折現(xiàn)率離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型下最大赤字問(wèn)題

古再麗努爾?阿布都卡地爾等

摘 要 在引入折現(xiàn)率的條件下研究離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用遞推方法和全概率公式，得到了破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字以及它們的聯(lián)合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程并得出結(jié)論.

關(guān)鍵詞 折現(xiàn)率；離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)概率；破產(chǎn)赤字

中圖分類號(hào) F222.3，O211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，風(fēng)險(xiǎn)模型按照收取保費(fèi)的方式的不同可分為連續(xù)模型和離散模型兩種.連續(xù)模型采取連續(xù)收費(fèi)的原則，即以時(shí)間為連續(xù)變化的量連續(xù)地收取保費(fèi).離散模型采用離散收費(fèi)的原則，即以一定時(shí)間長(zhǎng)度為收費(fèi)的單位區(qū)間，在每一個(gè)單位區(qū)間內(nèi)只收取一次保費(fèi).討論得最多的離散時(shí)間模型是將單位時(shí)間收取的保費(fèi)視為常數(shù)，每一時(shí)期的理賠量視為獨(dú)立同分布的隨時(shí)機(jī)變量的模型[1].文獻(xiàn)[2]對(duì)此模型加以推廣把單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并將利率因素引入風(fēng)險(xiǎn)模型，以加強(qiáng)模型的現(xiàn)實(shí)描述能力.文獻(xiàn)[3，4]中作者討論了帶常利率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了描述破產(chǎn)嚴(yán)重性的破產(chǎn)量：破產(chǎn)前盈余分布，破產(chǎn)前最大盈余分布，破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布以及破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字，破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布等.文獻(xiàn)[5]研究了含有投資和通貨膨脹因素的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了很好的結(jié)果.本文在引入折現(xiàn)率的條件下研究離散時(shí)間模型，運(yùn)用遞推方法，得到了破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字以及它們的聯(lián)合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程.

2 模型描述

考慮保費(fèi)收入與理賠支出為隨機(jī)變量的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型.假定在所考慮的時(shí)間內(nèi)有固定的折現(xiàn)率δ，u為保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金，保費(fèi)在每一時(shí)期的期初收取，理賠在每一時(shí)期的期末支付，則在時(shí)刻n保險(xiǎn)公司的累積盈余折到初始時(shí)刻時(shí)的盈余為：

4 總 結(jié)

綜上所述，在離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中的利率為折現(xiàn)率這一特征使模型更有現(xiàn)實(shí)意義.從本文所討論的模型下得出的關(guān)于各個(gè)破產(chǎn)指標(biāo)所滿足的微積分方程可知，只要知道隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)，就可以利用遞推公式得到保險(xiǎn)公司的各個(gè)破產(chǎn)指標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孫立娟，顧嵐.離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2002，18（3）：293-299.

[4] 孫立娟，顧嵐，劉立新.離散時(shí)間模型下最大赤字問(wèn)題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，趙明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2002，4（19）：8-13.

[6] 劉家有，劉再明.保險(xiǎn)公司在固定利率下的離散型破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何曉霞.一類離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)雜志，2012，32（1）： 181-185.endprint

摘 要 在引入折現(xiàn)率的條件下研究離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用遞推方法和全概率公式，得到了破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字以及它們的聯(lián)合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程并得出結(jié)論.

關(guān)鍵詞 折現(xiàn)率；離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)概率；破產(chǎn)赤字

中圖分類號(hào) F222.3，O211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，風(fēng)險(xiǎn)模型按照收取保費(fèi)的方式的不同可分為連續(xù)模型和離散模型兩種.連續(xù)模型采取連續(xù)收費(fèi)的原則，即以時(shí)間為連續(xù)變化的量連續(xù)地收取保費(fèi).離散模型采用離散收費(fèi)的原則，即以一定時(shí)間長(zhǎng)度為收費(fèi)的單位區(qū)間，在每一個(gè)單位區(qū)間內(nèi)只收取一次保費(fèi).討論得最多的離散時(shí)間模型是將單位時(shí)間收取的保費(fèi)視為常數(shù)，每一時(shí)期的理賠量視為獨(dú)立同分布的隨時(shí)機(jī)變量的模型[1].文獻(xiàn)[2]對(duì)此模型加以推廣把單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并將利率因素引入風(fēng)險(xiǎn)模型，以加強(qiáng)模型的現(xiàn)實(shí)描述能力.文獻(xiàn)[3，4]中作者討論了帶常利率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了描述破產(chǎn)嚴(yán)重性的破產(chǎn)量：破產(chǎn)前盈余分布，破產(chǎn)前最大盈余分布，破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布以及破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字，破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布等.文獻(xiàn)[5]研究了含有投資和通貨膨脹因素的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了很好的結(jié)果.本文在引入折現(xiàn)率的條件下研究離散時(shí)間模型，運(yùn)用遞推方法，得到了破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字以及它們的聯(lián)合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程.

2 模型描述

考慮保費(fèi)收入與理賠支出為隨機(jī)變量的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型.假定在所考慮的時(shí)間內(nèi)有固定的折現(xiàn)率δ，u為保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金，保費(fèi)在每一時(shí)期的期初收取，理賠在每一時(shí)期的期末支付，則在時(shí)刻n保險(xiǎn)公司的累積盈余折到初始時(shí)刻時(shí)的盈余為：

4 總 結(jié)

綜上所述，在離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中的利率為折現(xiàn)率這一特征使模型更有現(xiàn)實(shí)意義.從本文所討論的模型下得出的關(guān)于各個(gè)破產(chǎn)指標(biāo)所滿足的微積分方程可知，只要知道隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)，就可以利用遞推公式得到保險(xiǎn)公司的各個(gè)破產(chǎn)指標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孫立娟，顧嵐.離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2002，18（3）：293-299.

[4] 孫立娟，顧嵐，劉立新.離散時(shí)間模型下最大赤字問(wèn)題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，趙明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2002，4（19）：8-13.

[6] 劉家有，劉再明.保險(xiǎn)公司在固定利率下的離散型破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何曉霞.一類離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)雜志，2012，32（1）： 181-185.endprint

摘 要 在引入折現(xiàn)率的條件下研究離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用遞推方法和全概率公式，得到了破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字以及它們的聯(lián)合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程并得出結(jié)論.

關(guān)鍵詞 折現(xiàn)率；離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)概率；破產(chǎn)赤字

中圖分類號(hào) F222.3，O211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Largest Deficit Problems for the Discrete Time Risk

Model with Discount Rate

Guzalnur Abdukader1，WU Lijun2

（1.College of Mathematics and Physics， Xinjiang Agricultural University， Urumqi，Xinjiang 830052，China；

2.College of Mathematics and Systems Science， Xinjiang University， Urumqi，Xinjiang 830046，China）

Abstract We considered a discrete time risk model with discount rate. By using the recursive method and probability formulas we obtained， recursion formulas for distribution of the surplus just before ruin， the distribution of the surplus immediately after ruin， the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin. Moreover， as a corollary， the integral equations for the ruin probability were also derived.

Key words discounted rate； discrete time risk model； ruin probability； distribution of the deficit after ruin

1 引 言

通常，風(fēng)險(xiǎn)模型按照收取保費(fèi)的方式的不同可分為連續(xù)模型和離散模型兩種.連續(xù)模型采取連續(xù)收費(fèi)的原則，即以時(shí)間為連續(xù)變化的量連續(xù)地收取保費(fèi).離散模型采用離散收費(fèi)的原則，即以一定時(shí)間長(zhǎng)度為收費(fèi)的單位區(qū)間，在每一個(gè)單位區(qū)間內(nèi)只收取一次保費(fèi).討論得最多的離散時(shí)間模型是將單位時(shí)間收取的保費(fèi)視為常數(shù)，每一時(shí)期的理賠量視為獨(dú)立同分布的隨時(shí)機(jī)變量的模型[1].文獻(xiàn)[2]對(duì)此模型加以推廣把單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，并將利率因素引入風(fēng)險(xiǎn)模型，以加強(qiáng)模型的現(xiàn)實(shí)描述能力.文獻(xiàn)[3，4]中作者討論了帶常利率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了描述破產(chǎn)嚴(yán)重性的破產(chǎn)量：破產(chǎn)前盈余分布，破產(chǎn)前最大盈余分布，破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布以及破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字，破產(chǎn)前最大盈余的聯(lián)合分布等.文獻(xiàn)[5]研究了含有投資和通貨膨脹因素的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，并得到了很好的結(jié)果.本文在引入折現(xiàn)率的條件下研究離散時(shí)間模型，運(yùn)用遞推方法，得到了破產(chǎn)前盈余，破產(chǎn)后赤字以及它們的聯(lián)合分布所滿足的微分積分方程，作為推論得到了破產(chǎn)概率所滿足的微積分方程.

2 模型描述

考慮保費(fèi)收入與理賠支出為隨機(jī)變量的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型.假定在所考慮的時(shí)間內(nèi)有固定的折現(xiàn)率δ，u為保險(xiǎn)公司初始準(zhǔn)備金，保費(fèi)在每一時(shí)期的期初收取，理賠在每一時(shí)期的期末支付，則在時(shí)刻n保險(xiǎn)公司的累積盈余折到初始時(shí)刻時(shí)的盈余為：

4 總 結(jié)

綜上所述，在離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中的利率為折現(xiàn)率這一特征使模型更有現(xiàn)實(shí)意義.從本文所討論的模型下得出的關(guān)于各個(gè)破產(chǎn)指標(biāo)所滿足的微積分方程可知，只要知道隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)，就可以利用遞推公式得到保險(xiǎn)公司的各個(gè)破產(chǎn)指標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1] GERBER， U HANS， SHIU， S ELISA. The joint distribution of the time of ruin ，the surplus immediately before rain and the defect at ruin [J].Insurance： Mathematics and Economics， 1997， 21（2）： 129-137.

[2] Hailiang YANG. Nonexponential bounds for ruin probability with interest effect included [J].Scandinavian Actuarial Journal， 1999， 1（3）：66-79.

[3] 孫立娟，顧嵐.離散時(shí)間保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2002，18（3）：293-299.

[4] 孫立娟，顧嵐，劉立新.離散時(shí)間模型下最大赤字問(wèn)題[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001，4（18）：1-9.

[5] 高明美，趙明清. Recursive formulas of a discrete time risk model [J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2002，4（19）：8-13.

[6] 劉家有，劉再明.保險(xiǎn)公司在固定利率下的離散型破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2004，24（1）： 101-104.

[7] 何曉霞.一類離散時(shí)間比例再保險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)雜志，2012，32（1）： 181-185.endprint