惠斯通電橋?qū)嶒?yàn)中對(duì)互易橋臂測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定

原 媛，沈元華，趙在忠，金浩明，馬秀芳，孫燕青，馬世紅

（復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系 物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中心，上海200433）

1 引 言

惠斯通電橋是一種利用比較法精確測(cè)量電阻的電路，用惠斯通電橋測(cè)電阻值的實(shí)驗(yàn)在很多大學(xué)都有開設(shè).橋臂標(biāo)稱值RA和RB相等時(shí)，為了消除橋臂電阻標(biāo)稱值與實(shí)際值之間的偏差引起的系統(tǒng)誤差，實(shí)驗(yàn)過程中常常采用互易橋臂的方法，以達(dá)到消除橋臂電阻系統(tǒng)誤差的目的［1-2］.以往的教學(xué)過程中常常從不確定傳遞公式出發(fā)對(duì)互易橋臂的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度的評(píng)定，這種方法我校已經(jīng)沿用了幾十年，不少兄弟院校也使用類似的方法.但筆者在最近的教學(xué)研討中發(fā)現(xiàn)，過去教學(xué)中一般采用的不確定度評(píng)定方法是不合理的，這牽涉到關(guān)于不確定度評(píng)定的一些基本概念.本文結(jié)合具體實(shí)例討論了這一問題，給出了合理的不確定度評(píng)定方法，并指出過去常用方法錯(cuò)誤的原因.

2 實(shí)驗(yàn)原理

基本電橋電路如圖1所示.圖中標(biāo)準(zhǔn)電阻RA和RB的值已知，且橋臂比例RA:RB≈1:1，調(diào)節(jié)電阻箱RS的值，使得橋上流過靈敏電流計(jì)G的電流為零，此時(shí)電橋達(dá)到平衡，平衡方程為

保持RX和RS的位置不變，互易R(shí)A和RB的位置，分別測(cè)出互易前、后電橋平衡時(shí)橋臂電阻RS的示值RS1和RS2，由（1）式可以得到互易前待測(cè)電阻的阻值為

圖1 惠斯通電橋基本電路

互易后待測(cè)電阻的阻值為

由（2）式和（3）式可以得到待測(cè)電阻的阻值為［2］

3 互易橋臂不確定度評(píng)定的常用方法

以下給出2種對(duì)互易橋臂測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定的方案：一種是筆者實(shí)驗(yàn)教學(xué)中一貫采用的方案；另一種是文獻(xiàn)［3］中給出的方案.這2種方案是多年來被大家所認(rèn)可的關(guān)于互易橋臂測(cè)量結(jié)果不確定度評(píng)定的方法.

3.1 方案一

將（4）式代入傳遞公式可以得到：

而測(cè)量結(jié)果RS1和RS2的標(biāo)準(zhǔn)不確定度則由不確定度合成公式u（x）＝得到，對(duì)于B1類測(cè)量不確定度在教學(xué)中常取uB1（RSi）＝，其中ΔRSi為靈敏電流計(jì)指針偏離平衡位置Δθ格時(shí)電阻箱RSi的改變量；而B2類儀器不確定度則由電阻箱所示最大誤差限（不確定度限值）aRSi來確定所以（5）式可以重新寫為

分別計(jì)算互易前后RS1和RS2的不確定度并代入（6）式，即可得到待測(cè)量RX的不確定度.

3.2 方案二

在文獻(xiàn)［4］中，作者討論了單次測(cè)量時(shí)惠斯通電橋的B類不確定度，并給出了互易橋臂測(cè)量結(jié)果的總的測(cè)量不確定度：它包括了RS1和RS2的測(cè)量誤差，以及在2次測(cè)量中電橋靈敏度引起的測(cè)量誤差，相對(duì)不確定度的具體表達(dá)式為

其中，uSi是電阻RSi的量值誤差，它由電阻箱銘牌所示最大誤差限aRSi確定；sri是電橋的相對(duì)電阻靈敏度，定義為在電橋平衡條件下比較臂電阻RS變動(dòng)ΔRS時(shí)，靈敏電流計(jì)指針偏離平衡位置n格，即sri＝；0.2格是文獻(xiàn)中給出的眼睛能覺察的靈敏電流計(jì)指針的最小偏轉(zhuǎn)量.

為了方便比較2種方法的結(jié)果，在（6）式和（7）式中，將平衡電橋能靈敏電測(cè)到的靈敏電流計(jì)指針偏離平衡位置的最小格數(shù)統(tǒng)一為0.1格.（具體檢查方法是在接通和斷開開關(guān)S2時(shí)，觀察靈敏電流計(jì)的指針是否有微小的顫動(dòng)）.因此（7）式可重新寫為

為了使得討論更加具體，下面給出具體實(shí)例的不確定度評(píng)定結(jié)果.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及常用不確定度評(píng)定方法的實(shí)例

4.1 實(shí)驗(yàn)儀器

ZX21A型電阻箱，2kΩ左右的定值電阻，85C1型靈敏電流計(jì)，直流穩(wěn)壓電源，以及導(dǎo)線、開關(guān)等元件.ZX21A型電阻箱各擋阻值的相對(duì)不確定度如表1所示.

表1 ZX21A型電阻箱技術(shù)指標(biāo)

ZX21A型電阻箱的銘牌上還給出了零值電阻（20±10）mΩ，考慮到待測(cè)電阻的阻值為2kΩ左右，如此小的零值電阻對(duì)測(cè)量結(jié)果的修正可以忽略不計(jì)，因此在不確定評(píng)定中也不必考慮其影響，故對(duì)電阻箱某示值Ri的不確定度限值aRi為

式中aRi單位為Ω，ni為第i個(gè)電阻盤上的讀數(shù).

4.2 實(shí)測(cè)結(jié)果及不確定度評(píng)定

實(shí)驗(yàn)測(cè)得的結(jié)果如表2所示，其中RA，RB和RS分別是平衡時(shí)3個(gè)橋臂的阻值，RS′是靈敏電流計(jì)偏離平衡狀態(tài)一格時(shí)橋臂電阻RS的阻值，δRS＝RS′-RS.

表2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)（RA＝RB＝43.0Ω，電源電壓ε＝9.00V）

由（4）式可得待測(cè)電阻的阻值為

利用表2測(cè)得的原始數(shù)據(jù)可以得到：

將（11）式的計(jì)算結(jié)果代入（6）式，得到測(cè)量結(jié)果RX的不確定度為：

其中，u（RS1）＝u（RS2）＝1.45Ω.

進(jìn)一步將（11）式代入（8）式可以得到：

比較2種方案的計(jì)算結(jié)果可以看到，計(jì)算結(jié)果是完全相同的；從其一般表達(dá)式（6）式和（8）式也可以看到，2種方案的核心思想是相同的，都利用了不確定度的傳遞公式，即在計(jì)算互易橋臂測(cè)量結(jié)果的不確定度時(shí)都把橋臂電阻RS1和RS2當(dāng)作2個(gè)獨(dú)立測(cè)量量來處理.

5 對(duì)上述常用不確定度評(píng)定方法的討論與分析

按照上述2種評(píng)定方法，待測(cè)電阻RX的不確定度為1.0Ω，比標(biāo)準(zhǔn)電阻RS本身的不確定度（1.45Ω）要小，甚至比儀器不確定度（1.26Ω）還要小，這顯然是不合理的.我們認(rèn)為，不確定度傳遞公式在這里是不適用的：不確定度傳遞公式使用的條件是公式中各直接測(cè)量量之間相互獨(dú)立，但在RS1和RS2并不是相互獨(dú)立的：它們是同一個(gè)待測(cè)量用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量具在2次不同條件下比較的結(jié)果.因此，在互易橋臂實(shí)驗(yàn)中，RX的不確定度不應(yīng)由RS1和RS2的不確定度傳遞得到，而應(yīng)該由B1類測(cè)量不確定度和B2類儀器不確定度2部分合成而得.其中，前后2次互易橋臂的測(cè)量中，由電橋靈敏度引起的B1類測(cè)量不確定度uB1（RS1）和uB1（RS2）之間是完全獨(dú)立的（可能一次偏大而另一次偏?。?，因此測(cè)量結(jié)果的B1類測(cè)量不確定度應(yīng)該由二者按方和根合成法得到，即：

而前后2次實(shí)驗(yàn)使用的是同一標(biāo)準(zhǔn)量具（其不確定度不可能一次偏大而另一次偏小），因此測(cè)量結(jié)果的B2類儀器不確定度就等于2次儀器不確定度和的一半，也就是說近似等于標(biāo)準(zhǔn)電阻RS的B2類不確定度，即：

故可得到測(cè)量結(jié)果RX的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

從數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出：

對(duì)上述結(jié)果的定性分析：測(cè)量結(jié)果RX的不確定度（1.36Ω）大于標(biāo)準(zhǔn)電阻RS的儀器不確定度（1.26Ω），這是因?yàn)閡（RX）中還包含有測(cè)量過程的其他不確定度分量；但又略小于標(biāo)準(zhǔn)電阻RS的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（1.45Ω），因?yàn)橥ㄟ^2次測(cè)量，降低了由于比率臂電阻比的誤差影響而引入的測(cè)量不確定度.因此，認(rèn)為這樣的不確定度評(píng)定是合理的.實(shí)際上，這種評(píng)定方法在物理測(cè)量中是具有一定普遍性的，比如在使用物理天平或分析天平測(cè)量物體質(zhì)量時(shí)，為了測(cè)量更精密，經(jīng)常會(huì)用復(fù)稱法來消除天平不等臂引入的系統(tǒng)誤差［5］，而對(duì)其測(cè)量結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定時(shí)，也不應(yīng)該采用不確定度的傳遞方法，而上述給出的評(píng)定方法是完全適用的.

6 結(jié)束語

過去在教學(xué)中常用的對(duì)互易橋臂法測(cè)量電阻（橋臂標(biāo)稱值RA和RB相等）的不確定度評(píng)定方法是錯(cuò)誤的，其結(jié)果比標(biāo)準(zhǔn)電阻的標(biāo)準(zhǔn)不確定度還小，顯然不合理.究其原因，是因?yàn)榛ヒ讟虮鄣那昂?次測(cè)量不是完全獨(dú)立的，它們是同一待測(cè)量用同一儀器以不同方法測(cè)量的結(jié)果.因此，不可使用一般的不確定度的傳遞公式.我們給出了一種合理的評(píng)定方法：測(cè)量結(jié)果的不確定度由B1類測(cè)量不確定度和B2類儀器不確定度合成，其中B1類測(cè)量不確定度由2次測(cè)量的B1類不確定度通過方和根合成法得到（前后2次對(duì)電橋平衡的判斷完全獨(dú)立），而B2類儀器不確定度近似等于標(biāo)準(zhǔn)電阻的儀器不確定度（前后2次測(cè)量所用的標(biāo)準(zhǔn)電阻儀器相同、阻值略有微小差別）.

致謝：本文的作者與清華大學(xué)物理學(xué)系朱鶴年教授進(jìn)行過多次有益的討論和交流，得到許多幫助，在此深表謝意.

［1］沈元華，陸申龍.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］賈玉潤(rùn)，王公治，凌佩玲.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1987：218-221.

［3］朱鶴年.物理實(shí)驗(yàn)研究［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1994：151-163.

［4］陳西園，徐鐵軍，高文貴.惠斯登電橋測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)的不確定度分析［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2000，13（2）：53-55.

［5］蔡秀峰.復(fù)稱法在精密稱衡時(shí)的作用［J］.物理教學(xué)探討，2003，21（187）：33-34.

［6］朱鶴年.新概念·基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)講義［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013.