述關(guān)系［3］:

式中:vr為目標(biāo)與雷達(dá)天線連線方向上的速度(m/s)，是目標(biāo)飛行速度在天線徑向上的一個(gè)分量;c為光速(m/s);fd為多普勒頻移(Hz);f0為雷達(dá)發(fā)射機(jī)工作頻率(Hz)。

由式(1)知，雷達(dá)速度分辨率實(shí)質(zhì)是對(duì)多普勒頻移的分辨率，提高雷達(dá)速度分辨率本質(zhì)是提高多普勒頻移的分辨率。

對(duì)雷達(dá)接收機(jī)信號(hào)按下式進(jìn)行FFT計(jì)算［4］:

式中:X(k)為FFT計(jì)算結(jié)果;x(n)為雷達(dá)接收機(jī)信號(hào);w(n)為窗函數(shù)，用于選取計(jì)算點(diǎn)數(shù)及抑制頻譜泄漏。

信號(hào)在頻率 fk=kfs/N，k=0，1，…，N－1處的功率為:

N點(diǎn)FFT計(jì)算等效信號(hào)通過N個(gè)中心頻率

為fk的數(shù)字濾波器組后的輸出，當(dāng)多普勒頻移落在第m個(gè)濾波器通帶內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的P(m)在瀑布圖上表現(xiàn)為一個(gè)峰值，對(duì)瀑布圖進(jìn)行速度搜索得到目標(biāo)的飛行速度時(shí)間曲線。

FFT計(jì)算頻譜能夠得到的頻率最大分辨率［2］為:

式中:Δf為頻率分辨率(Hz);fs為采樣頻率(Hz);N為采樣信號(hào)點(diǎn)數(shù);Ts為采樣間隔(s);T為信號(hào)長度(s)。

由式(4)知，F(xiàn)FT最大頻率分辨率取決于信號(hào)長度，當(dāng)測量信號(hào)的長度一定，F(xiàn)FT對(duì)速度的分辨率也就確定了，補(bǔ)零計(jì)算及改變窗函數(shù)都沒有增加信號(hào)的實(shí)際測量長度，僅僅是對(duì)頻譜作了某種“視覺”改善，不能提高真實(shí)的速度分辨率。

2 單位圓上的線性調(diào)頻Z變換［2，5］(CZT)

信號(hào)x(n)的線性調(diào)頻Z變換為:

式中:

圖1 CZT的變換路徑

幅角θ0是線性調(diào)頻Z變換計(jì)算起點(diǎn)，φ0是計(jì)算步長，A0、W0為任意的正實(shí)數(shù)，取 r=0，1，2，…，M－1的 Z 變換，得到如圖1 所示的由 z0，z1，z2，…，zM－1連接的一條螺旋線。

為分析信號(hào)的頻譜，應(yīng)在單位圓上實(shí)現(xiàn)CZT，此時(shí)，A0=W0=1，信號(hào)長度取N點(diǎn)，變換長度取M點(diǎn)，由于:

式(5)可寫成:

令:

則:

式中:

綜合上述計(jì)算過程，CZT的線性濾波計(jì)算可用圖2所示步驟實(shí)現(xiàn)。

圖2 CZT的線性濾波計(jì)算步驟

由圖2可見，計(jì)算單位圓上M點(diǎn)X(zr)的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)g(n)與h(n)的線性卷積，這可以通過FFT來實(shí)現(xiàn)。

單位圓上的CZT轉(zhuǎn)化為FFT，可以進(jìn)行信號(hào)的頻譜分析，在單位圓上θ0是待分析信號(hào)的起始頻率，φ0是頻率計(jì)算步長，理論上這兩個(gè)參數(shù)可任意給定。

因此，在實(shí)際測量中可以根據(jù)對(duì)測量信號(hào)頻率分辨的要求，選擇適當(dāng)?shù)钠鹗碱l率θ0及步長φ0進(jìn)行CZT計(jì)算，對(duì)感興趣的一段頻譜進(jìn)行“細(xì)化”，以提取有用信號(hào)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

在MATLAB環(huán)境下［6］進(jìn)行3個(gè)飛行目標(biāo)測量仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)信號(hào)取自連續(xù)波測速雷達(dá)接收機(jī)輸出的零中頻信號(hào)，對(duì)信號(hào)采樣后分別進(jìn)行FFT分析及CZT分析，具體過程如下。

3.1 生成實(shí)驗(yàn)信號(hào)

實(shí)驗(yàn)條件:雷達(dá)發(fā)射頻率10.500 GHz，雷達(dá)波束中存在3個(gè)飛行目標(biāo)，接收機(jī)輸出的零中頻信號(hào)由3個(gè)正弦信號(hào) f1=20 kHz、f2=20.04 kHz、f3=20.5 kHz及高斯白噪聲組成，多普勒頻移對(duì)應(yīng)的目標(biāo)速度小于300 m/s，采樣頻率 fs=62.5 kHz，信號(hào)長度取 1 024點(diǎn)(16.384 ms)，信噪比SNR=12 dB，實(shí)驗(yàn)信號(hào)為:x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)+sin(2πf3t)+n(t)式中:x(t)為對(duì)應(yīng)3個(gè)目標(biāo)、由3個(gè)正弦信號(hào)及高斯白噪聲疊加的實(shí)驗(yàn)信號(hào);n(t)為均值為零、方差為0.284(對(duì)應(yīng)信噪比SNR=12 dB)服從高斯分布的白噪聲。

圖3是生成的仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)

3.2 FFT分析計(jì)算

根據(jù)式(2)、式(3)對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行FFT計(jì)算，其中窗函數(shù)取哈明窗，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)哈明窗FFT計(jì)算結(jié)果

從圖中峰值標(biāo)記點(diǎn)可以看出，F(xiàn)FT計(jì)算分辨出含有頻率f2與f3兩個(gè)信號(hào)，但不能識(shí)別含有f1頻率成分的信號(hào)。

改變FFT計(jì)算的窗函數(shù)，將哈明窗換為主瓣最窄的矩形窗，重新計(jì)算式(2)、式(3)，結(jié)果如圖5所示。

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)矩形窗FFT計(jì)算結(jié)果

由圖5結(jié)果知，盡管矩形窗函數(shù)的主瓣寬度是哈明窗的一半，但也沒有將3個(gè)信號(hào)成分有效分離，僅僅是放大了峰值。

選取哈明窗或矩形窗，其主瓣對(duì)信號(hào)進(jìn)行了“平滑”，邊瓣對(duì)信號(hào)產(chǎn)生了泄露，二者都沒有分辨出3個(gè)信號(hào)成分，僅僅是對(duì)速度頻譜進(jìn)行了某種改善。

事實(shí)上，對(duì)于分析的仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)，fs=62.5 kHz，M=1 024，由式(4)知:

FFT計(jì)算頻譜能夠分辨的最大頻率為61 Hz，顯然，由于f2－f1=40 Hz＜Δf，所以不能分辨由f1產(chǎn)生的正弦分量;f3－f1=500 Hz＞Δf，所以能分辨由f3產(chǎn)生的正弦分量。

3.3 CZT 分析計(jì)算

CZT計(jì)算參數(shù)選擇為:變換長度取710點(diǎn)，變換步長取10 Hz(小于40 Hz)，變換起點(diǎn)18 kHz，根據(jù)這些參數(shù)計(jì)算式(6)，得到如圖6所示計(jì)算結(jié)果。

圖6 仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)CZT計(jì)算結(jié)果

圖6是在18～22 kHz這一段頻率范圍求出的傅里葉變換，分點(diǎn)較細(xì)，3根譜線都可分辨出來。

將FFT與CZT對(duì)實(shí)驗(yàn)信號(hào)的分析處理結(jié)果顯示在圖7所示的同一坐標(biāo)系下。

圖7 仿真實(shí)驗(yàn)信號(hào)CZT與FFT計(jì)算結(jié)果

可以清晰看到，在不能增加信號(hào)長度條件下(本例信號(hào)長度固定1 024點(diǎn)、16.384 ms)，對(duì)于FFT計(jì)算不能分辨的頻率分量，通過CZT計(jì)算能夠有效分離，提高了頻率分辨率，增強(qiáng)了多目標(biāo)測量能力。

4 結(jié)論

實(shí)際測量中連續(xù)波測速雷達(dá)一次采樣獲得的信號(hào)長度是固定不能增加的，F(xiàn)FT計(jì)算頻譜能夠得到的頻率最大分辨率也就確定了。此時(shí)，利用線性調(diào)頻Z變換可以計(jì)算單位圓上任一段圓弧的FFT，計(jì)算時(shí)的輸入點(diǎn)數(shù)和輸出點(diǎn)數(shù)可以不相等，在不增加多普勒測量信號(hào)長度條件下能夠?qū)︻l譜“細(xì)化”，提高多普勒頻移的分辨率，增強(qiáng)測速雷達(dá)多目標(biāo)測量能力。

仿真實(shí)驗(yàn)表明，不增加分析信號(hào)的長度，在單位圓上計(jì)算CZT，選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)算起點(diǎn)、計(jì)算步長及計(jì)算長度，可以進(jìn)一步提高頻率分辨率，突破FFT最大頻率分辨率的限制。

將這一算法應(yīng)用到測速雷達(dá)中，可以提高連發(fā)射擊、子母彈開倉點(diǎn)等多目標(biāo)的測量能力。

［1］李益民.彈道測量雷達(dá)及在兵器試驗(yàn)中的應(yīng)用［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2010.

［2］胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理理論、算法與實(shí)現(xiàn)［M］.3版.北京:清華大學(xué)出版社，2012.

［3］丁鷺飛，耿富錄.雷達(dá)原理［M］.3版.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2003.

［4］萬建偉，周良柱，皇甫堪，等.測速雷達(dá)中的譜分析技術(shù)［J］.彈道學(xué)報(bào)，1995，7(4):71-76.

［5］陳懷琛.數(shù)字信號(hào)處理教程－MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)［M］.2版.北京:電子工業(yè)出版社，2008.

［6］張志涌.精通MATLAB 6.5版［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2003.