基于混合優(yōu)化策略的多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化及其應(yīng)用

許 輝，周 奇，張立麗

(1．中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢430064;2．江蘇自動(dòng)化研究所，江蘇 連云港222006)

0 引 言

船舶作為一個(gè)復(fù)雜的龐大系統(tǒng)，涉及到操縱、阻力、耐波、結(jié)構(gòu)、振動(dòng)與噪聲、工藝、材料等多個(gè)方面，這些方面之間存在著相互影響、相互制約的耦合關(guān)系，因此船舶設(shè)計(jì)是一個(gè)多學(xué)科、多變量、多約束的復(fù)雜工程設(shè)計(jì)問(wèn)題。就傳統(tǒng)方法而言，船舶設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)每個(gè)專(zhuān)業(yè)的分析單獨(dú)進(jìn)行，設(shè)計(jì)問(wèn)題是以串行設(shè)計(jì)的方法來(lái)解決。為了追求整體最優(yōu)，設(shè)計(jì)者往往需要對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)流程進(jìn)行反復(fù)迭代，每進(jìn)行一次循環(huán)，都要做大量的協(xié)調(diào)工作，不可避免地導(dǎo)致設(shè)計(jì)周期過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題。同時(shí)，由于割裂了學(xué)科間耦合關(guān)系，設(shè)計(jì)的結(jié)果往往失去了全局最優(yōu)性，而陷入局部最優(yōu)。

20世紀(jì)80年代，多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(multidisciplinary design optimization，MDO)興起于航空航天領(lǐng)域，以Sobieski和Kroo 為代表的科學(xué)家在這方面做了開(kāi)創(chuàng)性的工作［1－2］。MDO 是一種通過(guò)充分探索和利用工程系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機(jī)制來(lái)設(shè)計(jì)復(fù)雜產(chǎn)品及其子系統(tǒng)的方法論［1］。隨著MDO的發(fā)展，涌現(xiàn)出諸如多學(xué)科可行方向法(multidisciplinary feasible method，MDF)、單學(xué)科可行方向法(individual discipline feasible，IDF)、并行子空間優(yōu)化算法(concurrent subspace optimization，CSSO)、協(xié)同優(yōu)化算法(collaborate optimization，CO)、兩級(jí)集成系統(tǒng)綜合(bi-ievel integrated system synthesis，BLISS)等優(yōu)化框架。其中，Kroo 等［3］提出的協(xié)同優(yōu)化算法由于具有良好的學(xué)科自治性和并行處理能力，一直被認(rèn)為是多學(xué)科優(yōu)化中最具前途的優(yōu)化算法。

本文在分析傳統(tǒng)CO 求解多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題易出現(xiàn)缺陷原因的同時(shí)，提出一種基于模擬退火算法和序列二次算法的混合協(xié)同優(yōu)化，并將其應(yīng)用于齒輪減速箱和纖維加強(qiáng)型懸臂梁輕量化設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中驗(yàn)證其有效、實(shí)用性。

1 基于混合優(yōu)化策略的協(xié)同優(yōu)化

1.1 協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)描述及求解流程

CO 是Kroo 等針對(duì)單級(jí)多學(xué)科優(yōu)化方法在解決大型復(fù)雜系統(tǒng)工程時(shí)出現(xiàn)的低效率和大計(jì)算量問(wèn)題，提出的具有兩級(jí)結(jié)構(gòu)的多學(xué)科優(yōu)化策略。CO 將優(yōu)化問(wèn)題分為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和并行的多個(gè)學(xué)科級(jí)。

系統(tǒng)級(jí)的數(shù)學(xué)描述形式如下:

CO 算法的學(xué)科級(jí)數(shù)學(xué)描述形式為:

式中:Ji(xi)為學(xué)科級(jí)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);xij為學(xué)科級(jí)i 的第j 個(gè)共享變量;xil為學(xué)科級(jí)i 的局部設(shè)計(jì)變量;為系統(tǒng)級(jí)傳遞給學(xué)科級(jí)i 的第j 個(gè)共享變量;g(xij，xil)為學(xué)科級(jí)局部約束條件。

1.2 基于混合優(yōu)化策略的協(xié)同優(yōu)化

雖然CO 在工程應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但CO 的收斂性并沒(méi)有得到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。同時(shí)，在實(shí)際運(yùn)用過(guò)程中CO 表現(xiàn)出計(jì)算方面的困難。NASA 在IDF、MDF 及CO 的收斂性能進(jìn)行測(cè)試與評(píng)估的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)CO 解決齒輪減速箱、電器封裝、丙烷燃燒等十大測(cè)試實(shí)例存在計(jì)算成本大、對(duì)初始點(diǎn)敏感甚至無(wú)法收斂等缺陷。究其原因在于CO 獨(dú)特的一致性約束表現(xiàn)形式:CO 算法中系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的一致性等式約束條件形式是2－范數(shù)形式，其導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)解處的Jacobia 矩陣是奇異矩陣將導(dǎo)致系統(tǒng)級(jí)Kuhn－Tucker 條件無(wú)法滿(mǎn)足，優(yōu)化求解時(shí)采用基于梯度的優(yōu)化方法，常出現(xiàn)無(wú)法收斂或收斂陷入局部最優(yōu)的尷尬境地。針對(duì)這種情況，國(guó)內(nèi)外學(xué)者繼承標(biāo)準(zhǔn)CO 兩級(jí)優(yōu)化框架的基礎(chǔ)上致力于提高CO 的數(shù)值穩(wěn)定性。研究工作主要包含2 個(gè)方面:一是采用近似技術(shù)建立系統(tǒng)級(jí)約束的代理模型降低計(jì)算成本，光滑數(shù)值噪聲［5－6］。如響應(yīng)面近似模型、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、Kriging 模型;另一方面是采用罰函數(shù)的方法將系統(tǒng)級(jí)有約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，以降低優(yōu)化迭代難度，提高總體收斂效率［7－8］。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛躍發(fā)展，遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法等現(xiàn)代智能優(yōu)化算法在系統(tǒng)工程、自動(dòng)化、航空航天、船舶與海洋工程等領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。若采用具有優(yōu)秀全局搜索能力的智能算法取代系統(tǒng)級(jí)中基于梯度的優(yōu)化算法，在一定程度上能保證協(xié)同算法的魯棒性，但應(yīng)該注意智能算法需要更多的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的計(jì)算次數(shù)，當(dāng)各學(xué)科的分析模型很復(fù)雜時(shí)，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算成本過(guò)大的問(wèn)題。文獻(xiàn)［9］從理論上證明了在系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化中，當(dāng)初始點(diǎn)已在最優(yōu)解附近時(shí)，基于梯度的優(yōu)化算法能迅速地收斂到最優(yōu)解。綜合以上分析提出基于混合優(yōu)化策略的協(xié)同優(yōu)化。

SA－SQP－CO 在繼承標(biāo)準(zhǔn)協(xié)同優(yōu)化學(xué)科自治和并行設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上作了以下2 個(gè)方面的改進(jìn):

1)采用具有全局搜索能力的模擬退火算法和基于梯度的序列二次優(yōu)化的混合策略取代傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化系統(tǒng)級(jí)中的基于梯度的優(yōu)化算法。

SA 算法是一種啟發(fā)式的隨機(jī)尋優(yōu)算法，它模擬了物理退火過(guò)程，從一個(gè)給定的初始高溫開(kāi)始，利用具有概率突跳特性的Metropolis 抽樣策略在解空間中隨機(jī)搜索，伴隨溫度的不斷下降重復(fù)抽樣過(guò)程，最終得到問(wèn)題的全局最優(yōu)解。SA 具備優(yōu)秀的全局搜索能力，但在求解過(guò)程中，當(dāng)搜索到最優(yōu)解附近解域時(shí)，收斂速度迅速降低大大增加了計(jì)算成本，此時(shí)采用SQP 算法進(jìn)行替代SA 算法能迅速收斂。

SA－SQP－CO 具體流程如圖2所示。

2 算例分析

2.1 齒輪減速器優(yōu)化問(wèn)題

齒輪減速器優(yōu)化算例是NASA 評(píng)估多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化方法性能的10 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例之一［10］。該設(shè)計(jì)問(wèn)題包括7 個(gè)設(shè)計(jì)變量，如圖3所示，其中x1為齒面寬度，x2為齒輪模數(shù)，x3為小齒輪齒數(shù)，x4和x5為軸承間距，x6和x7為軸的直徑。目標(biāo)是滿(mǎn)足齒輪的彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力以及軸的位移和應(yīng)力等約束條件下使得減速箱的質(zhì)量最輕。其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表述如下:

其中:

式中:

以上各式中，設(shè)計(jì)變量取值范圍為:2.6 ≤x1≤3.6，0.7 ≤x2≤0.8，17 ≤x3≤28，7.3 ≤x4，x5≤8.3，2.9 ≤x6≤3.9，5 ≤x7≤5.5(單位:cm)。

按照多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)思想，將齒輪箱優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題分解為1 個(gè)系統(tǒng)級(jí)和3 個(gè)學(xué)科級(jí)，系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量為z1，z2，z3，學(xué)科1 的設(shè)計(jì)變量為x1，x2，x3，x4，x6;學(xué)科2 的設(shè)計(jì)變量為x1，x2，x3，x5，x7;學(xué)科3 的設(shè)計(jì)變量為x1，x2，x3。

按照CO 算法的思想，對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行改造如下:

1)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型

式中:

2)子學(xué)科1 的優(yōu)化模型

3)子學(xué)科2 的優(yōu)化模型

4)子學(xué)科3 的優(yōu)化模型

表1 列出了NASA 給出的4 個(gè)不同起始點(diǎn)，其中A，B，C 為可行域內(nèi)的點(diǎn)，D 為可行域外的點(diǎn)。

表1 初始設(shè)計(jì)點(diǎn)Tab.1 Initial design points

為便于傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化收斂，采用Alexandrov 提出的松弛因子法，將系統(tǒng)級(jí)一致性等式約束，i=1，2，3 作松弛處理為，ε=10－4，i=1，2，3。求解時(shí)系統(tǒng)級(jí)采用可行方向法，學(xué)科級(jí)采用序列二次規(guī)劃法，4 個(gè)初始點(diǎn)下的優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

SA－SQP－CO 模擬退火優(yōu)化階段中松弛因子ε1取10－2，序列二次優(yōu)化階段ε2取10－5。4 個(gè)初始點(diǎn)下的優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表2 傳統(tǒng)CO 優(yōu)化結(jié)果［8］Tab.2 The optiminal results of traditional CO

表3 SA－SQP－CO 優(yōu)化結(jié)果Tab.3 The optiminal results of SA－SQP－CO

由表2和表3 可看出，在起始點(diǎn)A 處，松弛CO算法無(wú)法收斂。SA－SQP－CO 系統(tǒng)經(jīng)過(guò)二階段優(yōu)化迭代其優(yōu)化目標(biāo)值為2 987.706 kg，略小于文獻(xiàn)［11］給出的參考值2 994 kg，降低了齒輪箱的質(zhì)量，說(shuō)明采用SA－SQP－CO 能有效解決協(xié)同優(yōu)化算法收斂性差的缺陷，同時(shí)避免了求解陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。

當(dāng)起始點(diǎn)選在最優(yōu)解附近C和可行域外D 時(shí)，松弛協(xié)同優(yōu)化和SA－SQP－CO 都能收斂至最優(yōu)，但從優(yōu)化結(jié)果可以看出SA－SQP－CO 的優(yōu)化解基本一致即魯棒性要優(yōu)于松弛協(xié)同優(yōu)化。圖4 給出了不同初始點(diǎn)下系統(tǒng)級(jí)目標(biāo)函數(shù)迭代過(guò)程。

圖4 不同起始點(diǎn)處SA－SQP－CO 系統(tǒng)級(jí)迭代歷史Fig.4 System-level iteration history of SA－SQP－CO at different points

3 懸臂梁優(yōu)化問(wèn)題

其中:

圖5 承受拋物線型載荷的纖維加強(qiáng)懸臂梁Fig.5 Fiber-reinforced composite cantilever beam subject to a parabolic distributed load

表4 參數(shù)意義及取值Tab.4 Values and meanings of the remain variables

按照協(xié)同優(yōu)化框架將此優(yōu)化問(wèn)題分解為一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和應(yīng)力、變形2 個(gè)學(xué)科級(jí)優(yōu)化問(wèn)題。應(yīng)力學(xué)科1 的約束條件為g1，g3，g4，g5，變形學(xué)科2 的設(shè)計(jì)變量為g2，g4，g6。優(yōu)化模型如下:

1)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型

2)子學(xué)科1 的優(yōu)化模型

3)子學(xué)科2 的優(yōu)化模型

分別采用CO和SA－SQP－CO 對(duì)優(yōu)化問(wèn)題求解，優(yōu)化結(jié)果列于表4 中。從結(jié)果可看出，CO和SA－SQP－CO 均能獲得較初始點(diǎn)更優(yōu)的解，但SA－SQP－CO 下降優(yōu)化程度更大，其中CO 較初始質(zhì)量下降21.11%，SA－SQP－CO 下降38.78%。從最優(yōu)化設(shè)計(jì)方案處各約束條件的取值來(lái)看，SA－SQP－CO 優(yōu)化算法獲得的方案能更大程度的利用材料。

表5 優(yōu)化結(jié)果比較Tab.5 Comparison results between CO and SA－SQP－CO

4 結(jié) 語(yǔ)

分析了標(biāo)準(zhǔn)協(xié)同優(yōu)化求解多學(xué)科問(wèn)題易出現(xiàn)缺陷原因的同時(shí)，提出了一種基于模擬退火算法和序列二次算法的混合協(xié)同優(yōu)化。齒輪減速箱優(yōu)化和纖維加強(qiáng)型懸臂梁輕量化問(wèn)題表明SA－SQP－CO 相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)協(xié)同優(yōu)化算法主要有如下優(yōu)點(diǎn):

1)采用模擬退火算法來(lái)優(yōu)化系統(tǒng)級(jí)，避免了基于梯度的優(yōu)化算法對(duì)數(shù)學(xué)模型表達(dá)形式的挑剔，當(dāng)模擬退火算法搜索到最優(yōu)解域附近時(shí)采用序列二次算法大大加快系統(tǒng)級(jí)收斂速度。同時(shí)，模擬退火算法和序列二次算法混合策略顯著提高了優(yōu)化解的全局最優(yōu)性;

2)在二階段優(yōu)化過(guò)程中采用動(dòng)態(tài)松弛因子，提高了收斂效率。

在艦船多學(xué)科優(yōu)化運(yùn)用中，各學(xué)科分析可以引入各類(lèi)先進(jìn)的數(shù)值仿真軟件。如快速性學(xué)科的Fluent，Shipflow 等，操縱性學(xué)科的Shipma，Napa 等替代經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)提高設(shè)計(jì)精度。

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