大學(xué)文科數(shù)學(xué)中求不定積分的幾種基本方法

何冬梅

摘 要： 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門重要學(xué)科，微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.不定積分與定積分是本學(xué)科的重要章節(jié)，而不定積分是定積分的基礎(chǔ)，因此掌握好求不定積分的方法，對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.

關(guān)鍵詞： 大學(xué)文科數(shù)學(xué) 不定積分 求解方法

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門重要學(xué)科，學(xué)生對(duì)本門課程學(xué)習(xí)掌握的情況，將會(huì)影響到后繼的其他學(xué)科的學(xué)習(xí).不定積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要章節(jié)，它是定積分、二重積分、三重積分等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此求不定積分的方法，對(duì)于本門課程的學(xué)習(xí)有非常重要的作用.

一、求不定積分時(shí)存在的問題

當(dāng)學(xué)完不定積分這一章后，綜合做題時(shí)，學(xué)生往往不知道該用什么方法求不定積分，學(xué)過的方法此時(shí)變得似是而非，甚至無從下手.

二、如何解決求不定積分時(shí)束手無策的問題

（一）學(xué)握不定積分的運(yùn)算法則

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？搖？搖（k為不為0的常數(shù)）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）記住不定積分的基本公式

（三）掌握不定積分的幾種基本方法

1.直接積分法：即通過適當(dāng)?shù)淖冃渭袄貌欢ǚe分的運(yùn)算法則、公式，求出不定積分的方法.

2.第一換元法（也叫湊微分法）

若F（u）為f（u）的原函數(shù)，則？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此種方法被稱為第一換元法（湊微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用湊微分法，最好不要換元，因?yàn)閾Q元后還需原變量，顯得更麻煩.

3.第二換元法（包含無理代換法、三角代換法）

設(shè)函數(shù)x=φ（t）單調(diào)可導(dǎo)，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

則？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數(shù).

以上方法，被稱為第二換元法.

（1）無理代換法

當(dāng)最簡(jiǎn)根式中被開方式子里的變量的最高次數(shù)是1次時(shí)，用此法.令整個(gè)根式為新的變量，當(dāng)然，若在被積函數(shù)中，同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)根指數(shù)不同的最簡(jiǎn)根式，則令最大根指數(shù)的那個(gè)根式為新的變量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，則dx=2tdt

原式=？蘩■·2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代換法

當(dāng)被積函數(shù)中有最簡(jiǎn)根式，并且被開方式子中的未知數(shù)的最高次數(shù)2次時(shí)，即令未知數(shù)為一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，利用三角函數(shù)的恒等變形將根號(hào)去掉，再進(jìn)一步求出不定積分，此種方法被稱為三角代換法.此情況下若用無理代換法，則行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），則dx=acostdt

原式=？蘩a·cost·acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint·cost+c

根據(jù)x=asimt（acost）作輔助三角形如下圖：

得原式=■·arcsin·■+■x■+c

4.分部積分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu進(jìn)行積分的方法被稱為分部積分法，此種方法的關(guān)鍵是正確選擇u、v，一般原則是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易積出.

例4：？蘩arcsinxdx=x·arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）記住一些常用的湊微分的技巧

總之，求不定積分時(shí)要針對(duì)不同的被積函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?dāng)然，有些不定積分不但需要運(yùn)用一些靈活的做題技巧，而且需要綜合運(yùn)用多種積分方法才能求出結(jié)果.對(duì)于大學(xué)文科的學(xué)生，只要掌握好以上計(jì)算方法，基本上就可以了.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈聰.高等數(shù)學(xué).首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2010.5.

[2]張國(guó)楚，張如生.大學(xué)文科高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1998.6.endprint

摘 要： 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門重要學(xué)科，微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.不定積分與定積分是本學(xué)科的重要章節(jié)，而不定積分是定積分的基礎(chǔ)，因此掌握好求不定積分的方法，對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.

關(guān)鍵詞： 大學(xué)文科數(shù)學(xué) 不定積分 求解方法

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門重要學(xué)科，學(xué)生對(duì)本門課程學(xué)習(xí)掌握的情況，將會(huì)影響到后繼的其他學(xué)科的學(xué)習(xí).不定積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要章節(jié)，它是定積分、二重積分、三重積分等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此求不定積分的方法，對(duì)于本門課程的學(xué)習(xí)有非常重要的作用.

一、求不定積分時(shí)存在的問題

當(dāng)學(xué)完不定積分這一章后，綜合做題時(shí)，學(xué)生往往不知道該用什么方法求不定積分，學(xué)過的方法此時(shí)變得似是而非，甚至無從下手.

二、如何解決求不定積分時(shí)束手無策的問題

（一）學(xué)握不定積分的運(yùn)算法則

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？搖？搖（k為不為0的常數(shù)）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）記住不定積分的基本公式

（三）掌握不定積分的幾種基本方法

1.直接積分法：即通過適當(dāng)?shù)淖冃渭袄貌欢ǚe分的運(yùn)算法則、公式，求出不定積分的方法.

2.第一換元法（也叫湊微分法）

若F（u）為f（u）的原函數(shù)，則？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此種方法被稱為第一換元法（湊微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用湊微分法，最好不要換元，因?yàn)閾Q元后還需原變量，顯得更麻煩.

3.第二換元法（包含無理代換法、三角代換法）

設(shè)函數(shù)x=φ（t）單調(diào)可導(dǎo)，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

則？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數(shù).

以上方法，被稱為第二換元法.

（1）無理代換法

當(dāng)最簡(jiǎn)根式中被開方式子里的變量的最高次數(shù)是1次時(shí)，用此法.令整個(gè)根式為新的變量，當(dāng)然，若在被積函數(shù)中，同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)根指數(shù)不同的最簡(jiǎn)根式，則令最大根指數(shù)的那個(gè)根式為新的變量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，則dx=2tdt

原式=？蘩■·2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代換法

當(dāng)被積函數(shù)中有最簡(jiǎn)根式，并且被開方式子中的未知數(shù)的最高次數(shù)2次時(shí)，即令未知數(shù)為一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，利用三角函數(shù)的恒等變形將根號(hào)去掉，再進(jìn)一步求出不定積分，此種方法被稱為三角代換法.此情況下若用無理代換法，則行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），則dx=acostdt

原式=？蘩a·cost·acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint·cost+c

根據(jù)x=asimt（acost）作輔助三角形如下圖：

得原式=■·arcsin·■+■x■+c

4.分部積分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu進(jìn)行積分的方法被稱為分部積分法，此種方法的關(guān)鍵是正確選擇u、v，一般原則是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易積出.

例4：？蘩arcsinxdx=x·arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）記住一些常用的湊微分的技巧

總之，求不定積分時(shí)要針對(duì)不同的被積函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?dāng)然，有些不定積分不但需要運(yùn)用一些靈活的做題技巧，而且需要綜合運(yùn)用多種積分方法才能求出結(jié)果.對(duì)于大學(xué)文科的學(xué)生，只要掌握好以上計(jì)算方法，基本上就可以了.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈聰.高等數(shù)學(xué).首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2010.5.

[2]張國(guó)楚，張如生.大學(xué)文科高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1998.6.endprint

摘 要： 高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門重要學(xué)科，微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容.不定積分與定積分是本學(xué)科的重要章節(jié)，而不定積分是定積分的基礎(chǔ)，因此掌握好求不定積分的方法，對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用.

關(guān)鍵詞： 大學(xué)文科數(shù)學(xué) 不定積分 求解方法

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)的一門重要學(xué)科，學(xué)生對(duì)本門課程學(xué)習(xí)掌握的情況，將會(huì)影響到后繼的其他學(xué)科的學(xué)習(xí).不定積分是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要章節(jié)，它是定積分、二重積分、三重積分等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此求不定積分的方法，對(duì)于本門課程的學(xué)習(xí)有非常重要的作用.

一、求不定積分時(shí)存在的問題

當(dāng)學(xué)完不定積分這一章后，綜合做題時(shí)，學(xué)生往往不知道該用什么方法求不定積分，學(xué)過的方法此時(shí)變得似是而非，甚至無從下手.

二、如何解決求不定積分時(shí)束手無策的問題

（一）學(xué)握不定積分的運(yùn)算法則

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？搖？搖（k為不為0的常數(shù)）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）記住不定積分的基本公式

（三）掌握不定積分的幾種基本方法

1.直接積分法：即通過適當(dāng)?shù)淖冃渭袄貌欢ǚe分的運(yùn)算法則、公式，求出不定積分的方法.

2.第一換元法（也叫湊微分法）

若F（u）為f（u）的原函數(shù)，則？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此種方法被稱為第一換元法（湊微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用湊微分法，最好不要換元，因?yàn)閾Q元后還需原變量，顯得更麻煩.

3.第二換元法（包含無理代換法、三角代換法）

設(shè)函數(shù)x=φ（t）單調(diào)可導(dǎo)，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

則？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數(shù).

以上方法，被稱為第二換元法.

（1）無理代換法

當(dāng)最簡(jiǎn)根式中被開方式子里的變量的最高次數(shù)是1次時(shí)，用此法.令整個(gè)根式為新的變量，當(dāng)然，若在被積函數(shù)中，同時(shí)出現(xiàn)幾個(gè)根指數(shù)不同的最簡(jiǎn)根式，則令最大根指數(shù)的那個(gè)根式為新的變量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，則dx=2tdt

原式=？蘩■·2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代換法

當(dāng)被積函數(shù)中有最簡(jiǎn)根式，并且被開方式子中的未知數(shù)的最高次數(shù)2次時(shí)，即令未知數(shù)為一個(gè)恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，利用三角函數(shù)的恒等變形將根號(hào)去掉，再進(jìn)一步求出不定積分，此種方法被稱為三角代換法.此情況下若用無理代換法，則行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），則dx=acostdt

原式=？蘩a·cost·acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint·cost+c

根據(jù)x=asimt（acost）作輔助三角形如下圖：

得原式=■·arcsin·■+■x■+c

4.分部積分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu進(jìn)行積分的方法被稱為分部積分法，此種方法的關(guān)鍵是正確選擇u、v，一般原則是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易積出.

例4：？蘩arcsinxdx=x·arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）記住一些常用的湊微分的技巧

總之，求不定積分時(shí)要針對(duì)不同的被積函數(shù)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?dāng)然，有些不定積分不但需要運(yùn)用一些靈活的做題技巧，而且需要綜合運(yùn)用多種積分方法才能求出結(jié)果.對(duì)于大學(xué)文科的學(xué)生，只要掌握好以上計(jì)算方法，基本上就可以了.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈聰.高等數(shù)學(xué).首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社，2010.5.

[2]張國(guó)楚，張如生.大學(xué)文科高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1998.6.endprint