基于群體早熟程度和非線性周期振蕩策略的改進(jìn)粒子群算法

朱喜華，李穎暉，李寧，范炳奎

（1. 空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安 710038；2. 中國(guó)人民解放軍95291部隊(duì)裝備部，湖南 衡陽(yáng) 421002）

1 引言

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是進(jìn)化算法的一個(gè)重要分支，最早由美國(guó)學(xué)者 Kennedy和 Eberhart于1995年提出，是一種基于種群迭代搜索的自適應(yīng)優(yōu)化算法，它通過(guò)種群粒子中個(gè)體的交互作用來(lái)尋找復(fù)雜問(wèn)題空間中的優(yōu)化解。與遺傳算法等其他進(jìn)化算法相比，粒子群優(yōu)化算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少及收斂速度快、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，具有較低的空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度，并被證明能夠以較小的計(jì)算代價(jià)獲得良好的優(yōu)化解[1]，因此得到了廣泛的研究和應(yīng)用。隨著通信技術(shù)的發(fā)展，通信領(lǐng)域也出現(xiàn)了各種優(yōu)化問(wèn)題，如通信星座優(yōu)化設(shè)計(jì)[2]、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的感知器分布優(yōu)化[3]及生存周期優(yōu)化[4]等，要解決這些問(wèn)題就需要采用先進(jìn)的優(yōu)化算法。因此，研究粒子群算法及其改進(jìn)策略，并將其應(yīng)用于通信領(lǐng)域的優(yōu)化計(jì)算具有十分重要的理論及工程實(shí)際意義。

基本PSO算法具有快速收斂的特性，但存在尋優(yōu)效率較低、容易停滯于局部最優(yōu)值以及早熟收斂等問(wèn)題[5]。早熟收斂是由于粒子群體的多樣性在迭代搜索過(guò)程中快速丟失造成的，對(duì)此，很多學(xué)者提出了改進(jìn)措施，主要采用以下2種策略。1)對(duì)粒子的速度和位置采用不同的參數(shù)策略來(lái)更新，如采用線性變化的動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重。該策略的主要特點(diǎn)是忠實(shí)于 PSO的原始思想，速度和位置的更新由粒子自身經(jīng)驗(yàn)和群體經(jīng)驗(yàn)作指導(dǎo)[6]。2)引入變異算子[7]。變異操作能夠提高粒子群算法的開(kāi)拓能力，并有效克服早熟收斂，但是選擇對(duì)收斂性能有顯著提升的變異算子十分困難。此外，如何變異、何時(shí)變異、變異概率以及變異位置等問(wèn)題在實(shí)際操作過(guò)程中都難以確定。

本文在參考粒子群算法各種改進(jìn)策略的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于群體早熟收斂程度和非線性周期振蕩參數(shù)策略的自適應(yīng)混沌粒子群優(yōu)化算法。該算法利用混沌的遍歷性特點(diǎn)初始化粒子的速度和位置，使搜索空間遍布整個(gè)優(yōu)化變量的取值空間；根據(jù)粒子群的早熟收斂程度和粒子的適應(yīng)度值對(duì)不同粒子的慣性權(quán)重采用不同的自適應(yīng)更新策略；在算法的整個(gè)搜索迭代過(guò)程中，粒子的個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子都周期性地非線性變化，模擬鳥(niǎo)群在覓食過(guò)程中不斷分散和重組的現(xiàn)象。基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的算法能有效平衡粒子群的局部搜索能力和全局搜索能力，避免群體早熟收斂并提高最優(yōu)解質(zhì)量，且具有良好的穩(wěn)定性。

2 粒子群算法的基本原理

PSO算法的思想來(lái)源于鳥(niǎo)類遷徙覓食的模型，其關(guān)鍵在于每個(gè)粒子在解空間內(nèi)根據(jù)自己的記憶和從其他粒子獲取的社會(huì)信息更新自己的位置，通過(guò)個(gè)體間的協(xié)作與競(jìng)爭(zhēng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜空間中最優(yōu)解的搜索，其數(shù)學(xué)描述為：每個(gè)粒子是D維搜索空間中的一個(gè)點(diǎn)，設(shè)粒子規(guī)模為N，第i個(gè)粒子的位置矢量可以表示為xi=(xi1,xi2,…,xiD)，速度矢量為vi=(vi1,vi2,…,viD)；pi=(pi1,pi2,…,piD)為第 i個(gè)粒子搜索到的最優(yōu)位置，稱為個(gè)體極值，表示粒子的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)；pg=(pg1,pg2,…,pgD)為整個(gè)粒子群體搜索到的最優(yōu)位置，稱為全局極值，表示粒子的群體經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)于第k+1次迭代，每個(gè)粒子按照式(1)更新自己的速度和位置。

其中，i=1,2,…,N，N為粒子規(guī)模；d=1,2,…,D，D為解空間的維數(shù)，即自變量的個(gè)數(shù)；ω為慣性權(quán)重；c1為粒子的個(gè)體學(xué)習(xí)因子，c2為社會(huì)學(xué)習(xí)因子，分別用于調(diào)節(jié)粒子向個(gè)體極值和全局極值方向飛行的最大步長(zhǎng)；r1、r2為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

3 粒子群算法的時(shí)變參數(shù)策略

慣性權(quán)重ω描述了粒子上一代速度對(duì)當(dāng)前代速度的影響，控制其取值大小可調(diào)節(jié)PSO算法的全局與局部尋優(yōu)能力。慣性權(quán)重值較大時(shí)，全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，局部尋優(yōu)能力弱；反之，則局部尋優(yōu)能力增強(qiáng)，而全局尋優(yōu)能力減弱[8,9]。為此，學(xué)者對(duì)起初的固定權(quán)重策略提出了各種改進(jìn)方案，典型的有線性遞減策略、非線性遞減策略和隨機(jī)策略等。

線性遞減策略的原理是：在不同的搜索階段采用不同的慣性權(quán)重，在搜索初期采用較大的慣性權(quán)重有利于搜索整個(gè)空間，不易陷入局部最優(yōu)值；在后期當(dāng)算法收斂到較優(yōu)解時(shí)，則傾向于進(jìn)行局部挖掘，使粒子迅速收斂于全局最優(yōu)值，其數(shù)學(xué)描述為[10]

其中，iω、fω分別為慣性權(quán)重的初值和終值，t為當(dāng)前迭代步數(shù)，T為最大迭代步數(shù)。

Eberhart和Shi經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)線性遞減策略對(duì)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的效果并不理想，進(jìn)而提出了一種慣性權(quán)重隨機(jī)變化的策略[10]

其中，rand為[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

經(jīng)驗(yàn)證，采用隨機(jī)策略時(shí)早期階段的收斂速度明顯加快，但是，在多個(gè)測(cè)試函數(shù)中所表現(xiàn)出的收斂性能卻并不理想。為此，有學(xué)者進(jìn)一步提出了非線性遞減策略，如式(4)所示[5]。

針對(duì)慣性權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)研究的同時(shí)，學(xué)者Ratnaweera對(duì)學(xué)習(xí)因子進(jìn)行了改進(jìn)，指出了學(xué)習(xí)因子為常數(shù)的缺陷，并提出了類似于慣性權(quán)重線性變化的策略，如式(5)所示[10]。

其中，c1i和 c1f是個(gè)體學(xué)習(xí)因子的初值和終值，c2i和c2f是社會(huì)學(xué)習(xí)因子的初值和終值。

4 基于群體早熟程度和非線性周期振蕩策略的混沌改進(jìn)方法

粒子群優(yōu)化算法雖然具有算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少及收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，但容易陷入到局部極值點(diǎn)，導(dǎo)致得不到全局最優(yōu)解，原因有兩方面：一是待優(yōu)化函數(shù)的性質(zhì)，二是在運(yùn)行過(guò)程中由于算法的參數(shù)設(shè)計(jì)、粒子規(guī)模選擇不恰當(dāng)?shù)仍?，?dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中粒子的多樣性迅速消失，造成算法“早熟”。本文主要針對(duì)算法的參數(shù)設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)，同時(shí)利用混沌特性初始化粒子群的參數(shù)，以盡可能提高算法的性能。

4.1 粒子參數(shù)的混沌初始化

混沌具有遍歷性、隨機(jī)性和規(guī)律性等特點(diǎn)，能在一定范圍內(nèi)按其自身規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)，使得混沌優(yōu)化理論成為一個(gè)嶄新的課題，得到了學(xué)者們的廣泛重視和大量研究[11,12]?；煦鐑?yōu)化是一種新穎的優(yōu)化方法，它利用混沌系統(tǒng)特有的遍歷性特點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化搜索，不要求目標(biāo)函數(shù)具有連續(xù)和可微的性質(zhì)，其基本思想是首先產(chǎn)生一組與優(yōu)化變量相同數(shù)目的混沌變量，用類似載波的方式將混沌引入優(yōu)化變量使其呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，同時(shí)把混沌運(yùn)動(dòng)的遍歷范圍放大到優(yōu)化變量的取值范圍，然后直接利用混沌變量進(jìn)行搜索。

一般應(yīng)用Logistic映射（邏輯映射）來(lái)產(chǎn)生混沌變量，其映射形式如下

其中，μ∈[0,4]為控制變量，zk∈[0,1]，k=0,1,2,… 。當(dāng)μ=4時(shí)，式(6)完全處于混沌狀態(tài)，此時(shí)，軌道布滿區(qū)間[0,1]，即混沌軌道在區(qū)間[0,1]內(nèi)遍歷。由任意初值z(mì)0∈[0,1]可迭代出一個(gè)確定的混沌時(shí)間序列z1,z2,z3,…。

4.2 基于群體早熟程度的自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整

在PSO算法中，搜索陷入局部極值往往表現(xiàn)為微粒幾乎停止不動(dòng)。當(dāng)群體的最優(yōu)適應(yīng)值長(zhǎng)時(shí)間未發(fā)生變化（停滯）時(shí)，應(yīng)根據(jù)群體早熟收斂程度自適應(yīng)地調(diào)整慣性權(quán)重。如果對(duì)整個(gè)群體采用相同的自適應(yīng)操作，則當(dāng)群體已收斂到全局最優(yōu)附近時(shí)，優(yōu)秀粒子被破壞的概率會(huì)隨著其慣性權(quán)重的增加而增加，從而使PSO算法的性能下降。為了充分發(fā)揮自適應(yīng)操作的效能，本文提出了一種根據(jù)群體早熟程度和粒子自身適應(yīng)度值自適應(yīng)調(diào)整慣性權(quán)重的策略，針對(duì)不同的粒子分別采用不同的自適應(yīng)操作，使得群體始終保持慣性權(quán)重的多樣性。

其中，fg為全局最優(yōu)粒子的適應(yīng)度值，fap為適應(yīng)度值優(yōu)于當(dāng)前所有粒子適應(yīng)度平均值 fag的粒子的適應(yīng)度平均值。Δ可用來(lái)評(píng)價(jià)粒子群的早熟收斂程度，Δ越小，粒子群越趨于早熟收斂。對(duì)于適應(yīng)度值為fi的粒子，其自適應(yīng)調(diào)整策略如下所示。

1)fi優(yōu)于fap

此時(shí)粒子比較接近全局最優(yōu)值，是群體中的較優(yōu)粒子，其慣性權(quán)重應(yīng)取較小值，避免“逃離”全局最優(yōu)值，粒子的慣性權(quán)重按式(8)自適應(yīng)調(diào)整。

其中，ωmin為ω的最小值，sω為ω取值范圍的中間值。粒子適應(yīng)值越佳，其慣性權(quán)重相應(yīng)越小，以加強(qiáng)局部尋優(yōu)。

2)fi劣于fap但優(yōu)于fag

此時(shí)粒子是群體中的一般粒子，具有較好的全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力，其慣性權(quán)重按式(9)所示的非線性遞減策略自適應(yīng)調(diào)整。

3)fi劣于fag

此時(shí)粒子是群體中較差的粒子，應(yīng)賦予較大的慣性權(quán)重，其自適應(yīng)調(diào)整策略為

其中，參數(shù)k1＞1用于控制ω的上限，k1越大，ω的上限越大；k2＞0用于控制ω的調(diào)節(jié)能力。

4.3 非線性周期振蕩參數(shù)策略

受社會(huì)群體中常發(fā)生的分散和重組交替現(xiàn)象（如鳥(niǎo)類覓食過(guò)程）的啟發(fā)[10]，結(jié)合群體早熟收斂程度的概念，本文提出了一種采用非線性振蕩參數(shù)策略的粒子群優(yōu)化算法，使全局搜索和局部挖掘在優(yōu)化過(guò)程中交替，以提高算法的全局尋優(yōu)能力。

在搜索初期，采用較大的個(gè)體學(xué)習(xí)因子和較小的社會(huì)學(xué)習(xí)因子，有利于群體搜索整個(gè)空間；在搜索后期，較小的個(gè)體學(xué)習(xí)因子和較大的社會(huì)學(xué)習(xí)因子則有利于群體收斂于全局最優(yōu)。因此，粒子的個(gè)體學(xué)習(xí)因子c1采用非線性遞減策略，而社會(huì)學(xué)習(xí)因子c2采用非線性遞增策略，其數(shù)學(xué)描述如式(11)所示。

其中，c1max、c2max分別為粒子個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子的最大值；c1min、c2min分別為粒子個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子的最小值；L為振蕩周期；mod(·)表示取模運(yùn)算。學(xué)習(xí)因子c1、c2的變化趨勢(shì)如圖1所示。

圖1 粒子學(xué)習(xí)因子周期振蕩策略

4.4 算法收斂性和復(fù)雜度分析

對(duì)于式(1)所示的基本粒子群算法，令φ1=c1r1，φ2=c2r2，則式(1)中的兩式可合并為

下面根據(jù)粒子群慣性權(quán)重的調(diào)整策略分3種情況對(duì)上述條件進(jìn)行分析。

1)fi優(yōu)于fap

綜合式(8)、式(11)和式(19)，可得

其中，a1=c1max+c2min，a2=c2max-c2min-c1max+c1min。不妨作最保守的估計(jì)，把不等式(20)的兩邊看作2個(gè)函數(shù)，要滿足式(20)，只需滿足式(20)左邊函數(shù)的最小值不小于右邊函數(shù)的最大值（以下簡(jiǎn)稱“最小—最大”原理），經(jīng)化簡(jiǎn)可得

2)fi劣于fap但優(yōu)于fag

綜合式(9)、式(11)和式(19)，可得

根據(jù)“最小—最大”原理，可將式(22)化簡(jiǎn)為

3)fi劣于fag

綜合式(10)、式(11)和式(19)，可得

由k1＞1，k2＞0可知，不等式(24)左邊函數(shù)的值域?yàn)?0.5,1.5)，因此，根據(jù)“最小—最大”原理，滿足不等式(24)的條件為

綜上可得，算法收斂時(shí)參數(shù)需滿足的條件為

綜上可知，只需選取合適的算法參數(shù)，使其滿足式(26)，即可保證本文算法的收斂性。

下面分析算法的復(fù)雜度。設(shè)粒子群的規(guī)模為N，每一個(gè)粒子的維數(shù)為D，最大迭代步數(shù)為T(mén)，則混沌初始化粒子群速度和位置的計(jì)算復(fù)雜度為O(ND)。在每一次迭代運(yùn)算中，找出適應(yīng)度值小于所有粒子適應(yīng)度均值的粒子的計(jì)算復(fù)雜度為O(N)，基于群體早熟程度的慣性權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整的計(jì)算復(fù)雜度為O(N)，采用非線性振蕩策略調(diào)整粒子學(xué)習(xí)因子的計(jì)算復(fù)雜度為O(1)，更新粒子速度和位置的計(jì)算復(fù)雜度為O(ND)。因此，算法總的計(jì)算復(fù)雜度為O(ND)+O(T(N+N+1+ND))=O(TND)。

5 算法步驟及仿真驗(yàn)證

5.1 算法的實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)上文中的算法原理及改進(jìn)策略，本文提出的基于群體早熟收斂程度和周期振蕩參數(shù)策略的混沌自適應(yīng)粒子群算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

Step1 確定粒子群規(guī)模N、最大迭代次數(shù)T和振蕩周期L等參數(shù)，并根據(jù)4.1節(jié)中的方法對(duì)粒子的位置和速度進(jìn)行混沌初始化。

Step2 初始化粒子群的局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。

Step3 計(jì)算各粒子的適應(yīng)度值，并根據(jù)各粒子的早熟收斂程度選擇相應(yīng)的策略調(diào)整其慣性權(quán)重。

Step4 采用周期振蕩參數(shù)策略更新粒子的個(gè)體學(xué)習(xí)因子和社會(huì)學(xué)習(xí)因子。

Step5 更新粒子群的局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。

Step6 若滿足停止條件，停止搜索，并輸出全局最優(yōu)值及其適應(yīng)度值；否則轉(zhuǎn)向Step3。

5.2 仿真驗(yàn)證

為了對(duì)本文所提算法的性能進(jìn)行分析和驗(yàn)證，選取4個(gè)典型Benchmark優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行分析。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，粒子種群采用非對(duì)稱初始化。此外，對(duì)粒子的位置和速度加以限制，防止粒子遠(yuǎn)離搜索空間。各優(yōu)化函數(shù)的初始化范圍和粒子取值區(qū)間如表1所示。

為了驗(yàn)證本文所提（簡(jiǎn)稱PDNPO-PSO）算法的性能，將其與參數(shù)線性調(diào)整PSO（L-PSO，慣性權(quán)重、學(xué)習(xí)因子均線性變化）算法、參數(shù)非線性調(diào)整PSO（N-PSO，慣性權(quán)重、學(xué)習(xí)因子均非線性變化）算法、混沌粒子群（C-PSO）算法和基于群體早熟程度的自適應(yīng) PSO（PD-PSO，學(xué)習(xí)因子非線性變化）算法進(jìn)行對(duì)比分析?？紤]到算法每次運(yùn)行的隨機(jī)性，對(duì)于每個(gè)測(cè)試函數(shù)所采用的每種優(yōu)化算法都重復(fù)測(cè)試 20次，取其均值作為最終的優(yōu)化結(jié)果，參數(shù)的振蕩周期取為L(zhǎng)=300。對(duì)各基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2中的縱坐標(biāo)為對(duì)最優(yōu)粒子適應(yīng)度值求以10為底的對(duì)數(shù)后的值。通過(guò)分析可知，對(duì)于4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，以上5種粒子群算法都能在有限的迭代步數(shù)內(nèi)迅速向全局最優(yōu)解靠攏。其中，參數(shù)線性變化策略（L-PSO）相比而言收斂速度最慢，在設(shè)置迭代步數(shù)范圍內(nèi)還沒(méi)收斂到最優(yōu)值，參數(shù)非線性變化策略（N-PSO）次之；混沌粒子群算法（C-PSO）的尋優(yōu)速度和效果要優(yōu)于參數(shù)線性變化和非線性變化策略的粒子群算法；基于粒子群體早熟程度的自適應(yīng) PSO（PD-PSO）算法全局尋優(yōu)效果較好，能以較快的速度收斂到全局最優(yōu)值，且尋優(yōu)結(jié)果比較接近實(shí)際最優(yōu)值；本文所提（PDNPO-PSO）算法則綜合了其他各算法的優(yōu)點(diǎn)，尋優(yōu)效果最佳。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)及其參數(shù)設(shè)置

圖2 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)收斂曲線

為了進(jìn)一步比較以上各算法的性能，對(duì)于每一個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，對(duì)每種算法搜索到的最優(yōu)值求平均值，作為最終的全局最優(yōu)值。此外，為了分析比較各算法的穩(wěn)定性，分別對(duì)重復(fù)測(cè)試中每次得到的最優(yōu)粒子位置的各維求標(biāo)準(zhǔn)差，然后對(duì)所有維數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差求和，以此作為該算法穩(wěn)定性的指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差越小，算法越穩(wěn)定。各算法的穩(wěn)定性能指標(biāo)如表2所示。

由表2可知，相比其他幾種PSO算法，本文提出的基于群體早熟程度和周期震蕩參數(shù)策略的自適應(yīng)混沌粒子群算法具有優(yōu)越的全局尋優(yōu)能力，對(duì)4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)都能有效地找到最優(yōu)值，且算法性能較穩(wěn)定。

表2 各算法穩(wěn)定性比較

6 結(jié)束語(yǔ)

本文在參考現(xiàn)有粒子群算法參數(shù)時(shí)變策略的基礎(chǔ)上，結(jié)合混沌的遍歷特性，提出了一種新的粒子群優(yōu)化算法——基于群體早熟收斂程度和非線性周期振蕩參數(shù)策略的自適應(yīng)混沌粒子群優(yōu)化算法。該算法首先利用混沌特性初始化粒子的速度和位置信息；慣性權(quán)重根據(jù)粒子種群的早熟收斂程度和不同適應(yīng)度值的粒子自適應(yīng)地采用不同的調(diào)整策略；對(duì)于學(xué)習(xí)因子的調(diào)整，則采用周期振蕩策略，在每一振蕩周期內(nèi)學(xué)習(xí)因子非線性調(diào)整，模擬鳥(niǎo)類覓食過(guò)程中交替出現(xiàn)的分散和重組現(xiàn)象。經(jīng)4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)仿真驗(yàn)證表明，本文提出的算法不僅收斂速度快、搜索到的全局最優(yōu)值質(zhì)量高，而且算法具有良好的穩(wěn)定性，在通信領(lǐng)域的優(yōu)化問(wèn)題中具有良好的應(yīng)用前景。

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