金屬材料彈性常數(shù)與溫度關(guān)系的理論解析

劉 彤，劉敏珊

（鄭州大學(xué)熱能工程研究中心，河南省過(guò)程傳熱與節(jié)能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州450002）

0 引 言

固體材料在外力作用下會(huì)發(fā)生彈性和/或塑性變形。彈性變形的重要性在于各種變形過(guò)程都是從彈性變形開始的，它對(duì)脆性材料的強(qiáng)度、剛度和安全性設(shè)計(jì)具有重要意義，對(duì)塑性和高彈性材料的變形發(fā)展進(jìn)程和過(guò)程都有重要影響。而固體材料的彈性常數(shù)則是描述材料應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系的重要參數(shù)?；诠腆w物理和金屬學(xué)理論［1-2］可知，金屬材料的彈性常數(shù)對(duì)其組織結(jié)構(gòu)不是十分敏感，而且基本上與單相合金的晶粒尺寸以及復(fù)相合金中的第二相彌散度無(wú)關(guān)，但是它的高低標(biāo)志著金屬原子間結(jié)合力的本質(zhì)和強(qiáng)弱，且與鍵的性質(zhì)和晶體結(jié)構(gòu)有著緊密的聯(lián)系。這些都是研究彈性變形的科學(xué)意義。在高溫環(huán)境下服役的結(jié)構(gòu)件，其組織差異會(huì)很快弱化，而且強(qiáng)度最終也主要由原子間的結(jié)合力控制。多晶體材料的彈性常數(shù)可由眾多單晶體的平均化處理獲得，其值在單晶體彈性常數(shù)的最大值與最小值之間，且其彈性模量的計(jì)算值也與試驗(yàn)值較為一致。這說(shuō)明多晶體的彈性變形常數(shù)具有統(tǒng)計(jì)性，且晶界對(duì)多晶體金屬材料彈性變形的影響可以忽略，即晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)的各向異性可以忽略。因此，工程中大多數(shù)金屬材料都可看作是各向同性材料。各向同性材料獨(dú)立的彈性常數(shù)僅有兩個(gè)，即彈性模量E和泊松比ν。彈性模量是材料損傷和結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要的力學(xué)量，在核電裝備設(shè)計(jì)制造和服役壽命評(píng)估中都會(huì)用到。核電裝備中的許多鋼制壓力容器都是在高溫、高壓環(huán)境下工作，詳細(xì)了解這些壓力容器的線膨脹系數(shù)和彈性模量隨溫度和壓力的變化規(guī)律，對(duì)分析研究高溫環(huán)境下工作的金屬材料的變形和損傷，以及在新材料設(shè)計(jì)制造、在役設(shè)備安全評(píng)估等方面有著重要的工程意義［3-5］。

彈性物質(zhì)究其本質(zhì)是一種熱力物質(zhì)。Eringen在其連續(xù)統(tǒng)力學(xué)［6］中以本構(gòu)公理為基礎(chǔ)推導(dǎo)出了熱力物質(zhì)的本構(gòu)方程，并進(jìn)而獲得了彈性物質(zhì)的本構(gòu)方程，即彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，或稱為廣義Hooke定律。溫度對(duì)材料力學(xué)性能的影響非常復(fù)雜，不僅有物理作用，而且還包含物理化學(xué)過(guò)程。目前有關(guān)溫度對(duì)材料力學(xué)性能影響規(guī)律方面的了解仍很欠缺，尤其是在極高溫度和極低溫度下，材料的物理性能數(shù)據(jù)極其匱乏。準(zhǔn)確掌握高溫、高壓下材料的性能數(shù)據(jù)，對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)、火箭和核電站設(shè)備高效率設(shè)計(jì)制造和可靠運(yùn)行具有重要意義。目前國(guó)內(nèi)外能夠提供的彈性參數(shù)一般都是常溫和中高溫度工況（多在400℃以下）［7-8］下的，缺乏高溫和高壓下的材料性能數(shù)據(jù)。另外，在高溫下，材料的結(jié)構(gòu)性能因復(fù)雜的物理（化學(xué)）變化而與常溫、中高溫下的差別顯著，現(xiàn)有的金屬物理性能分析理論方法不足以解決這些問(wèn)題。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)步而快速發(fā)展起來(lái)的分子動(dòng)力學(xué)模擬技術(shù)，以其獨(dú)有的綜合技術(shù)優(yōu)勢(shì)在計(jì)算材料學(xué)和（超）高溫、（超）高壓狀態(tài)下材料物理性能分析方面得到了越來(lái)越多的應(yīng)用。因此，作者基于現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)理論解析獲得了彈性常數(shù)與溫度之間的關(guān)系，并將分析結(jié)果與分子動(dòng)力學(xué)模擬結(jié)果進(jìn)行相互印證，確認(rèn)了模擬方法和程序的正確性；然后，利用分子動(dòng)力學(xué)模擬技術(shù)研究了（超）高溫、（超）高壓下單晶體和多晶體以及合金元素和晶體結(jié)構(gòu)對(duì)材料物理性能的影響規(guī)律?；谠囼?yàn)數(shù)據(jù)［7-8］可整理得到純鐵的彈性模量、碳鋼和低合金鋼線膨脹系數(shù)隨溫度變化的曲線，如圖1～2所示。

圖1 純鐵彈性模量隨溫度變化的曲線Fig.1 Elastic modulus vs temperatures for pure Fe

圖2 不同溫度下碳鋼和低合金鋼的線膨脹系數(shù)αFig.2 Linear expansion coefficient vs temperature for carbon steel and low alloy steels

基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用統(tǒng)計(jì)擬合的方法，雖然能夠得出固體彈性模量與溫度之間的變化關(guān)系，但這些研究都是從宏觀角度和試驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，適用的溫度范圍有限，外推結(jié)果缺乏可靠性，缺乏有關(guān)溫度對(duì)金屬材料性能影響本質(zhì)規(guī)律的深入揭示和說(shuō)明。因此，作者嘗試基于固體結(jié)構(gòu)的原子理論和分子模擬技術(shù)，從原子層面對(duì)彈性模量隨溫度變化的規(guī)律進(jìn)行探討。

1 基于固體物理微觀理論的線膨脹系數(shù)分析

金屬材料的線膨脹系數(shù)和彈性模量與溫度的關(guān)系可根據(jù)物理模型從理論上進(jìn)行一般分析。金屬材料的彈性常數(shù)與金屬晶體結(jié)構(gòu)中原子相互作用勢(shì)能密切相關(guān)。而計(jì)算金屬晶體之間的相互作用能是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題，為了描述金屬原子間的相互作用，人們提出了許多勢(shì)能表達(dá)式，對(duì)于金屬固體材料而言，常用的勢(shì)能模式為Morse勢(shì)和嵌入原子模型（EAM）［9-11］。

對(duì)于固體材料而言，原子運(yùn)動(dòng)被限制在其平衡位置附近，不會(huì)偏離平衡位置太遠(yuǎn)。因此，不管使用何種形式的勢(shì)能函數(shù)，總可以將原子間距為r的原子相互作用勢(shì)u（r）在平衡位置r0處按偏離平衡位移量λ＝r-r0進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開，即

式中：ε0為相當(dāng)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧剛度系數(shù)，稱為簡(jiǎn)諧系數(shù)；ε1，ε2分別稱為第一階和第二階非簡(jiǎn)諧系數(shù)。

對(duì)于金屬晶體而言，一般情況下ε0和ε2為正數(shù)，ε1為負(fù)數(shù)。將u（r）表達(dá)式代入到任意可觀測(cè)物理量的Boltzmann統(tǒng)計(jì)平均計(jì)算公式［12］，可得到溫度為T時(shí)的原子熱振平均位移λm的表達(dá)式（3），根據(jù)線膨脹系數(shù)α物理定義式可得到α的表達(dá)式（4）。

式中：k為Boltzmann常數(shù)；T為熱力學(xué)溫度。

由式（4）可見，熱力學(xué)溫度為零時(shí)，α＝α0＝金屬材料線膨脹系數(shù)與溫度之間的關(guān)系比較復(fù)雜，它們之間的規(guī)律完全由與金屬材料晶體的勢(shì)能相關(guān)的參數(shù)確定。將式（4）對(duì)溫度T求導(dǎo)，可得：

從式（5）可看出，由于ε1為負(fù)數(shù)，隨著溫度升高，α是增大還是減小取決于溫度T高于還是低于某個(gè)特定的溫度值將該溫度定義為轉(zhuǎn)捩溫度。有關(guān)Tc的物理意義尚需探討。當(dāng)溫度T低于Tc時(shí)，隨著溫度的升高，α增大；當(dāng)溫度T高于Tc時(shí)，隨著溫度的升高，α減小。對(duì)于鐵、鎳、銅等金屬材料，將ε0和ε2代入后可知Tc值一般在幾萬(wàn)到十萬(wàn)之間，該溫度遠(yuǎn)超過(guò)金屬材料的沸點(diǎn)。而實(shí)際工程中的溫度T遠(yuǎn)低于Tc，故隨著溫度的升高，α增大，參見圖2。此時(shí)，可將式（4）按冪級(jí)數(shù)展開：

由式（6）知，隨著T升高，α增大。因?yàn)門c較大，工程中的溫度要比Tc小1～2個(gè)數(shù)量級(jí)。所以，式（6）中僅取線性項(xiàng)給出的結(jié)果就足夠精確。以計(jì)算鐵在3 000K時(shí)的線膨脹系數(shù)為例，忽略二次以上高階項(xiàng)后的計(jì)算值與精確值相比，相對(duì)誤差小于5.4%。鎳和銅的Tc值更高，故誤差更小。因此，對(duì)于常見的金屬材料而言，在3 000K的溫度范圍內(nèi)，線膨脹系數(shù)隨溫度升高呈線性增大，計(jì)算式如下：

α＝α0（1＋bT） （8）

式中：α0為溫度T等于零時(shí)的線膨脹系數(shù)；b為相對(duì)變化比例常數(shù)。

Morse勢(shì)能函數(shù)常用來(lái)表征金屬原子間的相互作用。由Morse勢(shì)能函數(shù)式易知原子間力的強(qiáng)弱隨距離呈指數(shù)式衰減。因此，可選取適當(dāng)?shù)木嚯x進(jìn)行截?cái)?，只需將截?cái)嗑嚯x內(nèi)的原子對(duì)目標(biāo)原子的勢(shì)能貢獻(xiàn)計(jì)入就足夠精確，截?cái)嗑嚯x外原子的影響可忽略不計(jì)。選取文獻(xiàn)［13］中立方晶體結(jié)構(gòu)金屬鐵的Morse勢(shì)能參數(shù)值，截?cái)嗑嚯x取2倍最近鄰距離，應(yīng)用式（7）計(jì)算可以得到金屬鐵的α0和b，從而獲得其線膨脹系數(shù)與溫度的線性關(guān)系：

α＝9.541 2×10-6（1＋0.000 051 062T） （9）

對(duì)不同溫度下碳鋼的線膨脹系數(shù)數(shù)據(jù)［7-8］進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并處理后有

α＝（8.3477～10.787）×10-6［1＋（0.000 435 7～0.001 345）T］ （10）

考慮到碳鋼與純鐵間的差異，理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間符合得還是比較好的。

2 溫度對(duì)彈性性能影響的理論分析

2.1 不同溫度下彈性模量的理論計(jì)算公式

材料彈性模量E的溫度系數(shù)η和線膨脹系數(shù)α的關(guān)系式為

金屬物理研究結(jié)果表明，彈性模量的溫度系數(shù)和線膨脹系數(shù)之比為一恒值，即

根據(jù)中高溫和低溫范圍內(nèi)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)［5］，工程中常用鋼、奧氏體鋼、鐵鎳合金、鐵、鋁和銅合金等的常數(shù)m（平均值）為24.66，標(biāo)準(zhǔn)差為0.76。

利用式（13）并積分式（11），令熱力學(xué)溫度為零時(shí)的彈性模量為E0，可得式（14）。

式（14）即為材料彈性模量與溫度之間的普遍關(guān)系式，該函數(shù)式為復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為

由式（15）易見dE/dT＜0，這說(shuō)明彈性模量總是隨溫度的升高而降低，當(dāng)溫度逐漸升高趨于轉(zhuǎn)捩溫度Tc時(shí)，dE/dT→0，彈性模量E也趨于零。

根據(jù)前面的分析知，從熱力學(xué)溫度的零度到金屬熔點(diǎn)溫度（遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)捩溫度Tc）范圍內(nèi)，線膨脹系數(shù)α隨溫度T的變化符合線性關(guān)系。將式（8）代入（12）式則有

η＝-mα0（1＋bT） （16）

根據(jù)η的定義式和式（16）可得

對(duì)式（17）積分、整理后可得

由于m為正數(shù)，且對(duì)于包括金屬在內(nèi)的絕大多數(shù)物質(zhì)來(lái)說(shuō)，都是熱脹冷縮。因此，一般情況下線膨脹系數(shù)α都大于零。另外，由前面分析知，當(dāng)T＜Tc時(shí)，α隨溫度的升高而增大，即斜率常數(shù)b大于0，由式（18）可知，彈性模量E隨溫度的升高而降低，且隨著溫度向高溫發(fā)展，彈性模量下降得更快，即彈性模量隨溫度升高呈復(fù)雜的指數(shù)規(guī)律遞減。純鐵彈性模量隨溫度的變化情況如圖1所示。

為便于分析，將式（18）按Taylor級(jí)數(shù)展開，并取前4項(xiàng)，可得下列近似計(jì)算公式

線膨脹系數(shù)隨溫度變化的斜率b很小，接近零，在-100～300℃范圍，α基本上與溫度無(wú)關(guān)，因此，b≈0，此時(shí)可得：

2.2 高溫金屬晶體塑性變形對(duì)彈性常數(shù)的影響

純凈的單晶體由于其內(nèi)稟的柔順性，極易產(chǎn)生位錯(cuò)，如滑移和孿晶，即使是在比較低的溫度下也很容易發(fā)生。而位錯(cuò)的運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致塑性變形，尤其是在高溫下，溫度產(chǎn)生的熱激活能誘導(dǎo)材料晶體內(nèi)部發(fā)生更密集的位錯(cuò)。純鐵和碳鋼在溫度超過(guò)500℃后，應(yīng)當(dāng)考慮晶體結(jié)構(gòu)中局部塑性變形對(duì)材料宏觀性能的影響［14-15］。材料晶體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生塑性變形后，由于塑性的非線性特性，理論上應(yīng)力和應(yīng)變之間不再遵從線性關(guān)系。但由于晶格塑性變形所占比例極小，因此，宏觀上應(yīng)力和應(yīng)變之間的比例關(guān)系并未遭到嚴(yán)重破壞，彈性常數(shù)仍是占據(jù)主導(dǎo)意義的物理量。

高溫誘導(dǎo)的位錯(cuò)所產(chǎn)生的塑性應(yīng)變?chǔ)舙占總應(yīng)變?chǔ)诺谋壤苄?，即εp遠(yuǎn)較彈性應(yīng)變?chǔ)舉小。根據(jù)材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可導(dǎo)出式（21）。

式中：Ee為彈性模量原始值。

由式（21）可導(dǎo)出

對(duì)于很多材料而言，熱激活能的高低決定著所形成點(diǎn)缺陷的密度，而塑性應(yīng)變正比于點(diǎn)缺陷數(shù)量，且一般情況下應(yīng)力變化率與應(yīng)變率的比與應(yīng)力與應(yīng)變的比相同，皆為彈性模量E。因此，通過(guò)位錯(cuò)滑移熱激活參量分析可以獲得塑性應(yīng)變和熱激活能之間的指數(shù)關(guān)系，如式（23）所示［16］。

式中：A為與材料微觀物理結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)，由應(yīng)變速率、滑移面取向因子、Burgers矢量、晶體內(nèi)聲速、Helmholtz自由能等決定，A與溫度無(wú)關(guān)或關(guān)系很??；ΔG為位錯(cuò)用最小激活能從其平衡位置等溫移至鞍點(diǎn)位置時(shí)系統(tǒng)的Gibbs自由能變化量，它是結(jié)構(gòu)、溫度和有效應(yīng)力的函數(shù)。

對(duì)于純鐵和低碳鋼來(lái)說(shuō)，A＝79.853，ΔG/k＝5 802.26。

將式（23）代入式（22）可得

1/［1＋Ae-ΔG/（kT）］的大小代表了熱激活能對(duì)彈性常數(shù)的影響程度?？梢姡S著溫度的降低，熱激活能的影響減弱；隨著溫度的升高，其影響變強(qiáng)。

綜合式（18）和（24）可得適應(yīng)寬泛溫度范圍、具有普適性的彈性模量表達(dá)式：

式（25）即為適用于高溫和低溫下材料彈性模量的計(jì)算公式。從工程應(yīng)用出發(fā)，可引入修正系數(shù)Cm（T）來(lái)考慮局部熱塑性變形。其定義式為

通過(guò)計(jì)算可得到純鐵和低碳鋼的修正系數(shù)：

式（25）可寫成

采用近似計(jì)算展開式有

在工程合理溫度范圍，通過(guò)多項(xiàng)式統(tǒng)計(jì)擬合后可得Cm與溫度T之間的多項(xiàng)式。對(duì)于工業(yè)純鐵和低碳鋼而言，Cm（T）的多項(xiàng)式為

Cm（T）＝1.0-1.328 6×10-4T＋6.138 5×10-7T2-6.711 6×10-10T3（30）

對(duì)于中高溫范圍，考慮高溫?zé)峒せ钏苄宰冃魏罂傻孟铝袕椥阅Ａ坑?jì)算式

考慮線膨脹系數(shù)隨溫度變化的彈性模量計(jì)算公式為

采用隨溫度線性變化的線膨脹系數(shù)關(guān)系式為

E＝E0［1-24.66α0（1＋bT）T］ （33）

綜合考慮高溫?zé)峒せ罹植克苄宰冃涡拚笥?/p>

采用隨溫度線性變化的線膨脹系數(shù)關(guān)系式時(shí)

E＝E0［1-24.66α0（1＋bT）T］（1.0-1.328 6×10-4T＋6.138 5×10-7T2-6.7116×10-10T3） （35）

按照碳鋼和壓力容器鋼參數(shù)繪制上述關(guān)系式的曲線，如圖3所示，將現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)記于其上，以便進(jìn)行對(duì)比分析。由圖3可以看出，理論計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得相當(dāng)好。純鐵的數(shù)據(jù)略高于理論計(jì)算值，但是變化趨勢(shì)完全一致。

圖3 不同溫度下彈性模量溫度關(guān)系理論計(jì)算曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比Fig.3 Comparison of analytical results and experimental data of elastic modulus at different temperatures

上述理論分析是基于材料組織結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化的情況下進(jìn)行的。對(duì)于通常的工業(yè)應(yīng)用，工作溫度一般都低于600℃，但是核電廠和火電廠有些結(jié)構(gòu)零件會(huì)在相當(dāng)高的溫度下工作。當(dāng)溫度超過(guò)912℃后，鐵的晶體結(jié)構(gòu)會(huì)從體心立方轉(zhuǎn)變?yōu)槊嫘牧⒎?，即通常所說(shuō)的α-Fe轉(zhuǎn)變成γ-Fe，此時(shí)其彈性常數(shù)也會(huì)發(fā)生較大變化，彈性模量會(huì)發(fā)生陡降，此時(shí)需要考慮晶體結(jié)構(gòu)變化帶來(lái)的影響。

3 結(jié) 論

（1）導(dǎo)出了碳鋼和壓力容器鋼線膨脹系數(shù)α與溫度之間的解析表達(dá)式和近似計(jì)算展開式。

（2）提出了線膨脹系數(shù)轉(zhuǎn)捩溫度Tc的定義式；當(dāng)溫度T低于Tc時(shí)，α隨著溫度的升高而增大，當(dāng)溫度T高于Tc時(shí)，α則隨著溫度的升高而減小。

（3）對(duì)于常用金屬材料，溫度不超過(guò)3 000K時(shí)，線膨脹系數(shù)隨溫度升高而近似線性增大。

（4）對(duì)于金屬固體材料，推導(dǎo)出了考慮高溫?zé)峒せ钅苷T導(dǎo)位錯(cuò)變形效應(yīng)的彈性模量與寬范圍溫度之間的關(guān)系。

（5）給出了碳鋼和壓力容器鋼彈性模量與溫度之間的普適關(guān)系。

（6）對(duì)于純鐵、碳鋼以及壓力容器鋼，采用導(dǎo)出的理論公式計(jì)算的不同溫度下的彈性模量與試驗(yàn)值符合良好。

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