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      一個(gè)不等式的加強(qiáng)與探究

      2013-10-26 01:03:19
      關(guān)鍵詞:臨澤臨澤縣正數(shù)

      (臨澤縣第一中學(xué) 甘肅臨澤 734200)

      一個(gè)不等式的加強(qiáng)與探究

      ●魏正清

      (臨澤縣第一中學(xué) 甘肅臨澤 734200)

      文獻(xiàn)[1]中給出了這樣一個(gè)推廣不等式:

      已知變量a,b,c為正數(shù),且p,q,r,λ,μ為正常數(shù),求證:

      事實(shí)上,當(dāng)p=1,q=2,r=8時(shí),不等式(1)即為

      正數(shù)大于負(fù)數(shù),這是一個(gè)毫無意義的不等式.為此,可尋求不等式(1)的加強(qiáng)形式.

      為敘述方便,將文獻(xiàn)[1]中的解答簡要摘錄如下:

      (pa+qb+rc)2≥k(ab+bc+ca),

      p2a2+[(2pq-k)b+(2pr-k)c]a+r2c2+(2qr-k)bc≥0

      恒成立,因此

      Δa=[(2pq-k)b+(2pr-k)c]2-4p2[q2b2+r2c2-(2qr-k)bc]≤0

      恒成立,即

      (2)

      恒成立.

      當(dāng)k=4pq時(shí),式(2)即(q-p-r)b+(q-r)c≤0.而當(dāng)q-p-r>0時(shí),此式不恒成立,因此k≠4pq,故式(2)恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)k-4pq<0且

      (3)

      k≤(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

      于是

      k-4pq≤-(p+q-r)2≤0.

      又k≠4pq,得k-4pq<0,從而式(2)恒成立的充要條件是

      k≤(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

      式(1)得證.

      于是可將不等式(1)加強(qiáng)為:

      定理1已知變量a,b,c為正數(shù),且p,q,r,λ,μ為正常數(shù),p≤q≤r.求證:

      (5)

      (6)

      而式(6)成立,只需

      不妨設(shè)p≤q≤r,則當(dāng)p+q≤r時(shí),易得

      2p(q+r-p)≥4pq≥(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

      從而式(7)成立,即k<4pq,當(dāng)p+q≥r時(shí),易得

      4pq≥2p(q+r-p)≥(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

      從而式(7)成立,即

      k≤2p(q+r-p),

      因此可將不等式(7)進(jìn)一步加強(qiáng)為:

      定理2已知變量a,b,c為正數(shù),且p,q,r,λ,μ為正常數(shù),p≤q≤r.求證:

      [1] 鄒生書.一個(gè)不等式的另證及推廣[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(1):33-35.

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