基本不等式中幾種常見題型剖析

董文娟

摘 要： 不等式在高考試題中占有非常重要的地位，與其他數(shù)學(xué)知識存在密切聯(lián)系，在近幾年的高考中是考查熱門。如何用好基本不等式，學(xué)生需要理解并掌握三個原則：一正二定三相等，并能在解題中靈活運(yùn)用，特別是“等”的檢驗(yàn).

關(guān)鍵詞： 基本不等式 最值 定值 構(gòu)造

近年基本不等式在求函數(shù)的最值、求參數(shù)范圍的過程中頻頻出現(xiàn)，且形式靈活，是重點(diǎn)；指對不等式、絕對值不等式、含參不等式成為小題中的考查熱點(diǎn)；函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題中不等式結(jié)合參數(shù)討論是永恒的主題，包括在圓錐曲線中不等式也是無處不在.根據(jù)新課標(biāo)的要求，本節(jié)重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解基本不等式，并能從不同的角度探索基本不等式的證明過程，難點(diǎn)主要是讓學(xué)生明白如何運(yùn)用基本不等式求最值.下面結(jié)合課本中的例題及課后習(xí)題，給出以下幾種常見題型的解析.

一、直接利用基本不等式求解最值

例1：已知x>0，y>0，且2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值.

思路分析：由于lgx+lgy=lgxy，因此只需尋找xy的最大值即可.

解：∵x>0，y>0，由基本不等式可得2x+5y≥2■，

∴xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=■時取到等號.

∵lgx+lgy=lgxy≤lg10=1，∴l(xiāng)gx+lgy的最大值為1.

變式1：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

思路分析：由基本不等式ab≤（■）■，可知2xy≤（■）■，因此x+2y+2xy=8可構(gòu)造出關(guān)于x+2y的二次不等式.

解：∵2xy≤（■）■，∴x+2y+2xy≤（x+2y）+（■）■，

即（x+2y）+（■）■≥8.又∵x>0，y>0，解得x+2y≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=2，y=1，∴x+2y的最小值為4.

二、構(gòu)造和或積為定值，再利用不等式求解最值

例2：已知0

思路分析：由基本不等式ab≤（■）■可知，需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù).

解：∵00.

∴y=x（1-3x）=■·3x（1-3x）≤■[■]■=■，

當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x，即x=■時，等號成立.∴x=■時，函數(shù)取得最大值■.

變式1：當(dāng)x>-1時，求f（x）=x+■的最小值.

思路分析：因?yàn)閤>-1可得x+1>0，變x=x+1-1時構(gòu)造出x+1與■的積為常數(shù).

解：∵x>-1，∴x+1>0.∴f（x）=x+■=x+1+■-1≥2■-1=1.

當(dāng)且僅當(dāng)x+1=■，即x=0時，取得等號.∴f（x）■=1.

三、利用“1”的代換構(gòu)造出和的定值

例3：已知x>0，y>0，且■+■=1，求x+y的最小值.

思路分析：要求x+y的最小值，由基本不等式a+b≥2■，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值，這需要對條件進(jìn)行必要的變形，所以利用“1”的代換是本題型基本的方法.

解：∵■+■=1，∴x+y=（x+y）·（■+■）=10+■+■.

∵x>0，y>0，∴■+■≥2■=6.當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即y=3x時，取等號.

又■+■=1，∴x=4，y=12.∴當(dāng)x=4，y=12時，x+y取得最小值16.

變式1：設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，求■+■的最小值.

思路分析：由于x+y=1，發(fā)現(xiàn)兩個分式的分母相加（x+2）+（y+1）=3，因此本題可轉(zhuǎn)化為例3同類型題目.

解：令m=x+2，n=y+1，則m+n=4，x=m-2，y=n-1

∴■+■=■+■=m+n-6+■+■=■+■-2.

又∵m+n=4，∴（■+■）（m+n）×■=■（5+■+■）≥■（5+2■）=■

當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即m=■，n=■時，即x=■，y=■時，∴■+■的最小值為■.

變式2：設(shè)0

思路分析：由于■+■≥k恒成立，只需求■+■的最小值即可.

解：∵00，

∴■+■=（2m+1-2m）（■+■）=4+■+■.

又∵■+■≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m=■時取得等號，

∴■+■的最小值為8，∴k≤8，即得k的最大值為8.

四、基本不等式的應(yīng)用

例4：若x，y，z>0，證明：（x+y）（x+z）（y+z）≥8xyz.

思路分析：由基本不等式可知x+y≥2■，同理可得x+z≥2■，y+z≥2■，所得不等式可證.

解：由基本不等式可得x+y≥2■，x+z≥2■，y+z≥2■.

由不等式性質(zhì)可得（x+y）（x+z）（y+z）≥8■■■，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z取得等號即得（x+y）（x+z）（y+z）≥8xyz.

變式1：若x，y，z>0，且x+y+z=1，證明：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz.

思路分析：由題意可知x+y+z=1，可得1-x=y+z，1-y=x+z，1-z=x+y，結(jié)合例4的證明可得結(jié)論.

解：∵x+y+z=1，∴1-x=y+z，1-y=x+z，1-y=x+z，1-z=x+y，

所以（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥8xyz，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z取得等號，所以得證.

變式2：若0

思路分析：觀察目標(biāo)式子的分子可得m+n+（1-m-n）=1，式子暗含變式1中的條件.

解：令x=m，y=n，z=1-m-n，從而有x+y+z=1.

并有m+n=1-z，1-m=1-x，1-n=1-y，

所以原式■轉(zhuǎn)化為■.

由（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz，得到■≤■，

當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1-m-n取得等號，即m=n=■時取到等號，

從而得到■的最大值為■.

由以上幾個典例分析可知，對于很多函數(shù)求最值問題，我們都可以直接運(yùn)用基本不等式或者構(gòu)造出和或積為定值再利用基本不等式進(jìn)行求解，但是必須遵循基本不等式的三個原則：一正二定三相等，否則通過函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

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