焦莉萍
摘 要 本文通過例題引出在曲線構(gòu)圖時需要注意的問題并加以總結(jié),隨之用典型題目予以強調(diào)應(yīng)用,以期提高學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識解決問題的能力。
關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 曲線構(gòu)圖 能力提高
中圖分類號:J211 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A
數(shù)學(xué)不僅有數(shù)的一面,也有“形”的一面。美國著名數(shù)學(xué)家克萊茵曾指出:“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣,它們的進(jìn)展就緩慢,它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時,它們就相互吸取新鮮的活力,從那以后,就以快速的步伐走向完善?!睌?shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性,其它學(xué)科和日常生活都可以找到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的例子。通過函數(shù)圖形來掌握函數(shù)的性態(tài)也顯得格外重要。隨著現(xiàn)代計算機(jī)的發(fā)展,很多軟件都可以做到輸入解析式后,立刻顯示出函數(shù)圖象來。但是,如何識別機(jī)器作圖中的誤差、掌握圖形上的關(guān)鍵點、選擇作圖的范圍等問題,并進(jìn)行人工干預(yù),仍需要我們能運用微分學(xué)的方法描繪出函數(shù)的圖形。本文就導(dǎo)數(shù)在曲線構(gòu)圖方面的應(yīng)用做出一點探討,以期提高學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識解決問題的能力。值得注意的是,在作圖過程中,除了微分學(xué)知識的應(yīng)用外,還需要應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的知識及一些基本常識來輔助。
例1 畫出() = 的圖形。
解:(1)所給函數(shù)的定義域為(,+),() = = 3()(),得 ()的駐點為 = 。易得, ()在(,1)和(1,)上單調(diào)遞減,在()上單調(diào)遞增,且 ()在 = 處取得極小值,在 = 處取得極大值2??梢允紫仍谧鴺?biāo)系內(nèi)描出點(),(1,2),注意在 = ?處 ()的切線為水平,描繪出 = ?兩點附近函數(shù)的單調(diào)性。
(2)考慮無限遠(yuǎn)端問題,即→時 ()的取值問題,這是一類很容易忽略的問題?!?, () = ≈,則有→時, ()→+;→+時, ()→。記為 () = +, (+) = 。
(3)考察(),對在(1)、(2)里勾畫出的圖形加以修飾。由() = 得, ()在(,0)上為凹函數(shù),在(0,+)上為凸函數(shù),且點(0,0)為 ()的拐點。
綜上,可以作出 ()= 的圖形(圖1)。①
例2 描繪函數(shù) ()= 的圖形。
解:(1)所給函數(shù) ()= 的定義域為(),(),() = ≠0。 = 為 ()的間斷點,且 () = , () = +。 = 為函數(shù)的鉛直漸近線。
(2)考察函數(shù)在無限遠(yuǎn)端的取值。 ()= = ,→時, ()→1。即 = 1為函數(shù)的水平漸近線。
(3)討論在(),()內(nèi)函數(shù)的極值問題。由() = >0≠0(≠),可知 ()在()和()內(nèi)分別單調(diào)遞增。
(4)最后利用()在()和()內(nèi)的符號進(jìn)一步考察函數(shù)的形態(tài)。 由() = (≠),得()時,()>0, ()= 是凹的;()時,()<0, ()= 是凸的。
綜上,可以作出 ()= 的圖形(圖2)。
根據(jù)以上兩個例題,我們可以得出描繪函數(shù)圖形的步驟如下:(1)描出特殊點:)間斷點;)無限遠(yuǎn)端的點;)圖形與坐標(biāo)軸的交點。(2)求出(),得到可能的極值點(包括駐點和不可導(dǎo)點),并計算出相應(yīng)的極值。(3)判斷()在以可能極值點為端點的區(qū)間內(nèi)的符號,據(jù)此判定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的凹凸性,求出拐點。(4)綜合以上信息,作出圖形。
現(xiàn)在,應(yīng)用以上知識解決問題:作出 () = (>0)的圖形。
解:(1)描點。)易知 = 1為 ()的間斷點,且 ()= , ()= ;)考慮無限遠(yuǎn)端,左端 = 0,右端 ()= ;) (0) = 0。
(2)()= ,令()= 0,得 = ,且 ()= 。(0,1)和(1,)時,()<0;(1,+)時,()>0。點()為駐點。在本題中,值得注意的是,() = = ,則有() = 0,即 = 0也是函數(shù)的一個駐點,作圖時需要加以注意。
(3)考慮()的符號,最終確定函數(shù)的圖形。 求出() = ,令() = 0,得 = 。(0,1)和(,+)時,()<0, () = (>0)是凸的;(1,)時,()>0, () = (>0)是凹的。
綜上所述,作出 () = (>0)的圖形(圖3)。