關(guān)于數(shù)列求和問題的一些思考

褚艷春　楊紅強(qiáng)

在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，求數(shù)列各項(xiàng)和的問題是我們不容忽視的教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，高中階段的學(xué)生應(yīng)該掌握等差數(shù)列，等比數(shù)列前n項(xiàng)的求和公式，還應(yīng)該會(huì)采用這些簡(jiǎn)單的公式去解決生活中一些常見的簡(jiǎn)單問題。

一、關(guān)于數(shù)列求和問題的認(rèn)識(shí)

與數(shù)列有關(guān)的題目是我們?cè)谥袑W(xué)階段重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，一般使用公式法、通項(xiàng)分析法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、遞推法和階差法等方法進(jìn)行數(shù)列的求和，在這些方法中公式法是最基本的方法。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)列的時(shí)候首先學(xué)習(xí)的就是等差數(shù)列和等比數(shù)列，公式法的本質(zhì)就是一定要記清楚、記準(zhǔn)確公式，能夠準(zhǔn)確地通過分析數(shù)列的特征給出其通項(xiàng)公式，然后求出數(shù)列前項(xiàng)和。

通項(xiàng)分析法是相對(duì)靈活多變的方法，首先分析數(shù)列各項(xiàng)的特征，觀察有沒有什么共同的特點(diǎn)，例如各項(xiàng)是否可以分解，局部是否可以先求和等等，分組求和然后再整體求和。遇到這種題目，我們要靈活面對(duì)，方法不唯一，具體情況還得具體分析，上面我們只是介紹了通項(xiàng)分析法運(yùn)用的一部分，也是我們常見的一類題目，必須要牢牢掌握。

錯(cuò)位相減法是我們常用的方法，值得注意的是在解題過程當(dāng)中一定要自仔細(xì)認(rèn)真，因?yàn)樵诮忸}過程當(dāng)中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是繁多的，稍微不注意就容易寫錯(cuò)。

裂項(xiàng)相消法就是把一項(xiàng)分解成兩項(xiàng)甚至是多項(xiàng)，然后采用消除的辦法求得前項(xiàng)和。用這種方法解決數(shù)列問題的類型有很多，其中包括等差型、無(wú)理型、指數(shù)型、對(duì)數(shù)型、三角函數(shù)型等等，其中三角函數(shù)型是不常見的，但是我們?cè)谟龅降臅r(shí)候要會(huì)解，以上介紹的幾種類型一定要牢牢的掌握，在解題過程當(dāng)中我們經(jīng)常會(huì)遇到，每一種類型都有自己鮮明的特點(diǎn)，同學(xué)們要在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，靈活多變的去解決遇到的不同問題。

遞推法大體上在解決自然數(shù)平方和、立方和的題目時(shí)常常會(huì)用到。采用遞推法解決數(shù)列題目，起初我們要知道數(shù)列的通項(xiàng)公式，求通項(xiàng)的辦法就是要先找到數(shù)列各項(xiàng)間的規(guī)律，繼后化難為易，在中學(xué)課本上等差數(shù)列和等比數(shù)列其通項(xiàng)的求法就可以通過遞推公式的形式來求出。上文我們已經(jīng)介紹了等差數(shù)列其通項(xiàng)通過遞推公式的辦法證明了出來。我已經(jīng)介紹了三種用遞推法去解決問題的類型，這三種類型是我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到的問題，希望讀者可以理解并牢牢的掌握。

階差法是求通項(xiàng)公式常用的方法，我們知道數(shù)列是由一項(xiàng)一項(xiàng)構(gòu)成的，其排列有一定的次序，這里的一定次序是關(guān)鍵，換句話說這里的一定次序就是數(shù)列的通項(xiàng)，而階差法就是在通項(xiàng)公式不是很容易看出來的情況下采用的辦法。上文中我所介紹的那道例題就是一道很典型的例題，充分理解這道例題，分析階差法的微妙之處是解決這種類型的關(guān)鍵。

歸納、猜想、證明這種類型的題目一般情況下我們是可以通過分析數(shù)列各項(xiàng)的共同特征歸納出其前項(xiàng)和，然后猜想通項(xiàng)和公式，最重要的一點(diǎn)就是證明，證明方法一般采用假設(shè)法，假設(shè)法就是假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，我們來推當(dāng)時(shí)等式也成立。采用這種方法的題目都有自己和鮮明的特點(diǎn)，讀者通過分析上文所介紹的例題可以很快的理解什么時(shí)候采用這種方法。關(guān)鍵的一點(diǎn)就是假設(shè)法的運(yùn)用，讀者一定要牢牢地掌握。多做一些與此相關(guān)的例題，千錘百煉。

與組合數(shù)有關(guān)的數(shù)列的求和法和特殊的三角數(shù)列求和法是不常見的一類題目解法，在此我們要了解這兩種方法，在遇到這種題目的時(shí)候要會(huì)用、會(huì)解。

二、一些思考

以上討論的是數(shù)列求和問題常用到的一些解題方法，而數(shù)列求和類的題目其解法靈活多變，不限于一種方法。對(duì)于較復(fù)雜的的數(shù)列求和題目需要在掌握基本或者說是根本方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行更進(jìn)一步的探究，并在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，摸索求解規(guī)律的過程之中，努力培養(yǎng)剖析問題和解決問題的本領(lǐng)，逐步養(yǎng)成勤于思考，善于動(dòng)手的良好習(xí)慣。很多學(xué)生在遇到數(shù)列問題時(shí)常會(huì)感到特別棘手，或者是一看到數(shù)列求和問題就頭大，就害怕，我覺得這完全是沒有必要的行為，只要我們掌握了數(shù)列的最基本的方法，把其他方法好好地理解，我想在以后再次遇到數(shù)列求和問題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手。

（責(zé)編 張景賢）