基于定點諧波平衡法的鐵心磁滯與損耗特性分析

趙小軍 崔 燦 李 琳 趙志剛 劉 剛 李慧奇

（1.華北電力大學電力工程學院 保定 071003 2.華北電力大學電氣與電子工程學院 北京 102206 3.河北工業(yè)大學電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室 天津 300130）

1 引言

不同勵磁條件下電工材料的磁性能并不相同。與交流勵磁相比，當電工鋼片或變壓器鐵心承受直流偏磁時，其磁化特性及損耗特性均會發(fā)生明顯的改變[1,2]。在實際工程中，電力變壓器經(jīng)常承受直流偏磁或諧波形式的勵磁，這會給變壓器本身及電網(wǎng)的運行帶來一系列危害[3,4]。各種不同勵磁條件下電工材料磁特性的準確模擬對于電磁場理論研究和輸變電設備的安全運行具有重要的意義。目前有以下相關(guān)研究工作:一方面，基于磁化特性、損耗特性的測量和模擬對電工鋼片及鐵心的磁性能進行研究，如等效磁路長度的測定[5]，鐵心中不同區(qū)域的有功及無功分離[6]，各種磁滯模型的提出和改進[7-9]，開發(fā)不同的測量設備及設計相關(guān)的測量方案等[10,11]，這些工作取得的研究成果為面向工程應用的數(shù)值仿真奠定了良好的數(shù)據(jù)基礎；另一方面，時步有限元，諧波平衡有限元和時間周期有限元等方法[12-14]被用于非線性磁場的仿真和分析，不同的數(shù)值計算方法和多種仿真技術(shù)可以為材料性能模擬的深入研究提供準確性及有效性方面的支持。

為了準確計算變壓器鐵心中的非線性磁場，深入分析不同勵磁條件下鐵心的磁化特性和損耗特性，需要在場路耦合計算中考慮鐵心的磁滯效應[15]。解決該問題的關(guān)鍵在于磁滯模型的選擇和如何對磁場中的非線性本構(gòu)關(guān)系進行處理。選擇磁滯模型時，應該遵循簡單有效、數(shù)值計算時易實現(xiàn)的原則。對于含磁滯效應的非線性磁場本構(gòu)關(guān)系的處理，目前主要有兩種方法:①引入基于空氣磁導率的μ0-B-H-M 關(guān)系[16]，②是引入基于定點磁阻率的νFP-B-H-M[17]關(guān)系。二者都能解決基于B-H 磁場本構(gòu)關(guān)系中磁阻率ν 的不連續(xù)性問題。

本文利用疊片鐵心模型分別進行了正弦勵磁和直流偏磁勵磁下的實驗，得到相應的無偏磁磁滯回線和直流偏磁磁滯回線。利用基于損耗函數(shù)的磁滯模型對磁滯回線進行擬合和預測，并將該磁滯模型與定點諧波平衡有限元算法相結(jié)合，計算無偏磁和有偏磁條件下繞組勵磁電流及鐵心內(nèi)的非線性磁場。比較了不同區(qū)域內(nèi)的鐵心磁滯特性，分析了不同勵磁條件下鐵心損耗的分布特征。

2 鐵心磁特性實驗

圖1 疊片鐵心模型Fig.1 Laminated core model

圖1 所示為疊片鐵心模型，鐵心上繞有匝數(shù)相同的勵磁線圈和測量線圈?；诏B片鐵心進行空載實驗，利用功率分析儀分別測量鐵心損耗，勵磁線圈的勵磁電流i 和測量線圈中的感應電壓u。疊片鐵心所用硅鋼片為30Q140 型取向硅鋼片。

在無偏磁條件下，在勵磁線圈端口施加不同的交流電壓勵磁，由下式可以得到相應的無偏磁磁滯回線。

式中，S 和L 分別為鐵心截面積和等效磁路長度；φ為鐵心磁通；Ncoil為線圈匝數(shù)。

本文中等效磁路長度L 取疊片鐵心的幾何平均磁路長度。

由無偏磁條件下的測量結(jié)果，得到不同勵磁條件下的磁滯回線，如圖2 所示。

圖2 無偏磁磁滯回線Fig.2 Hysteresis loops under sinusoidal excitation

將一直流電流源與勵磁線圈所在回路相串聯(lián)，模擬變壓器鐵心的直流偏磁情況。此時鐵心磁通φ包含兩部分，即直流磁通φdc和交流磁通φac。φac可按照式（1）進行計算，φdc則可以通過迭代法進行計算[18,19]。

由直流偏磁條件下的測量結(jié)果，得到不同勵磁條件下的磁滯回線，如圖3 所示。

圖3 直流偏磁磁滯回線（Idc=0.426A）Fig.3 Hysteresis loops under DC-biased excitation

3 磁滯模型與磁滯回線的擬合

3.1 基于損耗函數(shù)的磁滯模型

在正弦勵磁條件下，如圖4 所示，可以將勵磁電流i 分為兩部分，一部分im與磁通φ 同相位，一部分ih與感應電動勢e 同相位[20]。于是，在i-φ 關(guān)系中可以引入以下函數(shù)

式中，i1對應于圖4 中im；i2對應于圖4 中ih。

圖4 無偏磁條件下的勵磁電流Fig.4 Magnetizing current under sinusoidal excitation

基于以上分析，對于如圖5 所示的i-φ 磁滯回線，曲線“aOc”為中間磁化曲線（即i-φ 磁滯回線的中點軌跡），其所代表的勵磁特性與式（4）中的i1相對應，i-φ 磁滯回線外圍上任意一點與中間磁化曲線“aOc”的間距“ef”反映了鐵心的磁滯效應且與損耗相關(guān)，與式（4）中的i2相對應，稱之為損耗函數(shù)[21,22]。損耗函數(shù)的變化趨勢與中間磁化曲線相反，當磁化曲線上升至最高點時，損耗函數(shù)值為零；當磁化曲線下降至零點時，損耗函數(shù)值則為最大，與“Ob”相對應。根據(jù)損耗函數(shù)的特點，可作如下定義

圖5 基于損耗函數(shù)的磁滯模型Fig.5 Hysteresis model based on consuming function

式中，φm為磁通的幅值；D 是與損耗函數(shù)相關(guān)的系數(shù)。

損耗函數(shù)i2可進一步寫為以下形式

式中，Iob為損耗系數(shù)，與磁通幅值φm及頻率f 均相關(guān)，可以通過實驗中的測量結(jié)果計算得到。

由式（2）、式（3）可知，對于疊片鐵心，可以提出基于損耗函數(shù)的B-H 磁滯模型為

式中，Bm為無偏磁條件下交流磁通密度的幅值；H為鐵心中總的磁場強度。

同理，在直流偏磁條件下，基于損耗函數(shù)的B-H磁滯模型如下

式中，Bdc為直流磁通密度，Bdc=φdc/S。

由于各中間磁化曲線均通過磁滯回線的頂點，其軌跡為基本磁化曲線，在有限元計算中可以分別選擇無偏磁和直流偏磁下的基本磁化曲線作為式（8）中的H1(B) 和H1d(B)[19]。

3.2 磁滯模型的驗證

通過實驗，可以對測量結(jié)果進行處理，進而得到不同勵磁條件下磁滯回線所對應的損耗系數(shù)Hob，結(jié)果見表1～表3。

表1 無偏磁條件下的損耗系數(shù)（Idc=0A）Tab.1 Consuming coefficients under sinusoidal excitation（Idc=0A）

表2 直流偏磁條件下的損耗系數(shù)（Idc=0.426A）Tab.2 Consuming coefficients under DC-biased excitation（Idc=0.426A）

表3 直流偏磁條件下的損耗系數(shù)（Idc=0.847A）Tab.3 Consuming coefficients under DC-biased excitation（Idc=0.847A）

由此可利用基于損耗函數(shù)的磁滯模型對測量得到磁滯回線進行仿真，無偏磁磁滯回線的結(jié)果如圖6 所示，直流偏磁磁滯回線的結(jié)果如圖7 所示。通過比較可以看出，基于損耗函數(shù)的磁滯模型能夠較好的模擬無偏磁和直流偏磁條件下疊片鐵心的磁滯效應。

圖6 無偏磁磁滯回線的測量與仿真結(jié)果Fig.6 Simulated and measured hysteresis loop under sinusoidal excitation

圖7 直流偏磁磁滯回線的測量與仿真結(jié)果Fig.7 Simulated and measured hysteresis loop under DC-biased excitation

4 計算結(jié)果及其分析

4.1 諧波平衡法

在無偏磁條件下，變壓器端口承受穩(wěn)態(tài)電壓勵磁，勵磁電流中只含有奇次諧波，因此勵磁電流i可以表達成如下形式

式中，I 為勵磁電流密度i 的諧波矢量表達式。

同理可知在直流偏磁條件下，i 的諧波矢量表達式為

在穩(wěn)態(tài)勵磁下，電磁場中的各物理量均具有周期性，因此各變量均可表達為式（10）、式（11）所示的形式。

4.2 基于B-H-M 的定點諧波平衡方程

基于巴拿赫不動點定理，當不考慮各向異性時，可在二維非線性磁場中引入如下關(guān)系[17]

式中，νFP為定點磁阻率，諧波矢量Bx、By、Hx、Hy、Mx、My的表達式同式（10）、式（11）。

由式（12）可以看出，定點磁阻率νFP將磁場強度H 分為了線性和非線性兩部分，線性部分與定點磁阻率相關(guān)，非線性部分與類磁化強度矢量M相關(guān)。

基于定點磁阻率的二維非線性磁場方程為

利用伽遼金法可以得到關(guān)于式（13）的定點諧波平衡有限元方程

式中，Q 為系數(shù)矩陣；Uk為線圈k 的端口電壓諧波矢量；Zk為阻抗矩陣；Ik為流過線圈k 的勵磁電流密度的諧波矢量；Ck為場路耦合矩陣；P 是與類磁化強度矢量M 相關(guān)的諧波矢量[23]。

4.3 νFP的取值與非線性場的求解

依據(jù)式（14）可對勵磁電流和磁矢量位的諧波矢量同時進行求解，在求解過程中，諧波解的收斂性取決于定點磁阻率νFP的取值。在非線性靜態(tài)場的計算中，定點磁阻率可按照下式確定[24]

式中，νdmax和νdmin分別為磁化曲線H=F(B)上微分磁阻率的最大值和最小值。

在時域有限元計算中，Dlala 等也給出了時步迭代中定點磁阻率的確定方案[25]。

在定點諧波平衡有限元計算中，初始迭代過程中采用較大的定點磁阻率（ν1=3ν0～ν0）可以保證諧波解的穩(wěn)定收斂，之后采用較小的定點磁阻率（ν2=ν0/10～ν0/40）則能夠?qū)崿F(xiàn)諧波解的快速收斂。

圖8 所示為考慮磁滯效應時的計算流程圖，其中H=F(B) 與不同勵磁條件下的磁滯回線相對應。忽略疊片鐵心的各向異性，Bx、By、Hx、Hy滿足以下關(guān)系

圖8 計算流程Fig.8 Flow chart of the computational process

通過式（16），可以實現(xiàn)迭代計算中由B 求解H的過程。

5 計算結(jié)果及分析

5.1 勵磁電流

對無偏磁和有偏磁條件下的勵磁電流和磁場進行計算，勵磁電流的計算結(jié)果如圖9～圖11 所示。從比較結(jié)果可以看出，計算結(jié)果與測量結(jié)果吻合較好。無偏磁條件下，由于磁滯效應的影響，勵磁電流的前半周與后半周沿橫軸（時間）不對稱，但是沿縱軸（電流）呈反對稱的特點。在直流偏磁條件下，由于勵磁電流中的各次諧波分量迅速增大，勵磁電流波形呈尖頂波形狀，此時磁滯效應對于電流波形的影響不再明顯，且電流波形也不再具有對稱性。由圖9 可以看出，在交流勵磁較小，磁滯效應的影響相對較大時，勵磁電流的計算結(jié)果與測量結(jié)果仍然存在一定的誤差。這是因為在無偏磁條件下，交流勵磁較小時疊片鐵心的磁滯回線呈橢圓形，而本文提出的基于損耗函數(shù)的磁滯模型不能準確模擬橢圓形磁滯回線，因此數(shù)值計算結(jié)果的誤差相對較大。要得到更加準確的結(jié)果，需要對該磁滯模型作進一步的改進和完善。

圖9 無偏磁條件下的勵磁電流Fig.9 Magnetizing current under sinusoidal excitation

圖10 直流偏磁條件下的勵磁電流（Idc=0.426A）Fig.10 Magnetizing current under DC-biased excitation（Idc=0.426A）

圖11 直流偏磁條件下的勵磁電流（Idc=0.847A）Fig.11 Magnetizing current under DC-biased excitation（Idc=0.847A）

5.2 鐵心內(nèi)不同區(qū)域磁滯特性

由計算得到的磁場，可以得到鐵心內(nèi)不同區(qū)域的磁滯特性。如圖12 所示，為用于計算的疊片鐵心幾何模型，其中陰影部分代表線圈所在區(qū)域。根據(jù)鐵心結(jié)構(gòu)及磁場在鐵心中的分布特點，可以將鐵心分為兩個區(qū)域，柱-軛區(qū)和接縫區(qū)。在兩個區(qū)域中分別選擇A 點和B 點，基于計算結(jié)果可以得到各點的磁場及對應的磁滯特性。

圖12 疊片鐵心的幾何計算模型Fig.12 Geometric model of the laminated core for computation

由圖13～圖18 可以看出，在無偏磁條件下，疊片鐵心內(nèi)各點的磁滯回線是對稱的，而直流偏磁條件下，疊片鐵心內(nèi)各點的磁滯回線呈現(xiàn)出明顯不對稱的特征。這是導致無偏磁和有偏磁條件下疊片鐵心勵磁特性和損耗特性存在差異的主要原因。由圖14 和圖15 的比較還可以看出，A 點處不同方向的磁滯特性存在差異，主要原因是在疊片鐵心接縫區(qū)內(nèi)的同一點處，磁通密度在不同方向上的分量并不相等。圖17 和圖18 的比較結(jié)果也反映了直流偏磁條件下接縫區(qū)內(nèi)同一點處不同方向上磁滯特性的差異。

圖13 無偏磁條件下的B 點y 方向磁滯回線Fig.13 Hysteresis loop on point B under sinusoidal excitation

圖14 無偏磁條件下的A 點y 方向磁滯回線（Hy-By）Fig.14 Hysteresis loop on point A under sinusoidal excitation（Hy-By）

圖15 無偏磁條件下的A 點x 方向磁滯回線（Hx-Bx）Fig.15 Hysteresis loop on point A under sinusoidal excitation（Hx-Bx）

圖16 直流偏磁條件下的B 點y 方向磁滯回線（Idc=0.426A）Fig.16 Hysteresis loop on point B under DC-biased excitation（Idc=0.426A）

圖17 直流偏磁條件下的A 點x 方向磁滯回線（Hx-Bx,Idc=0.426A）Fig.17 Hysteresis loop on point A under DC-biased excitation（Hx-Bx,Idc=0.426A）

圖18 直流偏磁條件下的A 點y 方向磁滯回線（Hy-By,Idc=0.426A）Fig.18 Hysteresis loop on point A under DC-biased excitation（Hy-By,Idc=0.426A）

5.3 鐵心的損耗特性

由計算得到每個單元的B 和H，可以按照下式計算鐵心的損耗[26,27]

式中，Pi為第i 個單元中的比損耗；ρ 為鐵心疊片的密度；T 為周期；Ns和ds分別為鐵心中的疊片數(shù)量和單片厚度；Ne為單元總數(shù)；Si為單元面積；Pt為鐵心損耗。

表4 中給出了無偏磁條件下鐵心損耗的計算結(jié)果與測量結(jié)果，其中Pc為鐵心比損耗的計算值，Pm為鐵心比損耗的測量值，Bacm為鐵心中的交流磁通密度的幅值，可由式（2）計算得到。由比較可以看出，計算結(jié)果與測量結(jié)果相吻合。

表4 無偏磁條件下的鐵心損耗（Idc=0）Tab.4 The iron loss under sinusoidal excitation

由圖12 中A、B 兩點的磁場計算結(jié)果可以看出，鐵心中的磁場分布并不均勻，尤其是接縫區(qū)和柱-軛區(qū)的磁場分布明顯不同，由此可知，鐵心損耗在不同區(qū)域的分布也將不同。分別計算鐵心接縫區(qū)和柱-軛區(qū)的比損耗，觀察不同勵磁條件和勵磁形式對二者的影響，結(jié)果見表5 和表6，其中Pj為接縫區(qū)比損耗，PL為柱-軛區(qū)比損耗。

表5 無偏磁下鐵心不同區(qū)域比損耗（Idc=0）Tab.5 Specific loss in different areas in the laminated core under sinusoidal excitation

表6 偏磁下鐵心不同區(qū)域比損耗（Idc=0.426A）Tab.6 Specific loss in different areas in the laminated core under dc-biased excitation

由計算結(jié)果可以看出，當鐵心中交流磁通密度相同時，直流偏磁條件下的鐵心損耗大于無偏磁條件下鐵心損耗。同時，鐵心內(nèi)的損耗并不均勻，主要體現(xiàn)在接縫區(qū)與柱-軛區(qū)的差異。在相同勵磁條件下，柱-軛區(qū)比損耗大于接縫區(qū)的比損耗。

6 結(jié)論

（1）基于疊片鐵心的實驗和計算表明，在無偏磁條件下和直流偏磁條件下，變壓器鐵心的磁滯特性和損耗特性明顯不同，磁滯特性表現(xiàn)為偏磁后的磁滯回線的不規(guī)則與不對稱性，損耗特性表現(xiàn)為偏磁后鐵心損耗的增大。

（2）基于損耗函數(shù)的磁滯模型簡單有效，能夠模擬鐵心在無偏磁和有偏磁條件下的磁滯效應。將其與定點技術(shù)和諧波平衡法相結(jié)合時，在數(shù)值計算中易實現(xiàn)，適用于頻域有限元計算。

（3）在無偏磁和有偏磁條件下，鐵心接縫區(qū)與柱-軛區(qū)磁場分布并不均勻，不同位置處的磁滯特性不同，并由此導致鐵心損耗分布的不均勻性。在鐵心接縫區(qū)內(nèi)，同一位置處不同方向上的磁滯特性存在差異。

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