快速巧解材料力學(xué)靜定梁的約束力及剪力彎矩圖

張圣光ZHANG Sheng-guang

（東北農(nóng)業(yè)大學(xué)工程學(xué)院農(nóng)業(yè)機(jī)械化及其自動(dòng)化系，哈爾濱 150030）

（Department of Agricultural Mechanization and Automation，Engineering College，Northeast Agricultural University，Harbin 150030，China）

0 引言

計(jì)算約束反力是畫(huà)剪力彎矩圖的基礎(chǔ)，一旦求錯(cuò)就導(dǎo)致后面的解體都出錯(cuò)，筆者根據(jù)自己的解題經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出了“四大原理”，避免用理論力學(xué)解題時(shí)的繁瑣，方便快捷。

1 求靜定梁約束反力的“四大原理”

1.1 抬水原理

圖1 抬水原理圖

1.2 翹板原理

圖2 翹板原理圖

翹板原理一定要注意力的方向，距離力遠(yuǎn)端與力的方向相同，距離力近端與力的方向相反。

1.3 力偶原理（↓方向向下）

圖3 力偶原理圖

分母a 為支點(diǎn)AB 的距離。兩個(gè)支反力的方向相反且支反力構(gòu)成力偶的方向和已知力偶的方向相反。圖3 已知力偶的方向?yàn)轫槙r(shí)針，所以支反力構(gòu)成力偶的方向?yàn)轫槙r(shí)針。

1.4 q 原理

圖4 q 原理圖

所謂q 原理即均部載荷問(wèn)題，它綜合了前面所講的抬水原理和翹板原理。

對(duì)于既有力，力偶和均布載荷作用的梁要分別求其反力然后疊加求其合力。綜上如果靜定梁既有力偶，力和均布載荷作用時(shí)應(yīng)分別算出再求其矢量和。

以上是求靜定梁約束反力的“四大原理”的總結(jié)規(guī)律。

2 分析載荷畫(huà)剪力彎矩圖

材料力學(xué)的教材基本都是先例出剪力彎矩的平衡方程在畫(huà)出剪力彎矩圖。雖然準(zhǔn)確但也比較麻煩，更容易出錯(cuò)。下面我們用新的思維的方法直接畫(huà)剪力彎矩圖。這樣無(wú)論在工程中的力學(xué)分析，還是考試解題都節(jié)省了時(shí)間。當(dāng)然，總結(jié)規(guī)律要依靠高等數(shù)學(xué)，理論力學(xué)為基礎(chǔ)。

如圖5 所示直梁上作用有任意分布載荷，以梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x 軸向右為正，x 處載荷集度為q(x)，并規(guī)定向上的去（x）為正。在梁中截取微段dx。微段上的分布載荷q(x)視為均勻分布，左截面內(nèi)力為M(x)和Fs(x)，右端截面為M（x）+dFs(x)，假設(shè)內(nèi)力為正[1]。

所以經(jīng)過(guò)高等數(shù)學(xué)和理論力學(xué)的推導(dǎo)筆者總結(jié)出“三看一算”口訣：①看突變；②看趨勢(shì)；③看增減；④算大小。

具體解釋為對(duì)于畫(huà)剪力圖，一看突變?nèi)绻诹旱哪程幊霈F(xiàn)力，則在剪力圖上產(chǎn)生突變即力突然變大。二看趨勢(shì)即看q(x)的趨勢(shì)，當(dāng)q(x)為0 時(shí)剪力畫(huà)成平行于x 軸的直線，當(dāng)q(x)為常數(shù)時(shí)剪力畫(huà)成傾斜的直線，當(dāng)q(x)為斜線時(shí)即為一次函數(shù)時(shí)剪力畫(huà)成彎曲的曲線。三看增減當(dāng)q(x)為減函數(shù)時(shí)F(x)的斜率逐漸減小，F(xiàn)″(x)＜0 應(yīng)畫(huà)成凸函數(shù)，當(dāng)q(x)為增函數(shù)時(shí)F(x)的斜率逐漸增大，F(xiàn)″(x)＞0 應(yīng)畫(huà)成凹函數(shù)。在畫(huà)剪力圖時(shí)q(x)很少為一次函數(shù)一般為常數(shù)或0。四算大小，q(x)在某一區(qū)間跟x 軸圍成的面積即為F(x)的變化量同理，畫(huà)彎矩圖參照剪力圖。一看突變?nèi)绻诹旱哪程幊霈F(xiàn)力偶，則在彎矩圖上產(chǎn)生突變即彎矩突然變大。二看趨勢(shì)即看剪力圖F(x)的趨勢(shì)，當(dāng)F(x)為0 時(shí)彎矩畫(huà)成平行于x 軸的直線，當(dāng)F(x)為常數(shù)時(shí)彎矩畫(huà)成傾斜的直線，當(dāng)F(x)為斜線時(shí)即為一次函數(shù)時(shí)剪力畫(huà)成彎曲的曲線，曲線怎么彎曲要看去F（x）的正負(fù)及函數(shù)的增減性。三看增減，當(dāng)F(x)為減函數(shù)時(shí)，M(x)的斜率逐漸減小，M″(x)＜0 應(yīng)畫(huà)成凸函數(shù)，當(dāng)F(x)為增函數(shù)時(shí)，M(x)的斜率逐漸增大，M″(x)＞0 應(yīng)畫(huà)成凹函數(shù)。四算大小，F(xiàn)(x)在某一區(qū)間跟x 軸圍成的面積即為M(x)的變化量。

下面筆者通過(guò)一道例題運(yùn)用求約束力的“四大原理”以及力彎矩圖的畫(huà)法的“三看一算”口訣解靜定梁的約束力以及畫(huà)剪力彎矩圖。

qa（↑方向向上）；qa（↑方向向上）（根據(jù)q 原理分析均部載荷q）

qa（↓方向向下）；3qa（↑方向向上）（根據(jù)翹板原理分析力2qa）

圖7 剪力圖

圖8 彎矩圖

綜上所述通過(guò)總結(jié)求約束力的“四大原理”以及力彎矩圖的畫(huà)法的“三看一算”口訣，清晰明確，直觀具體，使材料力學(xué)的解題更加簡(jiǎn)單方便。

[1]趙淑紅.材料力學(xué)[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2010.

[2]金江.《材料力學(xué)》教材改革初探[J].南通工學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)，1998(04).

[3]王霞,李占君.科學(xué)方法論在材料力學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].安陽(yáng)工學(xué)院學(xué)報(bào)，2010(06).