一個新型指數(shù)混沌系統(tǒng)的設(shè)計與電路實現(xiàn)

薛 華

（濱州學院 光電工程系，山東 濱州 256603）

混沌可作為隨機信號源用以產(chǎn)生保密通信中所需的偽隨機序列.為了提高混沌偽隨機序列的復雜性，近年來各種新型的混沌系統(tǒng)不斷被提出，如超混沌系統(tǒng)［1－2］、分數(shù)階混沌系統(tǒng)［3－4］、基于記憶電阻的混沌系統(tǒng)［5－6］、恒lyapunov指數(shù)混沌系統(tǒng)［7］等.非線性是系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件之一，從某種意義上說非線性的強弱決定了混沌系統(tǒng)本身及其混沌吸引子的復雜性.迄今混沌系統(tǒng)中采用的非線性函數(shù)除乘積函數(shù)外，還有分段線性、絕對值及正弦等函數(shù)［8－10］.指數(shù)函數(shù)本身是一個非線性函數(shù)，如果把其指數(shù)變量用兩個或兩個以上的變量的乘積來表示，其將是一個強非線性項.另外，指數(shù)函數(shù)常作為人口成長模型，而PN結(jié)的數(shù)學模型也是一個自然指數(shù)函數(shù).因此，如果自然指數(shù)函數(shù)能夠構(gòu)成混沌系統(tǒng)，其在實際應(yīng)用中將比乘積項更有價值.但目前此類研究較少，因此作者擬提出用自然指數(shù)函數(shù)替代一個非線性乘積項來構(gòu)建一種新型混沌系統(tǒng)，研究該系統(tǒng)的復雜動力學特性，同時還設(shè)計該混沌系統(tǒng)的硬件電路，通過數(shù)值仿真和電路實驗驗證該系統(tǒng)的混沌特性.

1 混沌模型

構(gòu)造的新混沌系統(tǒng)為

其中：a，b，c∈R＋.

令

系統(tǒng)的5個平衡點為

通過分析可知，當系統(tǒng)參數(shù)a，b，c∈R＋，x2和y2為復數(shù)時，只有S0，S1，S2為系統(tǒng)的平衡點.當a＝10，b＝3，c＝4時，系統(tǒng)（1）存在一個混沌吸引子，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（1）的混沌吸引子相圖Fig.1 The chaotic attractor phase diagram of system（1）

2 基本動力學特性

2.1 系統(tǒng)的耗散性

系統(tǒng)（1）的散度為

當a＝10，b＝3，c＝4，－（a＋b－c）＜0時，系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，該系統(tǒng)按照如下指數(shù)速率收斂

系統(tǒng)被限制在一個體積為0的點集上，其漸進動力學行為被限制在一個吸引子上，說明該系統(tǒng)存在著吸引子.

2.2 平衡點及穩(wěn)定性

當a＝10，b＝3，c＝4時，系統(tǒng)的3個平衡點為

在S0處將方程線性化，可得Jacobian矩陣

由其特征方程為｜J｜－λI＝0，得

在S0處，當a＝10，b＝3，c＝4時，系統(tǒng)（1）的特征根為

為使系統(tǒng)（1）產(chǎn)生混沌，特征方程的特征根要至少有一項大于零.當a＝3，b＝4，c＝10時，系統(tǒng)（1）的特征方程特征根λ2＝3.675 0＞0，由此可知平衡點S0不穩(wěn)定.

在平衡點S1，S2處將方程線性化，得到二者相同的特征多項式

當a＝10，b＝3，c＝4時，線性化系統(tǒng)在S1，S2處的Jacobian矩陣具有相同的特征值

且滿足Shil Nikov定理，則系統(tǒng)（1）能產(chǎn)生混沌的鞍焦點.

2.3 Lyapunov指數(shù)和分岔圖

為了研究參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學特性的影響，固定參數(shù)a＝10，c＝4，使參數(shù)b在［0，6］這個區(qū)間內(nèi)變化，Lyapunov指數(shù)隨b變化的指數(shù)圖譜和變量x隨b變化的分岔圖如圖2～3所示.

圖2 Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Lyapunov index spectrum

圖3 分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram

從圖2可以看出，當a＝10，b＝1，c＝4時，LE1＝0，LE2＝LE3＜0，系統(tǒng)（1）處于周期狀態(tài).當b∈［2.3，3.2］，［3.5，6］，LE1＞0，LE2＝0，LE3＜0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，通過數(shù)值仿真可得到混沌吸引子相圖（見圖1）.

3 混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計與實現(xiàn)

為了驗證系統(tǒng)的混沌行為，基于模擬電子電路的設(shè)計原理，設(shè)計出了如圖4所示的混沌電路［11］.該電路可實現(xiàn)加、減、反相、積分、指數(shù)運算，電路中的乘法器（AD633）可實現(xiàn)非線性乘積項，乘法器的增益為0.1［12］.

圖4 系統(tǒng)（1）的混沌電路Fig.4 Chaotic circuit of system（1）

圖4所示電路的狀態(tài)方程為

設(shè)R4＝R11＝R17＝R，C1＝C2＝C3＝C.作線性變換

和時間線性變換

得

將上式改寫為

當a＝10，b＝3，c＝4時，將式（1）與（10）比對，得到

令

可解得

根據(jù)圖4所示的電路搭建硬件電路，通過示波器觀察到的混沌吸引子如圖5所示，此實驗結(jié)果和Matlab仿真結(jié)果相同.

圖5 示波器中觀測到的混沌吸引子相圖Fig.5 The chaotic attractor phase diagram that is observed in oscillograph

4 指數(shù)混沌序列隨機性測試

為了了解指數(shù)混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的偽隨機序列的隨機性，采用NIST測試標準和安裝在Linux系統(tǒng)下的STS－2.0軟件包對其進行隨機性測試.根據(jù)測試要求，利用該文提出的指數(shù)混沌系統(tǒng)生成了109bit的2進制序列，并將其分成1 000組進行測試，測試結(jié)果如表1所示.

表1 指數(shù)混沌偽隨機序列測試結(jié)果Tab.1 Test results of the index chaotic pseudo－random sequence

根據(jù)P－VALUE值計算公式可得，若P－VALUE≥0.000 1，則可認為被測試序列P－VALUE值是均勻分布的.觀察表1中15項測試的P－VALUE值，除了傅里葉變換測試項外，其余14項都滿足判定要求，在測試中表現(xiàn)為均勻分布.

值得注意的是，雖然測試項在P－VALUE值和PROPORTION通過率中各有一項未通過，但一般情況下表1中前4項（基本測試項）通過即表明序列有良好的隨機特性［13］，該測試中4個基本項在均勻分布和通過率方面都通過了測試，說明指數(shù)混沌有著良好的隨機特性.

5 結(jié)束語

作者提出了一個新型的混沌系統(tǒng)，用指數(shù)函數(shù)替代原方程中的非線性項，該系統(tǒng)有復雜的動力學特性，理論上的動力學分析、數(shù)值仿真及實驗都證明了系統(tǒng)具有混沌性，所設(shè)計的硬件電路選用的是反相輸入運算放大器，使硬件電路的參數(shù)調(diào)節(jié)方便.指數(shù)運算電路是通過一個二極管實現(xiàn)，電路簡單可行.該混沌系統(tǒng)通過了NIST測試，表明其有著良好的隨機特性，因此可作為混沌信號源應(yīng)用于混沌保密系統(tǒng)和混沌雷達系統(tǒng)之中.

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