算術方法與代數(shù)方法漫談

楊國智

[摘 要] 字母的引入，代數(shù)式和方程的出現(xiàn)，是數(shù)及其運算的進一步抽象，從小學起就引入等式的基本性質，并以此為基礎導出解方程的方法，不僅有利于加強中小學數(shù)學教學的銜接，而且有利于學生邏輯思維能力的發(fā)展.

[關鍵詞] 算術方法；代數(shù)方法；中小銜接

■ 問題的提出

本學年七年級數(shù)學期末檢測數(shù)學評卷時，遇到了如下一個有趣的問題.

列方程解應用題：小明和小麗住在同一小區(qū). 一天，他們同時出門去上學，小明每分鐘走90米，小麗每分鐘走60米. 小明到校門口時發(fā)現(xiàn)自己忘帶了《數(shù)學》課本，立即沿原路返回家中去取，行至距校門252米處與小麗相遇. 他們家距學校多遠？

某同學是這樣解的：相遇時小明比小麗多走了252×2米，這是因為小明比小麗每分鐘多走（90-60）米，所以相遇時間是252×2÷（90-60）=16.8分. 他們距學校的距離是60×16.8+252=1260米.

綜合算式：252×2÷（90-60）×60+252=1260米.

針對這個問題，評卷老師們提出了兩種不同意見：一是題目要求列方程解應用題，所以不列方程解應用題不得分. 二是這個同學用算術方法解這道應用題思路清晰，算法合理，應該適當給分.

我的思考：姑且不說該不該得分，這道題目的數(shù)量關系相對復雜，按常規(guī)思維難以下手，如果選擇方程，則較為簡單. 七年級的同學已經(jīng)再次學習了一元一次方程，為什么會選擇較為復雜的算術解法而不選擇較為簡單的方程呢？

■ 算術方法與代數(shù)方法（方程）之

比較

例1？搖 “舒心”水果店新進蘋果500千克，比梨子重量的2倍還多40千克. 梨子有多少千克？

算術方法？搖 因為蘋果比梨子的2倍還多40千克，假設從蘋果中減去40千克，那剩下的重量正好是梨子重量的2倍. “已知一個數(shù)的2倍是500-40，求這個數(shù)”用除法，所以算式是（500-40）÷2=230（千克）.

方程解法？搖 數(shù)量關系是“蘋果的重量=梨子的重量×2+40”，設梨子有x千克，根據(jù)題意可列出方程2x+40=500.

例2？搖 中國古代數(shù)學問題：雞兔49，100只爪子地上走. 問雞幾只？兔幾只？

算術解法？搖 假設49只全部為雞，則這49只雞的爪子是98只，而雞兔爪子共100只，少了2只爪子，這是因為把兔看成了雞. 每只兔比每只雞多（4-2）只爪子，2÷2=1，所以兔有1只，雞有48只.

方程解法一？搖 主要的數(shù)量關系是“雞爪數(shù)+兔爪數(shù)=100”，設雞有x只，則兔為（49-x）只. 根據(jù)題意可列出方程2x+4×（49-x）=100.

方程解法二？搖 題中的數(shù)量關系有“雞只數(shù)+兔只數(shù)=49”“雞爪數(shù)+兔爪數(shù)=100”，設雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意可列方程組x+y=49，2x+4y=100.

用算術方法和代數(shù)方法（方程）解應用題的不同之處：

■

用算術方法和代數(shù)方法（方程）解應用題的相同之處：

它們都必須建立在分析題意、找準題目中的數(shù)量關系的基礎之上，列算術式的依據(jù)是四則運算的意義，列方程解應用題的依據(jù)也是四則運算的意義.

如果題目中的數(shù)量關系較簡單，且思維方式是常規(guī)思維，則用算術方法較合適. 如果題目中未知量較多，數(shù)量關系較復雜，且思維方式是逆向思維，則用方程方法較合適.

例3？搖 一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛. 在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間，過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過幾分鐘，貨車追上了客車.

分析？搖 本題是行程問題中的追及問題，但三種車輛的速度未知，車與車之間的間隔距離也未知. 涉及的量多，關系復雜，若用算術方法解答困難較大，故建議用代數(shù)方法解答. 解題時要注意由題中貨車在中、客車在前、小轎車在后，且貨車與客車、小轎車之間路程相等，提煉出其中的等量關系. 設貨車、客車、小轎車的速度分別是a，b，c，貨車與客車、小轎車之間的路程是s，則可得s=10×（c-a），2s=（10+5）×（c-b）. 貨車追上客車的時間t=s÷（a-b）-10-5. 這樣可以設而不解，巧妙轉換求出時間.

■ 中小學數(shù)學教學中應注意的

幾點

1. 把“符號意識”貫穿數(shù)學教學始終. 新修訂的《數(shù)學課程標準》將“符號感”更名為“符號意識”，更加強調學生主動理解和運用符號的心理傾向. 因為用數(shù)進行的所有運算都是個案，而數(shù)學要研究一般問題，一般問題需要通過符號來表示、運算和推理，因此，一方面，符號可以像數(shù)一樣進行運算和推理，另一方面，通過符號運算和推理得到的結論具有一般性. 在教學中，“應根據(jù)學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則. 螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實質性的變化，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求”. 第一學段以數(shù)的認識和數(shù)的運算為主，第二學段逐步滲入式與方程，第三學段則把重點放在代數(shù)式、整式與分式、方程與不等式、函數(shù)等相關知識上.

2. 在第二學段的教學中，要加強代數(shù)思想的培養(yǎng). 《數(shù)學課程標準》在該學段的要求是“經(jīng)歷從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)及簡單數(shù)量關系的過程……會用方程表示簡單的數(shù)量關系，會解簡單的方程”. 小學生在開始學習用代數(shù)法解應用題時，可能不大習慣，會受到算術法解題思路的干擾，在解題過程中可能會出現(xiàn)一些錯誤，為了順利地學好用代數(shù)法解應用題，應注意以下幾個問題：

（1）切實理解題意. 通過讀題，弄明白題中講的是什么意思，有哪些已知條件，未知條件是什么，已知條件與未知條件之間是什么關系.

（2）在切實理解題意的基礎上，用字母表示（設）題中的未知數(shù). 通常用字母x表示未知數(shù)，題目問什么就用x表示什么. 小學數(shù)學教材中，用列方程解答的應用題絕大多數(shù)都是這樣的.

3. 第三學段的教學中要注意代數(shù)知識的銜接. 在七年級數(shù)學教學中，列方程解應用題是代數(shù)教學聯(lián)系實際的重要課題，它對于培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力具有重要的意義. 初學列方程時，學生常常覺得應用題的算術解法已經(jīng)會了，仍習慣于用算術解法，對用代數(shù)方法來分析和解決應用題不適應. 因此，在實際教學中，教師可首先通過選擇典型例題分別用算術法和代數(shù)法進行分析解答，然后指出兩種方法的特點，讓學生進行比較，在對比中讓學生自己認識到代數(shù)解法的優(yōu)越性. 學生經(jīng)過一段時間的訓練，便可克服由算術法形成的思維定式的影響，逐漸體會到代數(shù)解法的優(yōu)越性，從而促進學生迅速適應并能掌握代數(shù)解法，順利地實現(xiàn)從算術到代數(shù)的飛躍.

“代數(shù)的抽象、運算與建?！笔菙?shù)學教學的重要內容，也是解決許多數(shù)學實際問題的有效工具，尤其是方程模型，體現(xiàn)了數(shù)學建模思想. 它既是數(shù)學學習的出發(fā)點，也是數(shù)學學習的落腳點，因此，在數(shù)學教學中，要讓學生體會“代數(shù)”的價值，提高學生學習數(shù)學的興趣，增強他們學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學態(tài)度.