例題講解要“打開(kāi)窗戶(hù)說(shuō)亮話(huà)”

宋在馥

去教室聽(tīng)課，常遇到這種情況：對(duì)于例題教學(xué)，老師在臺(tái)上是不停的講，學(xué)生在下面是不停的記，老師講到下題了，上題還沒(méi)記完.下課后便問(wèn)學(xué)生，為什么要記得那么詳細(xì)？學(xué)生回答很簡(jiǎn)單：怕忘了！簡(jiǎn)單的三個(gè)字，讓筆者陷入深思，引發(fā)了對(duì)“例題應(yīng)如何講解”的思考.例題講解是實(shí)現(xiàn)“知識(shí)掌握，能力培養(yǎng)，意識(shí)內(nèi)化，品質(zhì)提升”的主渠道，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分；例題講解必須讓學(xué)生心里透亮，使之知其然，更知其所以然.達(dá)到融會(huì)貫通，觸類(lèi)旁通，才不會(huì)出現(xiàn)“上課記筆記，下課看筆記”的被動(dòng)狀態(tài).這就要求例題的講解要打開(kāi)窗戶(hù)說(shuō)亮話(huà)——依據(jù)題目特征，結(jié)合學(xué)生思維特點(diǎn)，化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化難為易，講清講透講明白.促進(jìn)學(xué)生從“為何如此”的疑惑到“原來(lái)如此”的頓悟再到“不過(guò)如此”的通透，學(xué)生豈能再忘.下面是筆者的思考與實(shí)踐。1 正本清源 從概念上講清

例1 己知f（x）=lg（ax2+（a+1）x+2）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 這是道常規(guī)題，表現(xiàn)在常見(jiàn)、常錯(cuò)、常說(shuō)不清.學(xué)生通常作法是：由條件知a應(yīng)滿(mǎn)足a>；0，

Δ=（a+1）2-8a<；0，解得0<；a<；3+22.此時(shí)老師糾錯(cuò)，應(yīng)從病源上講清.學(xué)生之所以錯(cuò)，是沒(méi)有把“值域”，“定義域”等概念搞清楚，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生澄清這樣幾個(gè)問(wèn)題.

①什么是值域？值域是{f（x）|x∈A}（A為函數(shù)f（x）的定義域）；

②值域是R，即函數(shù)值要對(duì)應(yīng)全所有的實(shí)數(shù)，一個(gè)都不能少；

③滿(mǎn)足a>；0，

Δ<；0，即t=ax2+（a+1）x+2>；0對(duì)x∈R恒成立，其必有最小值，記為t0，而t0>；0；

④t∈[t0，+∞），t取不到（0，t0）內(nèi)的實(shí)數(shù)，則值域里缺少（-∞，lgt0）內(nèi)的實(shí)數(shù)，可見(jiàn)值域不是R.

以上完成“揭示錯(cuò)誤”環(huán)節(jié)，接下來(lái)進(jìn)入“探索正確做法”環(huán)節(jié).

老師拋出問(wèn)題：a>；0，

Δ<；0，不合條件，那么a>；0，

Δ≥0，合不合？

學(xué)生會(huì)提出：此時(shí)會(huì)出現(xiàn)t≤0的情況，函數(shù)無(wú)意義.

老師再問(wèn)：此函數(shù)要求定義域是一切實(shí)數(shù)嗎？x在什么范圍內(nèi)取值可使函數(shù)有意義？此時(shí)t能取遍所有的正實(shí)數(shù)嗎？學(xué)生回答這些問(wèn)題不難，但回答完后會(huì)發(fā)生質(zhì)變：對(duì)正確的解法徹底理解！而后再讓學(xué)生討論a<；0或a=0的情況，解決這兩類(lèi)問(wèn)題已成水到渠成之勢(shì)。2 條分縷析 從邏輯上講清

例2 求函數(shù)f（x）=2x+3x2-2x-3的定義域.

分析 學(xué)生極易將答案錯(cuò)寫(xiě)成{x|x≠-1或x≠3}，雖多次糾正，但以后依然寫(xiě)錯(cuò).這顯然是x2-2x-3=0的解為x=-1或x=3的負(fù)遷移，本質(zhì)是沒(méi)有搞清邏輯關(guān)系.講解這個(gè)題目，可分為這樣的幾個(gè)步驟：

示錯(cuò) 先讓學(xué)生求{x|x≠-1}與{x|x≠3}的并集，結(jié)果很快出來(lái)是R.因{x|x≠-1或x≠3}={x|x≠-1}∪{x|x≠3}=R，到此己彰顯了錯(cuò)誤，但只知用“或”錯(cuò)了，但對(duì)為什么用“且”還不清楚.

舉例 某劇場(chǎng)舉行文藝演出，得知有A，B兩名邪教分子，要進(jìn)去乘機(jī)宣揚(yáng)邪教.那么門(mén)衛(wèi)是“不準(zhǔn)A進(jìn)且不準(zhǔn)B進(jìn)”呢還是“不準(zhǔn)A進(jìn)或不準(zhǔn)B進(jìn)”呢？學(xué)生必知是前者，對(duì)本題而言，-1與3就是“兩邪教分子”——它使分母為0！

論證：先讓學(xué)生回憶習(xí)題中證過(guò)的結(jié)論

分析 作為高考題，考試中只要找出答案即可，但作為例題，仍用解選擇題的套路去講，將會(huì)收效甚微.本題若對(duì)λ，μ正負(fù)情況討論，將其放入全背景下就會(huì)使學(xué)生如登山頂，產(chǎn)生“一覽眾山下”的通透之感.

1.當(dāng)λ≥0，μ≥0，條件變?yōu)棣?μ≤1

①若λ+μ=1，則P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上；

②若λ=0或μ=0，則P點(diǎn)在線(xiàn)段OA或OB上；

③若λ+μ<；1，必有λ，μ∈（0，1），P點(diǎn)在△AOB內(nèi).

總之，當(dāng)λ≥0，μ≥0時(shí)，點(diǎn)集構(gòu)成區(qū)域△AOB（包括邊界）.

2.當(dāng)λ≤0，μ≥0時(shí)，條件變?yōu)椋?λ）+μ≤1，分別取A，B關(guān)于0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，則OP=λOA+μO(píng)B= （-λ）（-OA）+μO(píng)B=（-λ）OA1+OB，則點(diǎn)集構(gòu)成區(qū)域△A1OB（包括邊界）.

同理：當(dāng)λ≤0，μ≤0時(shí)，P點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域△A1OB1（包括邊界）.

當(dāng)λ≥0，μ≤0時(shí)，P點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域△AOB1（包括邊界）.

所以，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BA1B1（包括邊界），其面積為4S△AOB=43.還可以讓學(xué)生討論|λ|+|μ|≥1，集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域.分別延長(zhǎng)OA，OB，OA1，OB1，則有λ≥0，μ≥0；λ≤0，μ≥0；λ≤0，μ≤0；λ≥0，μ≤0時(shí)點(diǎn)集構(gòu)成的區(qū)域分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（包括邊界）.如此講解，可加深學(xué)生對(duì)向量基本定理的理解，搞清本題的來(lái)龍去脈。4 剝繭抽絲 從思路上講清

例4 若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，求（a-c）2+（b-d）2的最小值.

分析 初看此題，學(xué)生會(huì)望而卻步，字母太多，式子太復(fù)雜！而此時(shí)也正是培養(yǎng)學(xué)生敢于解決問(wèn)題、善于解決問(wèn)題的勇氣和能力的好時(shí)機(jī).管理學(xué)上說(shuō)“思路決定出路”，厘清思路很重要.思路從哪里來(lái)？從條件和結(jié)論的特點(diǎn)和聯(lián)系上來(lái).可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特點(diǎn)與聯(lián)系進(jìn)行如下研究：

①式子（a-c）2+（b-d）2有何特點(diǎn)，見(jiàn)此式有何聯(lián)想？

（由形思數(shù)，由數(shù)思形，是思維之常規(guī)，此式為（a，b）與（c，d）兩點(diǎn)距離之平方）.

②條件有何特點(diǎn)？

（讓換元成為一種意識(shí)，條件能看成x2+y2=0形式，其必有x=y=0，所以c-d+2=0及b+a2-3lna=0）.

③所以c-d+2=0對(duì)于點(diǎn)（c，d）意味著什么？

（點(diǎn)（c，d）在直線(xiàn)x-y+2=0上，同理點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y=-x2+3lnx圖像上）.

④本題求解的本質(zhì)是什么？

（求曲線(xiàn)y=-x2+3lnx上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+2=0的最近距離）

⑤曲線(xiàn)y=-x2+3lnx上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)應(yīng)在什么位置？

（在與x-y+2=0平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)的切點(diǎn)處）.

⑥我們熟悉這類(lèi)題嗎？

（課本上就有：若y=-x+b與y=1x圖像相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)）.

至此問(wèn)題己解決.學(xué)會(huì)了尋求思路，就像叢林中的人握有指南針一樣.

例題的講解是對(duì)講授法的運(yùn)用，而現(xiàn)在講授法頗受人歧視，因它是“傳統(tǒng)、守舊、落后”的象征，好像與新課程改革格格不入.這完全是一種誤解！是一些老師“以其昏昏，使人昭昭”、“說(shuō)也說(shuō)不清楚”造成的，使講授法“蒙羞”.善于講解的人，會(huì)開(kāi)啟學(xué)生的心扉，激發(fā)學(xué)生的潛能，享受數(shù)學(xué)的滋潤(rùn).練好講解能力，應(yīng)是教師一門(mén)必修功課.

去教室聽(tīng)課，常遇到這種情況：對(duì)于例題教學(xué)，老師在臺(tái)上是不停的講，學(xué)生在下面是不停的記，老師講到下題了，上題還沒(méi)記完.下課后便問(wèn)學(xué)生，為什么要記得那么詳細(xì)？學(xué)生回答很簡(jiǎn)單：怕忘了！簡(jiǎn)單的三個(gè)字，讓筆者陷入深思，引發(fā)了對(duì)“例題應(yīng)如何講解”的思考.例題講解是實(shí)現(xiàn)“知識(shí)掌握，能力培養(yǎng)，意識(shí)內(nèi)化，品質(zhì)提升”的主渠道，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分；例題講解必須讓學(xué)生心里透亮，使之知其然，更知其所以然.達(dá)到融會(huì)貫通，觸類(lèi)旁通，才不會(huì)出現(xiàn)“上課記筆記，下課看筆記”的被動(dòng)狀態(tài).這就要求例題的講解要打開(kāi)窗戶(hù)說(shuō)亮話(huà)——依據(jù)題目特征，結(jié)合學(xué)生思維特點(diǎn)，化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化難為易，講清講透講明白.促進(jìn)學(xué)生從“為何如此”的疑惑到“原來(lái)如此”的頓悟再到“不過(guò)如此”的通透，學(xué)生豈能再忘.下面是筆者的思考與實(shí)踐。1 正本清源 從概念上講清

例1 己知f（x）=lg（ax2+（a+1）x+2）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 這是道常規(guī)題，表現(xiàn)在常見(jiàn)、常錯(cuò)、常說(shuō)不清.學(xué)生通常作法是：由條件知a應(yīng)滿(mǎn)足a>；0，

Δ=（a+1）2-8a<；0，解得0<；a<；3+22.此時(shí)老師糾錯(cuò)，應(yīng)從病源上講清.學(xué)生之所以錯(cuò)，是沒(méi)有把“值域”，“定義域”等概念搞清楚，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生澄清這樣幾個(gè)問(wèn)題.

①什么是值域？值域是{f（x）|x∈A}（A為函數(shù)f（x）的定義域）；

②值域是R，即函數(shù)值要對(duì)應(yīng)全所有的實(shí)數(shù)，一個(gè)都不能少；

③滿(mǎn)足a>；0，

Δ<；0，即t=ax2+（a+1）x+2>；0對(duì)x∈R恒成立，其必有最小值，記為t0，而t0>；0；

④t∈[t0，+∞），t取不到（0，t0）內(nèi)的實(shí)數(shù)，則值域里缺少（-∞，lgt0）內(nèi)的實(shí)數(shù)，可見(jiàn)值域不是R.

以上完成“揭示錯(cuò)誤”環(huán)節(jié)，接下來(lái)進(jìn)入“探索正確做法”環(huán)節(jié).

老師拋出問(wèn)題：a>；0，

Δ<；0，不合條件，那么a>；0，

Δ≥0，合不合？

學(xué)生會(huì)提出：此時(shí)會(huì)出現(xiàn)t≤0的情況，函數(shù)無(wú)意義.

老師再問(wèn)：此函數(shù)要求定義域是一切實(shí)數(shù)嗎？x在什么范圍內(nèi)取值可使函數(shù)有意義？此時(shí)t能取遍所有的正實(shí)數(shù)嗎？學(xué)生回答這些問(wèn)題不難，但回答完后會(huì)發(fā)生質(zhì)變：對(duì)正確的解法徹底理解！而后再讓學(xué)生討論a<；0或a=0的情況，解決這兩類(lèi)問(wèn)題已成水到渠成之勢(shì)。2 條分縷析 從邏輯上講清

例2 求函數(shù)f（x）=2x+3x2-2x-3的定義域.

分析 學(xué)生極易將答案錯(cuò)寫(xiě)成{x|x≠-1或x≠3}，雖多次糾正，但以后依然寫(xiě)錯(cuò).這顯然是x2-2x-3=0的解為x=-1或x=3的負(fù)遷移，本質(zhì)是沒(méi)有搞清邏輯關(guān)系.講解這個(gè)題目，可分為這樣的幾個(gè)步驟：

示錯(cuò) 先讓學(xué)生求{x|x≠-1}與{x|x≠3}的并集，結(jié)果很快出來(lái)是R.因{x|x≠-1或x≠3}={x|x≠-1}∪{x|x≠3}=R，到此己彰顯了錯(cuò)誤，但只知用“或”錯(cuò)了，但對(duì)為什么用“且”還不清楚.

舉例 某劇場(chǎng)舉行文藝演出，得知有A，B兩名邪教分子，要進(jìn)去乘機(jī)宣揚(yáng)邪教.那么門(mén)衛(wèi)是“不準(zhǔn)A進(jìn)且不準(zhǔn)B進(jìn)”呢還是“不準(zhǔn)A進(jìn)或不準(zhǔn)B進(jìn)”呢？學(xué)生必知是前者，對(duì)本題而言，-1與3就是“兩邪教分子”——它使分母為0！

論證：先讓學(xué)生回憶習(xí)題中證過(guò)的結(jié)論

分析 作為高考題，考試中只要找出答案即可，但作為例題，仍用解選擇題的套路去講，將會(huì)收效甚微.本題若對(duì)λ，μ正負(fù)情況討論，將其放入全背景下就會(huì)使學(xué)生如登山頂，產(chǎn)生“一覽眾山下”的通透之感.

1.當(dāng)λ≥0，μ≥0，條件變?yōu)棣?μ≤1

①若λ+μ=1，則P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上；

②若λ=0或μ=0，則P點(diǎn)在線(xiàn)段OA或OB上；

③若λ+μ<；1，必有λ，μ∈（0，1），P點(diǎn)在△AOB內(nèi).

總之，當(dāng)λ≥0，μ≥0時(shí)，點(diǎn)集構(gòu)成區(qū)域△AOB（包括邊界）.

2.當(dāng)λ≤0，μ≥0時(shí)，條件變?yōu)椋?λ）+μ≤1，分別取A，B關(guān)于0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，則OP=λOA+μO(píng)B= （-λ）（-OA）+μO(píng)B=（-λ）OA1+OB，則點(diǎn)集構(gòu)成區(qū)域△A1OB（包括邊界）.

同理：當(dāng)λ≤0，μ≤0時(shí)，P點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域△A1OB1（包括邊界）.

當(dāng)λ≥0，μ≤0時(shí)，P點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域△AOB1（包括邊界）.

所以，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BA1B1（包括邊界），其面積為4S△AOB=43.還可以讓學(xué)生討論|λ|+|μ|≥1，集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域.分別延長(zhǎng)OA，OB，OA1，OB1，則有λ≥0，μ≥0；λ≤0，μ≥0；λ≤0，μ≤0；λ≥0，μ≤0時(shí)點(diǎn)集構(gòu)成的區(qū)域分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（包括邊界）.如此講解，可加深學(xué)生對(duì)向量基本定理的理解，搞清本題的來(lái)龍去脈。4 剝繭抽絲 從思路上講清

例4 若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，求（a-c）2+（b-d）2的最小值.

分析 初看此題，學(xué)生會(huì)望而卻步，字母太多，式子太復(fù)雜！而此時(shí)也正是培養(yǎng)學(xué)生敢于解決問(wèn)題、善于解決問(wèn)題的勇氣和能力的好時(shí)機(jī).管理學(xué)上說(shuō)“思路決定出路”，厘清思路很重要.思路從哪里來(lái)？從條件和結(jié)論的特點(diǎn)和聯(lián)系上來(lái).可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特點(diǎn)與聯(lián)系進(jìn)行如下研究：

①式子（a-c）2+（b-d）2有何特點(diǎn)，見(jiàn)此式有何聯(lián)想？

（由形思數(shù)，由數(shù)思形，是思維之常規(guī)，此式為（a，b）與（c，d）兩點(diǎn)距離之平方）.

②條件有何特點(diǎn)？

（讓換元成為一種意識(shí)，條件能看成x2+y2=0形式，其必有x=y=0，所以c-d+2=0及b+a2-3lna=0）.

③所以c-d+2=0對(duì)于點(diǎn)（c，d）意味著什么？

（點(diǎn)（c，d）在直線(xiàn)x-y+2=0上，同理點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y=-x2+3lnx圖像上）.

④本題求解的本質(zhì)是什么？

（求曲線(xiàn)y=-x2+3lnx上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+2=0的最近距離）

⑤曲線(xiàn)y=-x2+3lnx上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)應(yīng)在什么位置？

（在與x-y+2=0平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)的切點(diǎn)處）.

⑥我們熟悉這類(lèi)題嗎？

（課本上就有：若y=-x+b與y=1x圖像相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)）.

至此問(wèn)題己解決.學(xué)會(huì)了尋求思路，就像叢林中的人握有指南針一樣.

例題的講解是對(duì)講授法的運(yùn)用，而現(xiàn)在講授法頗受人歧視，因它是“傳統(tǒng)、守舊、落后”的象征，好像與新課程改革格格不入.這完全是一種誤解！是一些老師“以其昏昏，使人昭昭”、“說(shuō)也說(shuō)不清楚”造成的，使講授法“蒙羞”.善于講解的人，會(huì)開(kāi)啟學(xué)生的心扉，激發(fā)學(xué)生的潛能，享受數(shù)學(xué)的滋潤(rùn).練好講解能力，應(yīng)是教師一門(mén)必修功課.

去教室聽(tīng)課，常遇到這種情況：對(duì)于例題教學(xué)，老師在臺(tái)上是不停的講，學(xué)生在下面是不停的記，老師講到下題了，上題還沒(méi)記完.下課后便問(wèn)學(xué)生，為什么要記得那么詳細(xì)？學(xué)生回答很簡(jiǎn)單：怕忘了！簡(jiǎn)單的三個(gè)字，讓筆者陷入深思，引發(fā)了對(duì)“例題應(yīng)如何講解”的思考.例題講解是實(shí)現(xiàn)“知識(shí)掌握，能力培養(yǎng)，意識(shí)內(nèi)化，品質(zhì)提升”的主渠道，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分；例題講解必須讓學(xué)生心里透亮，使之知其然，更知其所以然.達(dá)到融會(huì)貫通，觸類(lèi)旁通，才不會(huì)出現(xiàn)“上課記筆記，下課看筆記”的被動(dòng)狀態(tài).這就要求例題的講解要打開(kāi)窗戶(hù)說(shuō)亮話(huà)——依據(jù)題目特征，結(jié)合學(xué)生思維特點(diǎn)，化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化難為易，講清講透講明白.促進(jìn)學(xué)生從“為何如此”的疑惑到“原來(lái)如此”的頓悟再到“不過(guò)如此”的通透，學(xué)生豈能再忘.下面是筆者的思考與實(shí)踐。1 正本清源 從概念上講清

例1 己知f（x）=lg（ax2+（a+1）x+2）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 這是道常規(guī)題，表現(xiàn)在常見(jiàn)、常錯(cuò)、常說(shuō)不清.學(xué)生通常作法是：由條件知a應(yīng)滿(mǎn)足a>；0，

Δ=（a+1）2-8a<；0，解得0<；a<；3+22.此時(shí)老師糾錯(cuò)，應(yīng)從病源上講清.學(xué)生之所以錯(cuò)，是沒(méi)有把“值域”，“定義域”等概念搞清楚，老師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生澄清這樣幾個(gè)問(wèn)題.

①什么是值域？值域是{f（x）|x∈A}（A為函數(shù)f（x）的定義域）；

②值域是R，即函數(shù)值要對(duì)應(yīng)全所有的實(shí)數(shù)，一個(gè)都不能少；

③滿(mǎn)足a>；0，

Δ<；0，即t=ax2+（a+1）x+2>；0對(duì)x∈R恒成立，其必有最小值，記為t0，而t0>；0；

④t∈[t0，+∞），t取不到（0，t0）內(nèi)的實(shí)數(shù)，則值域里缺少（-∞，lgt0）內(nèi)的實(shí)數(shù)，可見(jiàn)值域不是R.

以上完成“揭示錯(cuò)誤”環(huán)節(jié)，接下來(lái)進(jìn)入“探索正確做法”環(huán)節(jié).

老師拋出問(wèn)題：a>；0，

Δ<；0，不合條件，那么a>；0，

Δ≥0，合不合？

學(xué)生會(huì)提出：此時(shí)會(huì)出現(xiàn)t≤0的情況，函數(shù)無(wú)意義.

老師再問(wèn)：此函數(shù)要求定義域是一切實(shí)數(shù)嗎？x在什么范圍內(nèi)取值可使函數(shù)有意義？此時(shí)t能取遍所有的正實(shí)數(shù)嗎？學(xué)生回答這些問(wèn)題不難，但回答完后會(huì)發(fā)生質(zhì)變：對(duì)正確的解法徹底理解！而后再讓學(xué)生討論a<；0或a=0的情況，解決這兩類(lèi)問(wèn)題已成水到渠成之勢(shì)。2 條分縷析 從邏輯上講清

例2 求函數(shù)f（x）=2x+3x2-2x-3的定義域.

分析 學(xué)生極易將答案錯(cuò)寫(xiě)成{x|x≠-1或x≠3}，雖多次糾正，但以后依然寫(xiě)錯(cuò).這顯然是x2-2x-3=0的解為x=-1或x=3的負(fù)遷移，本質(zhì)是沒(méi)有搞清邏輯關(guān)系.講解這個(gè)題目，可分為這樣的幾個(gè)步驟：

示錯(cuò) 先讓學(xué)生求{x|x≠-1}與{x|x≠3}的并集，結(jié)果很快出來(lái)是R.因{x|x≠-1或x≠3}={x|x≠-1}∪{x|x≠3}=R，到此己彰顯了錯(cuò)誤，但只知用“或”錯(cuò)了，但對(duì)為什么用“且”還不清楚.

舉例 某劇場(chǎng)舉行文藝演出，得知有A，B兩名邪教分子，要進(jìn)去乘機(jī)宣揚(yáng)邪教.那么門(mén)衛(wèi)是“不準(zhǔn)A進(jìn)且不準(zhǔn)B進(jìn)”呢還是“不準(zhǔn)A進(jìn)或不準(zhǔn)B進(jìn)”呢？學(xué)生必知是前者，對(duì)本題而言，-1與3就是“兩邪教分子”——它使分母為0！

論證：先讓學(xué)生回憶習(xí)題中證過(guò)的結(jié)論

分析 作為高考題，考試中只要找出答案即可，但作為例題，仍用解選擇題的套路去講，將會(huì)收效甚微.本題若對(duì)λ，μ正負(fù)情況討論，將其放入全背景下就會(huì)使學(xué)生如登山頂，產(chǎn)生“一覽眾山下”的通透之感.

1.當(dāng)λ≥0，μ≥0，條件變?yōu)棣?μ≤1

①若λ+μ=1，則P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上；

②若λ=0或μ=0，則P點(diǎn)在線(xiàn)段OA或OB上；

③若λ+μ<；1，必有λ，μ∈（0，1），P點(diǎn)在△AOB內(nèi).

總之，當(dāng)λ≥0，μ≥0時(shí)，點(diǎn)集構(gòu)成區(qū)域△AOB（包括邊界）.

2.當(dāng)λ≤0，μ≥0時(shí)，條件變?yōu)椋?λ）+μ≤1，分別取A，B關(guān)于0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，B1，則OP=λOA+μO(píng)B= （-λ）（-OA）+μO(píng)B=（-λ）OA1+OB，則點(diǎn)集構(gòu)成區(qū)域△A1OB（包括邊界）.

同理：當(dāng)λ≤0，μ≤0時(shí)，P點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域△A1OB1（包括邊界）.

當(dāng)λ≥0，μ≤0時(shí)，P點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域△AOB1（包括邊界）.

所以，滿(mǎn)足條件的集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BA1B1（包括邊界），其面積為4S△AOB=43.還可以讓學(xué)生討論|λ|+|μ|≥1，集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域.分別延長(zhǎng)OA，OB，OA1，OB1，則有λ≥0，μ≥0；λ≤0，μ≥0；λ≤0，μ≤0；λ≥0，μ≤0時(shí)點(diǎn)集構(gòu)成的區(qū)域分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（包括邊界）.如此講解，可加深學(xué)生對(duì)向量基本定理的理解，搞清本題的來(lái)龍去脈。4 剝繭抽絲 從思路上講清

例4 若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，求（a-c）2+（b-d）2的最小值.

分析 初看此題，學(xué)生會(huì)望而卻步，字母太多，式子太復(fù)雜！而此時(shí)也正是培養(yǎng)學(xué)生敢于解決問(wèn)題、善于解決問(wèn)題的勇氣和能力的好時(shí)機(jī).管理學(xué)上說(shuō)“思路決定出路”，厘清思路很重要.思路從哪里來(lái)？從條件和結(jié)論的特點(diǎn)和聯(lián)系上來(lái).可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特點(diǎn)與聯(lián)系進(jìn)行如下研究：

①式子（a-c）2+（b-d）2有何特點(diǎn)，見(jiàn)此式有何聯(lián)想？

（由形思數(shù)，由數(shù)思形，是思維之常規(guī)，此式為（a，b）與（c，d）兩點(diǎn)距離之平方）.

②條件有何特點(diǎn)？

（讓換元成為一種意識(shí)，條件能看成x2+y2=0形式，其必有x=y=0，所以c-d+2=0及b+a2-3lna=0）.

③所以c-d+2=0對(duì)于點(diǎn)（c，d）意味著什么？

（點(diǎn)（c，d）在直線(xiàn)x-y+2=0上，同理點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y=-x2+3lnx圖像上）.

④本題求解的本質(zhì)是什么？

（求曲線(xiàn)y=-x2+3lnx上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+2=0的最近距離）

⑤曲線(xiàn)y=-x2+3lnx上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)應(yīng)在什么位置？

（在與x-y+2=0平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)的切點(diǎn)處）.

⑥我們熟悉這類(lèi)題嗎？

（課本上就有：若y=-x+b與y=1x圖像相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)）.

至此問(wèn)題己解決.學(xué)會(huì)了尋求思路，就像叢林中的人握有指南針一樣.

例題的講解是對(duì)講授法的運(yùn)用，而現(xiàn)在講授法頗受人歧視，因它是“傳統(tǒng)、守舊、落后”的象征，好像與新課程改革格格不入.這完全是一種誤解！是一些老師“以其昏昏，使人昭昭”、“說(shuō)也說(shuō)不清楚”造成的，使講授法“蒙羞”.善于講解的人，會(huì)開(kāi)啟學(xué)生的心扉，激發(fā)學(xué)生的潛能，享受數(shù)學(xué)的滋潤(rùn).練好講解能力，應(yīng)是教師一門(mén)必修功課.