NSGA－II算法的改進(jìn)及其在多段翼型縫道參數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用

倪昂修，張宇飛，陳海昕

（清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084）

0 引 言

增升裝置對于飛機(jī)著陸性能具有較大影響。在著陸狀態(tài)下，增升裝置優(yōu)化的主要目標(biāo)是提高最大升力系數(shù)。三維增升裝置設(shè)計需要以多段翼型作為基礎(chǔ)，因此多段翼型的設(shè)計也具有較為重要的參考意義。本文為了發(fā)展集群優(yōu)化平臺，采用多段翼型的縫道參數(shù)優(yōu)化作為背景問題，開展NSGA－II遺傳算法的研究。對于增升裝置設(shè)計而言，由于存在較為嚴(yán)重的激波／附面層干擾、尾跡／附面層干擾和不同部件的尾跡融合的現(xiàn)象，流動現(xiàn)象十分復(fù)雜。并且由于設(shè)計點(diǎn)接近失速狀態(tài)，加之多段翼型幾何復(fù)雜，更提高了CFD分析的難度。由于流動現(xiàn)象的復(fù)雜性，給傳統(tǒng)的“試錯法”進(jìn)行增升裝置設(shè)計帶來了較大的難度［1］。使用計算機(jī)優(yōu)化算法作為統(tǒng)籌，逐步改進(jìn)設(shè)計方案，并進(jìn)行大量的構(gòu)型驗(yàn)證，可以給增升裝置的氣動設(shè)計提供較大幫助。

優(yōu)化算法主要分為局部算法和全局算法兩大類。局部方法的常見過程是：選取一定的初始設(shè)計點(diǎn)，通過計算目標(biāo)函數(shù)相對于幾何參數(shù)的局部導(dǎo)數(shù)，或者建立局部的代理模型，以確定設(shè)計參數(shù)的改變方向，隨后對幾何參數(shù)進(jìn)行小范圍變動，反復(fù)迭代直到收斂?，F(xiàn)在應(yīng)用較多的局部算法有單純形（SIMPLEX）方法，置信域方法和伴隨方法。局部算法收斂速度較快，但容易收斂到局部最優(yōu)解，不易獲得全局最優(yōu)解。在目標(biāo)函數(shù)較為復(fù)雜的情況下（增升裝置氣動設(shè)計就是一例），設(shè)計目標(biāo)往往具有多個局部最優(yōu)值，此時使用局部方法就顯得不太合適。尤其是在初始設(shè)計階段，更需要避免過早地收斂到局部最優(yōu)解。而全局優(yōu)化算法在尋找全局最優(yōu)解方面更有優(yōu)勢。全局方法有很多種，較常見的例如響應(yīng)面方法［2］和啟發(fā)式方法。

遺傳算法是一種全局優(yōu)化算法，是20世紀(jì)70年代由斯坦福大學(xué)Holland教授［3］所提出的一種啟發(fā)式算法。這是一種將設(shè)計參數(shù)進(jìn)行編碼，模仿自然界中的基因?qū)幋a進(jìn)行選擇、交叉、變異等操作，從而模擬自然界中對基因的優(yōu)勝劣汰，最終得到表現(xiàn)較優(yōu)的設(shè)計參數(shù)。相比于局部算法，遺傳算法有更好的全局尋優(yōu)的能力。另外，遺傳算法是一種基于群體的啟發(fā)式算法，它自然地?fù)碛休^好的并行計算潛力。本文使用的遺傳算法為Deb等人提出的NSGA－II［4］。其他應(yīng)用較為廣泛的遺傳算法有 MOGA－II［5］等等。

在氣動設(shè)計中，學(xué)者們使用不同的優(yōu)化算法對多種問題進(jìn)行了嘗試。比如Duvigneau和Visonneau使用SIMPLEX方法優(yōu)化二維翼型［6］；Epstein和Peigin以置信域方法作為基礎(chǔ)發(fā)展了氣動優(yōu)化平臺［7］；Jameson將伴隨方法引入平面勢流方程［8］，Euler方程［9］和 N－S方程［10］的求解，并且發(fā)展了相應(yīng)的氣動優(yōu)化方法［11］；國內(nèi)韓忠華對Kriging代理模型的理論和應(yīng)用做了較為深入的研究［12－13］；陳海昕將遺傳算法應(yīng)用于多段翼型設(shè)計［14］，王曉鵬也在博士論文中對遺傳算法在氣動設(shè)計中的應(yīng)用進(jìn)行了研究［15］；白俊強(qiáng)等人利用Kriging算法結(jié)合粒子群算法進(jìn)行了氣動外形優(yōu)化設(shè)計［16］；等等。學(xué)者們的研究目標(biāo)就在于不斷提高優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力，以及檢驗(yàn)不同的優(yōu)化算法的實(shí)際效用。這正是本文的兩個主要目標(biāo)。

隨著計算機(jī)硬件的不斷發(fā)展，大規(guī)模并行集群已經(jīng)成為科學(xué)計算的基本工具。在優(yōu)化軟件平臺開發(fā)過程中，實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集群運(yùn)算能力，并提高并行效率，也是一項(xiàng)重要任務(wù)。

本文的主要研究內(nèi)容為：對NSGA－Ⅱ算法做一定的調(diào)整，從而在一定程度上提高其尋優(yōu)能力；開發(fā)適用于氣動優(yōu)化設(shè)計的大規(guī)模并行優(yōu)化平臺；采用多段翼型優(yōu)化算例，對優(yōu)化平臺進(jìn)行驗(yàn)證和比較。

1 基于NSGA－Ⅱ的優(yōu)化平臺實(shí)現(xiàn)

1.1 遺傳算法NSGA－Ⅱ

NSGA－Ⅱ是一種以非支配形式的排序方式實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的遺傳算法。支配關(guān)系是指在多目標(biāo)優(yōu)化問題中對樣本進(jìn)行排序時，若一個個體在所有目標(biāo)上都優(yōu)于另外一個個體，則稱該個體支配了另外一個個體。根據(jù)這種支配關(guān)系，將某一代群體中所有未被支配的個體記為排序1（rank 1）；將排序1的所有個體除去后，剩余的個體中未被支配的個體記為排序2；依此類推，這就是非支配排序方法。通過非支配排序，可以得到群體的帕雷托（Pareto）前沿。

除非支配排序方法外，NSGA－Ⅱ遺傳算法在排序時，還同時考慮了約束條件和樣本的擁擠距離。擁擠距離即該個體與最近的其他個體在樣本空間中的距離。保留擁擠距離較大的個體有助于保持群體中的個體多樣性。在競爭選擇和對聯(lián)合種群進(jìn)行排序的環(huán)節(jié)中，每當(dāng)選取兩個個體進(jìn)行比較時，首先考慮是否滿足約束，然后考慮支配關(guān)系，最后考慮擁擠距離。這種排序方法不使用罰函數(shù)，避免了罰函數(shù)方法中系數(shù)選取的困難。

1.2 對NSGA－Ⅱ的改進(jìn)

在原始的NSGA－Ⅱ算法［4］中，直接將父代種群和子代種群放置在一起，構(gòu)成聯(lián)合種群進(jìn)行排序，從而獲得新的種群。這種做法雖然加快了收斂速度，但導(dǎo)致實(shí)際優(yōu)化過程中每一代可能只有少量新個體進(jìn)入，從而使算法容易收斂到局部解。這種方式對于變量數(shù)目多，而種群規(guī)模小的優(yōu)化過程十分不利。對于氣動優(yōu)化而言，由于每個構(gòu)型的NS方程計算耗時較多，甚至每個個體都需要采用多個計算節(jié)點(diǎn)進(jìn)行并行計算，種群規(guī)模往往無法取得較大。而氣動外形的設(shè)計變量很多。為了能夠更好地進(jìn)行全局尋優(yōu)，本文對原始NSGA－Ⅱ算法進(jìn)行了修改，在算法中額外設(shè)置了一個從父代種群中挑選精英種群的過程，由精英種群代替原始方法中的父代種群，與子代種群構(gòu)成聯(lián)合種群，然后對其進(jìn)行排序、選擇、交叉和變異等操作。這樣當(dāng)精英種群規(guī)模相對較小時，就能既使父代種群中的優(yōu)秀個體得以保存，保持了NSGA－Ⅱ的精英機(jī)制，又能夠有效增加每代中的新個體數(shù)目，從而避免陷入局部優(yōu)化解。改進(jìn)后的算法流程參見圖1。

圖1 改進(jìn)的NSGA－Ⅱ算法流程圖Fig.1 The flowchart of improved NSGA－Ⅱ

1.3 并行集群優(yōu)化架構(gòu)

基于NS方程的流場求解需要消耗大量的計算資源，這要求優(yōu)化平臺能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模的并行優(yōu)化。相比于NS方程求解而言，遺傳算法本身占用的時間較少。故為了簡化優(yōu)化平臺的并行化過程，本文僅在CFD分析上實(shí)現(xiàn)并行化。一臺并行計算機(jī)有多個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)可以運(yùn)行多個進(jìn)程，每個子進(jìn)程負(fù)責(zé)運(yùn)行一個完整的CFD計算。

在優(yōu)化平臺運(yùn)行的本地計算機(jī)上采用OpenMP方法并行發(fā)布多個任務(wù)要求，通過后臺控制啟動遠(yuǎn)程計算機(jī)上的各個子進(jìn)程，采用文件控制實(shí)現(xiàn)本機(jī)和并行機(jī)的通信，在完成CFD分析后，將結(jié)果返回本地計算機(jī)，然后進(jìn)行適應(yīng)度函數(shù)計算。以新產(chǎn)生的子代群體中的一個個體為例，任務(wù)發(fā)布和分析的流程示意圖如圖2。

圖2 并行任務(wù)發(fā)布流程示意圖Fig.2 Parallel task distributing

1.4 精英種群大小的確定

本文選取了一個有理論解的問題，以尋找最佳的精英種群大小。因?yàn)殡S后計算的縫道參數(shù)優(yōu)化問題有6個設(shè)計變量，故選取相同數(shù)目設(shè)計變量的測試問題。這里設(shè)計變量為（x1，x2，…，x6），目標(biāo)函數(shù)為如式（1）所示，優(yōu)化目標(biāo)為求其最大值。

其中設(shè)計變量的范圍為：

該目標(biāo)函數(shù)在樣本空間中，沿著每個變量的維度方向都有5個局部極大值，全局共有大約56＝15625個局部極大值，而只有一個全局最優(yōu)解。該目標(biāo)函數(shù)的全 局最優(yōu)值出現(xiàn)的位置是（x1，x2，…，x6）＝（0.0667，…，0.0667），最優(yōu)值為1.0000。

為了與后文的實(shí)際算例相匹配設(shè)置改進(jìn)后的遺傳算法中每代個數(shù)為44，共計24代，變異率為0.01。設(shè)定精英比為0～1，步長間隔為0.2。因?yàn)檫z傳算法有一定的隨機(jī)性，每個精英比下求解優(yōu)化問題10次。每個精英比下求得的最優(yōu)值的統(tǒng)計結(jié)果如表1中所示。

表1 精英比和計算結(jié)果之間的關(guān)系Table 1 Relationship between elite ratio and result

可以看出，精英比為0.2～0.4時，計算結(jié)果的平均值最高而方差較小。這說明取這樣的精英比可以使得優(yōu)化結(jié)果較好。故后文中一律取精英比為0.3。

1.5 改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法和其他算法的對比

使用改進(jìn)后算法和原始的NSGA－Ⅱ算法，MOGA－Ⅱ算法以及單純形（SIMPLEX）算法進(jìn)行對比。其中MOGA－Ⅱ是一種使用較為廣泛的遺傳算法；而單純形算法是一種局部算法。

用這些方法求解式（1）的優(yōu)化問題，此時取sin函數(shù)的6次方，從而進(jìn)一步加大了優(yōu)化難度。改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法中，設(shè)置精英種群的大小為父代種群大小的約0.3倍：在本算例中，父代種群每代有44個個體，精英種群有13個個體。在其他參數(shù)上，改進(jìn)后算法和原始的NSGA－Ⅱ算法以及 MOGA－Ⅱ算法使用同樣的設(shè)置。因改進(jìn)后的算法在進(jìn)行140代迭代計算后即尋找到全局最優(yōu)，故其他兩種遺傳算法也設(shè)置為進(jìn)行140代計算。使用各種算法的計算收斂過程如圖3所示。

從圖3可以看到，經(jīng)過同樣代數(shù)的計算，改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法是唯一一個尋找到全局最優(yōu)的算法。而原始的的NSGA－Ⅱ算法和MOGA－Ⅱ算法不僅未能尋找到全局最優(yōu)，而且在優(yōu)化的過程中出現(xiàn)了“平臺”，即最優(yōu)個體的目標(biāo)函數(shù)停留在一定數(shù)值長時間沒有改善——這種情況在實(shí)際的優(yōu)化過程中會被誤認(rèn)為是優(yōu)化過程已經(jīng)收斂?？梢钥吹剑ㄟ^上文提到的改進(jìn)，NSGA－Ⅱ算法的確有了更好的全局尋優(yōu)能力。

而局部算法SIMPLEX在進(jìn)行150次左右計算之后，就收斂到了局部最優(yōu)。在優(yōu)化的初期，SIMPLEX算法的目標(biāo)函數(shù)提升比改進(jìn)的NSGA－Ⅱ算法更快，隨著迭代過程的進(jìn)行，SIMPLEX算法很快收斂，但是此時其結(jié)果距離全局最優(yōu)還有很大的差距。相比之下，改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法雖然收斂比較慢，但能夠得到全局最優(yōu)解。

對于氣動優(yōu)化而言，幾何外形的設(shè)計變量較多，解空間非常有可能存在多個局部最優(yōu)值。使用局部優(yōu)化算法雖然能夠較快收斂，并且也能獲得性能的改善，但是得到的結(jié)果可能距離全局最優(yōu)具有較大的差距。為了充分提高設(shè)計的氣動性能，避免在設(shè)計初期就陷于局部最優(yōu)解，加強(qiáng)優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)能力十分重要。

圖3 改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ，原始的NSGA－Ⅱ，MOGA－Ⅱ，SIMPLEX算法的目標(biāo)函數(shù)收斂歷史Fig.3 The history plot of fitness function of the result of improved NSGA－Ⅱ，original NSGA－Ⅱ，MOGA－Ⅱ，and SIMPLEX algorithm

2 多段翼型縫道參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

2.1 問題描述

對于民用飛機(jī)的增升裝置而言，著陸構(gòu)型應(yīng)當(dāng)盡量提高其最大升力系數(shù)，并且最大升力系數(shù)之后失速特性應(yīng)較為緩和。故本文選擇臨近失速的攻角作為優(yōu)化設(shè)計狀態(tài)［1，14］。馬赫數(shù)設(shè)為0.2，雷諾數(shù)5×106。優(yōu)化目標(biāo)為攻角18°時升力系數(shù)最大。

多段翼型的構(gòu)型包括縫翼、主翼和襟翼，各部分翼型定義見圖4。

縫道參數(shù)優(yōu)化的設(shè)計變量包括前緣縫翼和后緣襟翼的搭接量（用弦長無量綱化）、縫隙寬度（用弦長無量綱化）和偏角共計6個參數(shù)［14］，如圖5所示。各設(shè)計變量的范圍變化范圍見表2。

圖4 各部分翼型定義Fig.4 Multi－element definition

圖5 設(shè)計參數(shù)定義Fig.5 Definition of design parameters

表2 設(shè)計變量范圍Table 2 Parameter range

2.2 計算方法驗(yàn)證

文獻(xiàn)［17］對多段翼型進(jìn)行了風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)。在馬赫數(shù)為0.197的條件下，進(jìn)行了攻角為4°和20.18°的兩組實(shí)驗(yàn)，雷諾數(shù)為3.52×106。從中選取和本文研究對象最為接近的三段翼型作為算例，驗(yàn)證將要使用的計算方法。計算使用的網(wǎng)格為單塊網(wǎng)格，網(wǎng)格點(diǎn)總數(shù)約5萬，采用的湍流模式是兩方程SST模式。計算網(wǎng)格如圖6所示。CFD求得的壓力分布和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比如圖7所示?？梢钥闯?，該網(wǎng)格與NS方程求解器組合可保證CFD分析具有足夠的精度以及對多段翼型流動中復(fù)雜氣動現(xiàn)象的解析能力?？梢杂糜陂_展后續(xù)的設(shè)計工作。

圖6 三段翼型網(wǎng)格Fig.6 Grid of 3－element airfoil

2.3 多段翼型優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

采用2.2中驗(yàn)證過的氣動分析方法，同樣拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和密度的網(wǎng)格，結(jié)合改進(jìn)的NSGA－Ⅱ算法開展多段翼型縫道參數(shù)優(yōu)化。設(shè)置遺傳算法每代為44個個體，一共迭代24代（初始種群記為第一代），設(shè)置精英種群大小為13個個體。在給定各設(shè)計參數(shù)之后，由腳本控制完成網(wǎng)格自動化生成。進(jìn)行數(shù)值計算得到翼型升力阻力。針對某些縫道參數(shù)位置可能出現(xiàn)的CFD計算不收斂的情況，結(jié)合迭代步數(shù)和收斂歷史判斷剔除不合理的結(jié)果。

圖7 α＝4°和α＝20.18°時壓力系數(shù)實(shí)驗(yàn)與計算對比（從上至下）Fig.7 Comparison of Cp between experiments and CFD atα＝4°and 20.18°（from top to bottom）

計算采用5臺8核2.4GHz和1臺4核2.7GHz的刀片機(jī)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行并行計算，運(yùn)行20小時后得到多段翼型的優(yōu)化結(jié)果。目標(biāo)函數(shù)升力系數(shù)的收斂歷史見圖8。初代種群的最優(yōu)個體編號為15，將其視為初始方案；優(yōu)化獲得的最終最優(yōu)個體編號為897，即20代的第17個個體。

圖8 目標(biāo)函數(shù)歷史圖Fig.8 The history plot of fitness function

初代種群的最優(yōu)個體（ID：15）和最終最優(yōu)個體（ID：897）的CFD分析的升力系數(shù)收斂歷史和表面壓力系數(shù)對比見圖9和圖10。經(jīng)過遺傳算法24代的迭代后，升力系數(shù)從最開始的3.75提升到了大約3.97。最終最優(yōu)個體壓力分布形態(tài)合理，主翼與襟翼上的環(huán)量有明顯提高，吸力峰值有適度增長，襟翼上的分離得到一定的抑制。

將本文提出的改進(jìn)后的算法的結(jié)果，和原始NSGA－Ⅱ算法的結(jié)果做一對比。對原始的NSGA－Ⅱ優(yōu)化算法，設(shè)置同樣的種群規(guī)模和初始值，進(jìn)行相同多段翼型的優(yōu)化，兩種方法優(yōu)化結(jié)果對比如表3所示。從表3中可以看到，所得最佳個體升力系數(shù)相近，縫道參數(shù)區(qū)別不大，尤其是對升力系數(shù)起重要作用的縫翼和襟翼偏角幾乎完全一樣。但是原始的NSGA－Ⅱ算法的最佳個體獲得經(jīng)過了更多的迭代代數(shù)，所需的時間稍長。從優(yōu)化結(jié)果和過程來看，改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法在實(shí)際問題中具有優(yōu)秀的性能；自行開發(fā)的優(yōu)化平臺軟件運(yùn)行效果良好。后續(xù)將在此平臺上進(jìn)一步對優(yōu)化算法進(jìn)行發(fā)展。

圖9 初始方案與優(yōu)化方案CFD升力系數(shù)收斂歷史圖Fig.9 Clhistory plot of initial design and best design

圖10 初始方案與優(yōu)化方案壓力系數(shù)圖Fig.10 Cpplot of initial design and best design

表3 與原始NSGA－Ⅱ算法的設(shè)計結(jié)果對比Table 3 Comparison of design result with original NSGA－Ⅱ

3 結(jié) 論

本文提出在NSGA－Ⅱ算法中，對加入新種群的父代種群個體進(jìn)行精英篩選，從而增加新種群中新個體的數(shù)目。改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法具有明顯改進(jìn)的全局尋優(yōu)能力。

采用改進(jìn)后的NSGA－Ⅱ算法對多段翼型的縫道參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。經(jīng)過每代44個個體共計24代迭代運(yùn)算后，翼型升力系數(shù)提高約0.22。與原始NSGA－Ⅱ算法的結(jié)果對比，最優(yōu)個體的性能相當(dāng)，改進(jìn)后的算法尋優(yōu)速度加快。后續(xù)將在自行開發(fā)的平臺上進(jìn)一步開展優(yōu)化算法的改進(jìn)。

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