結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程在電子散斑干涉中的應用

肖志濤 袁 泉 張 芳吳 駿 耿 磊 馮鐵君 陳 穎 王丹鈺

(天津工業(yè)大學電子與信息工程學院 天津 300387)

1 引言

電子散斑干涉測量技術(shù)(Electronic Speckle Pattern Interferometry, ESPI)是一種無損檢測技術(shù)，可測量物體表面各點的位移量或應變量[1]。但電子散斑干涉條紋圖中伴隨著強烈的噪聲，不利于后續(xù)的二值化、骨架線提取[2]等處理，因此條紋圖的濾波具有重要意義。

條紋結(jié)構(gòu)具有明顯的方向性，在濾波的過程中考慮條紋的方向性至關(guān)重要[3]。根據(jù)條紋圖方向性特點，近年來人們提出了許多新的條紋圖濾波方法。文獻[4]提出通過跟蹤條紋方向獲得等值線窗口，然后在此窗口內(nèi)對條紋圖進行濾波。文獻[5]將條紋的方向融入偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)中提出了二階方向偏微分方程濾波模型。此外，如果對整幅條紋圖進行同等程度的濾波，勢必會導致稀疏條紋處濾波程度不夠而密集條紋處過分濾波的問題。因此，在考慮濾波方向的同時，還必須對不同位置像素點的濾波程度加以考慮。在這方面，文獻[6]提出了PM方程，利用與圖像梯度有關(guān)的擴散系數(shù)對擴散速率施加影響。但是電子散斑干涉條紋圖中含有大量噪聲，基于圖像梯度設(shè)置擴散系數(shù)的方法必然受到噪聲的影響。在圖像分割領(lǐng)域，文獻[7]提供了一種利用尺度理論，即非連續(xù)性測度(DisContinuities Measure, DCM)來檢測圖像中的區(qū)域同質(zhì)屬性的方法。本文借鑒非連續(xù)測度的思想，在方向偏微分方程的主體上加入非連續(xù)測度檢測圖像的特征，使得不同特征處濾波程度不同，以此來控制每一點的擴散速率。

2 基于方向的ESPI條紋圖濾波方法

2.1 條紋圖方向的求取

與自然圖像不同，條紋圖的方向特征顯著。選取條紋圖像中的一小塊區(qū)域進行觀察，能夠發(fā)現(xiàn)相鄰條紋近似平行，條紋的方向變化很微小，如圖 1所示。當局部區(qū)域足夠小時，穩(wěn)定的方向性是條紋圖的內(nèi)在屬性特征。在理想情況下，局部區(qū)域經(jīng) 2維傅里葉變換[8]后，均勻分布的條紋轉(zhuǎn)化為兩個關(guān)于原點對稱分布的亮斑。同時，亮斑的連線與條紋所在的方向相垂直。因此，可以根據(jù)頻域中亮斑的位置來計算條紋方向。

實際的條紋圖像并非嚴格的周期函數(shù)，并且當條紋圖存在嚴重的噪聲或者條紋對比度較差時，就會分散理想條件下形成的亮斑的能量。但是條紋圖像的主要頻率的能量在總能量中占絕大部分，而其他頻率的能量較少。針對這種情況，可以采用概率論中求期望的方法來估算方向[9]。

圖1 一幅無噪條紋圖及其局部區(qū)域的頻譜圖

在初步計算得到條紋方向0θ后，需要對其進行平滑處理，可以采用3×3高斯濾波器進行滑動濾波，最終求得的條紋方向為θ。

2.2 二階方向偏微分方程(SOOPDE)濾波方法

應用偏微分方程進行圖像濾波是將圖像濾波變換看作偏微分方程的算子，代入初始圖像 ( )x,yI ，通過求解偏微分方程實現(xiàn)圖像濾波[11]。由圖2建立的內(nèi)在坐標系知，理想的干涉條紋圖在沿著條紋方向的灰度不變，所以為了充分濾除 ESPI條紋圖中的噪聲，應該加強此方向的灰度擴散，而為了保護條紋的信息，在條紋圖的法向應減少擴散。二階方向偏微分方程(Second-Order Oriented Partial Differential Equation, SOOPDE)充分利用條紋圖的方向性，使方程僅沿著條紋方向進行濾波，其表達式為

圖2 沿著條紋方向線和法向曲線示意圖

SOOPDE僅考慮了條紋圖的方向性，但是就整幅條紋圖而言，各處的濾波程度是一樣的。這勢必會導致稀疏條紋處對噪聲的濾波程度不夠而密集條紋處過分濾波的問題。因此，在考慮濾波方向的同時，還必須對不同位置像素點的濾波程度加以考慮。Perona和Malik提出了PM方程[6]，利用與圖像梯度有關(guān)的擴散系數(shù)對擴散速率施加影響。因此，結(jié)合擴散系數(shù)可以得到選擇擴散方向偏微分方程(Selective Second-Order Oriented Partial Differential Equation, SSOOPDE)。

其中σG為3×3的高斯濾波器是卷積符號，c函數(shù)的表達式[12]為

其中k為常數(shù)，c滿足式(6)

3 結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程濾波方法

SSOOPDE濾波方法的基本思想是基于圖像的梯度來設(shè)置擴散系數(shù)，控制圖像中不同區(qū)域像素點的濾波程度，使像素的灰度值與圖像局部特征相符。雖然SSOOPDE模型能夠在一定的程度上解決條紋較稀疏地方的內(nèi)部噪聲處濾波程度不夠而條紋較密集處過分濾波的問題，但是梯度特征對噪聲敏感，檢測不穩(wěn)定，無法將噪聲和重要特征區(qū)分開。

3.1 非連續(xù)性測度

文獻[7]提出一種基于尺度的非連續(xù)性測度，用來描繪圖像中的兩點和所在區(qū)域的不連續(xù)性。

第1步 對給出圖像中的任意像素，確定一個合適的鄰域，其大小為，使得鄰域中所有像素都滿足一個灰度一致準則。

第2步 計算相鄰兩點相同大小的鄰域中所有像素的對應灰度差。

圖3 兩鄰域?qū)P(guān)系

灰度正差為

灰度負差為

累積灰度正差為

累積灰度負差為

第3步 計算每一點的非連續(xù)性測度。

求取每一點的非連續(xù)性測度時，可根據(jù)式(20)分別計算當前點與其最小邊界區(qū)域中的所有點的不連續(xù)性，然后取均值。因此像素點處的非連續(xù)性測度可表示為

非連續(xù)性測度反映一個像素與其周圍環(huán)境之間的不連貫性，取值范圍為[0,1]。圖 4展示了圖像的梯度信息和非連續(xù)性的差異，第1列分別為含有脈沖噪聲的自然圖像和ESPI條紋圖像，第2列和第3列分別顯示了圖像的梯度信息和非連續(xù)性測度。從圖中可以看出，梯度對噪聲非常敏感，而非連續(xù)性測度在區(qū)分噪聲和圖像特征方面具有明顯的優(yōu)越性，尤其是在條紋比較密集的情況下，非連續(xù)性測度具有很好的魯棒性。由于非連續(xù)性測度能很好地區(qū)分噪聲與圖像的重要信息，本文利用非連續(xù)性測度來設(shè)置方向偏微分方程的擴散系數(shù)改善方程的濾波性能。

3.2 結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程濾波方法

基于方向的 PDE濾波方法形式簡潔且偏微分方程的離散數(shù)值解法容易實現(xiàn)，故本文仍采用方向PDE的主體形式來實現(xiàn)濾波時對濾波方向的控制。利用像素的非連續(xù)性測度控制不同位置方程的擴散速率，本文提出結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程(DisContinuities Measure Oriented Partial Differential Equation, DCMOPDE)，具體形式為

其中H為上文提到的非連續(xù)性測度。該方程的基本思想是，方程僅在沿著條紋的方向進行濾波；同時在條紋密集處，擴散速率較小，保護條紋特征，在條紋稀疏的地方，擴散速率較大，進行充分濾波。

4 偏微分方程的離散數(shù)值解

利用偏微分方程進行圖像處理是通過迭代求解方程實現(xiàn)的，因此處理前先要對方程進行離散化[13]。假設(shè)迭代時間步長為，在方程的迭代濾波過程中，迭代次數(shù)為時刻的演化圖像可表示為。采用的時間差分為

采用的空間差分為

由此，可得結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程(DCMOPDE)的差分格式為

圖4 梯度信息與非連續(xù)性測度的比較

5 實驗與結(jié)果分析

將本文方法用于電子散斑干涉條紋圖，并與SSOOPDE進行比較。這里給出3組對比結(jié)果，包括兩組模擬的條紋圖和一組實驗獲得條紋圖，離散求解方程時所采用的濾波參數(shù)為對于模擬條紋圖(圖5和圖6)，，對于實驗條紋圖(圖7)，。

模擬條紋圖的生成方式[14]為

其中，0I為背景光強的幅值，1I為條紋光強的幅值，φ為條紋圖的相位，nI為高斯噪聲。通過設(shè)置不同形式的(,)x yφ，可以模擬不同形狀的條紋圖。

從3組對比結(jié)果可以看出，帶非連續(xù)性測度擴散系數(shù)的方向偏微分方程式(22)能夠有效控制不同特征像素點的擴散濾波速度，在充分濾除稀疏條紋處噪聲的同時，有效保護密集條紋處的條紋信息，濾波效果優(yōu)于基于梯度擴散系數(shù)的方向偏微分方程式(4)。

圖5 一幅模擬的稀疏條紋圖及其濾波結(jié)果比較

圖6 一幅模擬的密集條紋圖及其濾波結(jié)果比較

圖7 一幅實驗拍攝的條紋圖及其濾波結(jié)果比較

為了更加客觀地比較各模型的濾波結(jié)果，本文采用散斑指數(shù)和保真度兩個參數(shù)來評估其性能，文獻[15]中詳細給出了這兩個參數(shù)的計算方法。散斑指數(shù)s用來衡量濾波后條紋圖像I的局部平滑程度。保真度f用來評價濾波后圖像和理想的無噪聲圖像之間的差異，即濾波后圖像對原始圖像細節(jié)的保持程度。s越小，表明處理后圖像的局部平滑程度越好，f越大，表明處理后圖像越接近理想無噪聲圖像。評價結(jié)果如表1所示。由于圖7是一幅實驗圖像，所以無法計算濾波后圖像與理想圖像之間的差異，即對于這幅圖像無法計算各濾波結(jié)果的保真度。

表1 兩種濾波模型的性能比較

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程式(22)優(yōu)于基于梯度的選擇擴散方向偏微分方程式(4)，這說明DCMOPDE模型在濾除條紋圖像噪聲和保留圖像重要特征方面都有顯著的優(yōu)勢。

此外，本文采用的濾波參數(shù)是經(jīng)驗值，在所選參數(shù)下，方程是穩(wěn)定的、收斂的，即能夠得到正確的濾波結(jié)果。以圖5所示的模擬條紋為例，計算過程中選取的迭代時間步長為 0.2，迭代次數(shù)為 30。本文分析了迭代過程中前后兩次迭代結(jié)果均差(如式(29)所示，為圖像的尺寸)的變化情況，結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增大，前后兩次迭代結(jié)果的均差是在逐步減小的，說明本文提出擴散方程是收斂的，同時本文選取的迭代時間步長滿足方程的穩(wěn)定性要求。此外，結(jié)合表1中列出的比較結(jié)果，迭代30次后，結(jié)果圖像的散斑指數(shù)約為0.2，說明在此迭代次數(shù)下，圖像已經(jīng)平滑，方程的去噪效果良好。

圖8 濾波過程中前后兩次迭代結(jié)果的均差曲線

6 結(jié)束語

本文在方向偏微分方程的基礎(chǔ)上，提出了結(jié)合非連續(xù)性測度的方向偏微分方程。該方法能夠控制濾波方向，使濾波僅沿著條紋方向進行；同時本文方法能夠有效控制不同特征像素點的擴散濾波速度，在充分濾除稀疏條紋處噪聲的同時，有效保護密集條紋處的條紋信息。將本文方法應用于電子散斑干涉條紋圖中，定性和定量分析均表明了本文方法是一種較好的條紋圖預處理方法。

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