海表Ek man流不穩(wěn)定性致新型次級環(huán)流

李燕，喬方利，戴德君，馬洪余

（1.中國海洋大學 物理海洋實驗室，山東 青島266003；2.國家海洋局 第一海洋研究所 海洋環(huán)境科學和數(shù)值模擬國家海洋局重點實驗室，山東 青島266061）

1 引言

在流體力學中，次級環(huán)流又稱為二次流。二次流是指在主流動區(qū)域內(nèi)所出現(xiàn)的一種與主流性質(zhì)不同的從屬流動，產(chǎn)生原因復雜，表現(xiàn)形式也各不相同［1］。次級環(huán)流是流體力學領域的重要研究方向，本文主要針對海洋上層發(fā)生的次級環(huán)流進行介紹。海洋上層次級環(huán)流是一種重要的海洋動力學現(xiàn)象，與海洋生態(tài)、海洋災害、海洋遙感、混合過程等都有著密切聯(lián)系，我們可以從很多現(xiàn)象中找到其存在的旁證。海洋中偶然出現(xiàn)的表層漂浮物可以看作次級環(huán)流的示蹤物，讓我們清楚地看到它們的存在。圖1為2008年青島滸苔暴發(fā)期間所攝照片，照片中可以明顯的看到滸苔呈條帶狀分布，滸苔聚集的地方應該是次級環(huán)流的輻聚區(qū)。此外，2010年美國墨西哥灣原油泄漏時衛(wèi)星所攝圖片（見圖2）中同樣可以清楚地看到這種條形油膜的存在。除了在海洋中，大氣中類似的環(huán)流形式也是普遍存在的，即我們所熟知的云街現(xiàn)象，它是一種積云或者屬于積云之類的云在天空中平行排列的情形。

圖1 海面漂浮滸苔的帶狀分布結(jié)構(gòu)

圖2 墨西哥灣原油泄漏事件溢油油膜分布：銹跡斑斑的漂帶

在大氣科學中，20世紀60—70年代，為解決行星邊界層中次級環(huán)流的問題，Lilly［3－4］以及 Brown［5］成功的解釋了云街現(xiàn)象，豐富了大氣行星邊界層理論。他們認為云街現(xiàn)象是由于大氣邊界層流動的動力不穩(wěn)定性造成的，并利用流體運動不穩(wěn)定理論方法分析擾動增長率，從而確定最易成長的不穩(wěn)定狀態(tài)，由此所得出的次級環(huán)流在尺度上與觀測結(jié)果有很好的一致性。不同于Lilly的是，Brown在1970年的工作中考慮了溫度層結(jié)的存在，并指出經(jīng)常發(fā)生在大氣和海洋邊界層中的渦旋的特征深度約是Ek man特征長度的5～7倍，相關的波長約為Ek man特征長度的4π倍。

海洋中，次級環(huán)流的研究大部分集中于海洋的邊界層區(qū)域和具有特殊流場結(jié)構(gòu)的區(qū)域。Qiao利用不穩(wěn)定理論研究了切變波的形成機制［6］，袁業(yè)立等［7］利用攝動分析方法，基于觀測的流速分布特征提出了一種黑潮多核結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定形成機理，解釋了東海黑潮的多核結(jié)構(gòu)現(xiàn)象，與觀測有著良好的一致性。對于海底或湖底的邊界層，很多研究認為次級環(huán)流的產(chǎn)生和維持與底形的存在有很大的關系。1997年董昌明在其博士論文中運用穩(wěn)定性分析方法獲得了主流場的最不穩(wěn)定狀態(tài)，得出由潮流誘生的次級環(huán)流與潮流沙脊的成因有內(nèi)在的因果關系［8］，避免了前人解釋沙脊成因時必須首先假定底形的先決條件［9－10］，豐富了海底沙脊形成機理的認識。對于海表邊界層的次級環(huán)流，我們比較熟知的是Langmuir環(huán)流，也是目前研究者相對比較關注和研究較多的。1927年，當Ivring Langmuir乘船橫越大西洋從美國去英國的途中，發(fā)現(xiàn)海面上存在規(guī)則間隔的長而窄的海草及海面漂浮物所構(gòu)成的漂浮帶，這些漂浮帶以平行于海風的方向排列并且隨著風向的轉(zhuǎn)變而重新排列。他意識到一個局地的輻聚是產(chǎn)生漂浮帶的一個必要條件，而從質(zhì)量守恒推斷，會在漂浮帶以下存在一個下降運動，并一定會存在一個補償?shù)纳仙\動。關于這類環(huán)流存在的想法被Langmuir在George，NY湖上進行的簡單但精巧的實驗得到驗證。此后眾多學者對這一現(xiàn)象進行了研究［11－17］。就目前的觀測和理論研究結(jié)果看，Langmuir環(huán)流的尺度主要集中于幾米到幾百米的量級［18－21］。

對于海洋表層的次級環(huán)流，除去Langmuir環(huán)流之外，Qiao等［2］在2008年滸苔暴發(fā)期間觀測到漂浮滸苔在海面基本呈條帶狀分布，條帶的長度從幾百米到幾十千米不等，條帶之間的距離大多集中在1～1.5 k m。這樣的條帶之間距離遠大于之前所報道的由Langmuir環(huán)流所造成幾米到幾十米的條帶間距。Thorpe［22］認為這是由小尺度的Langmuir環(huán)流條帶逐步合并形成的，并提出一個理想模型模擬其合并過程。若單從滸苔條帶狀的分布結(jié)構(gòu)上來看，其水平尺度與董昌明、Lilly等學者利用線性穩(wěn)定性方法所得的次級環(huán)流尺度類似。喬方利等［23］曾利用MASNUM業(yè)務化數(shù)值模式的預報結(jié)果在南黃海西部 （35.0°～37.0°N，119.2°～122.0°E）區(qū)域?qū)︼L向與表層海流流向之間的關系進行了統(tǒng)計，認為即便是在近海區(qū)域，表層流場與風之間也與經(jīng)典的Ek man漂流理論符合較好。本文認為滸苔條帶狀結(jié)構(gòu)分布的成因應該與Ek man流的不穩(wěn)定性所造成的次級環(huán)流直接有關。下面將利用穩(wěn)定性分析的方法對海洋表層次級環(huán)流的生成機制及其尺度特征進行分析。

2 海洋表層次級環(huán)流誘生理論

2.1 流體運動基本控制方程

海水運動基本控制方程包含連續(xù)性方程和動量方程如下：

式中，u、v、w分別為速度矢量在x，y，z方向上的速度分量；f為科氏參數(shù)；p和ρ分別為流體的壓力和密度；g為重力加速度；AH為水平湍黏性系數(shù)，AV為垂向湍黏性系數(shù)，這里均取為常數(shù)。

由于我們關心發(fā)生在海表面的現(xiàn)象，故上下邊界條件取為如下形式，假定下邊界流速為零，海表主要受風應力影響：

式中，ρ0為海水密度，τx和τy分別為x和y方向的風應力。

為了得到擾動控制方程，我們將u，v，w，p寫成系統(tǒng)平均量和脈動量兩部分之和，帶“—”的為平均量，帶“＊”的為脈動量，則：

將式（3）代入式（1）可得擾動量控制方程為：

同時得到擾動量控制方程邊界條件為：

由此便得到了由式（4）和式（5）所組成的擾動控制方程組，這也是以下分析的基礎方程。

2.2 主流場結(jié)構(gòu)

本文關注海洋上層次級環(huán)流的生成機制，故主要針對海表邊界層的流場結(jié)構(gòu)進行分析，取風生Ek man漂流為主流場。同時，考慮到次級環(huán)流的尺度不大，因此我們?nèi)平面，即不考慮科氏力隨緯度的變化，且假定水平與垂直湍黏性系數(shù)AH、AV為常量。我們考慮穩(wěn)定狀態(tài)下的流場結(jié)構(gòu)，故略去時間導數(shù)項。按照上述的假定，海水運動方程可簡化為如下方程：

邊界條件如下：

式中τx和τy分別為x和y方向的風應力。從而可得到主流場流速剖面為：

由于只關心主流場的垂向結(jié)構(gòu)，因此我們并不關心u0和v0的具體取值。在不影響結(jié)果分析的前提下，假設v0＝0，即主流場結(jié)構(gòu)為

以上流速剖面是在理想假設條件下取得的，而在實際中，流場結(jié)構(gòu)將會受到很多因素的影響。參考董昌明［8］的做法，引入一個調(diào)整因子r，將主流場流速結(jié)構(gòu)修正為：

當r＝1時，即是式（9）所示的經(jīng)典海表Ek man流的情況。在現(xiàn)實海洋中，實測流速的垂直變化要比Ekman流緩和一些［8］，故我們在隨后的數(shù)值試驗中將r的取值范圍確定為0＜r≤1。

為了更清楚的看到本文中所研究的現(xiàn)象特征，在圖3中給出了調(diào)整因子r在不同取值情況下式（10）所表示的主流場結(jié)構(gòu)圖，其中均以北半球為例，r取值分別為1.0，0.8，0.6，0.4。從圖3中可以看出調(diào)整因子r代表了主流的衰減速率，r的值越大，則主流衰減越快，對應的流速剪切也越大；反之，r值越小，則主流衰減越慢，對應的流速剪切也越小。

2.3 次級環(huán)流

類似于Langmuir環(huán)流，次級環(huán)流流場與主流場之間往往存在一個偏角［7，15］。由于我們的著眼點是次級流動，為討論方便，將坐標軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，使旋轉(zhuǎn)后的新坐標軸x′與次級環(huán)流的主軸走向一致，這樣次級環(huán)流在新坐標系中仍為二維流動。同時，分別以D，u0，D／u0分別作為空間、速度和時間尺度，無量綱化上述變量可得：

u′，v′，w′，p′，u，v均為新坐標下的無量綱物理量，其中帶“′”號的為擾動量，沒有的為平均量。同時，由于在新坐標系下次級環(huán)流為二維流動，各擾動量在x′方向均勻，故沿x′方向上的導數(shù)為零，即＝0。由于＝0，故在y、z平面內(nèi)二維無輻散，為研究問題的方便，可引入流函數(shù)ψ′：

因此，新坐標系下的無量綱方程為：

式中，Re＝u0D／AV，β＝AH／AV。

按照不穩(wěn)定性分析的基本思路，需要分析滿足方程（13）和（14）的解隨時間變化的情況。如果當t→∞時，所有可能的解都趨近于零，則原來的層流就是穩(wěn)定的，而只要有一個解不滿足這一條件，則原來的層流就是不穩(wěn)定的。由于方程（13）和（14）的系數(shù)僅與z有關，所以擾動形式可設為

式中為復振幅，a為波數(shù)。由于我們的著眼點是看擾動隨時間的演化，即時間模式問題，故將a取為實數(shù)。ω為復數(shù)，ω＝ωr＋iωi。將式（15）代入式（13）和（14）可得特征方程為：

圖3 不同調(diào)整因子（r＝0.4，0.6，0.8，1.0）下的主流場結(jié)構(gòu)圖

邊界條件轉(zhuǎn)化為：

由于方程（16）及邊界條件（17）都是齊次的，要求非零解（零解相當于無擾動），其參數(shù)Re、a、θ、ω、β就必須滿足一定的函數(shù)關系

式（18）稱為特征關系。即如果給定了Re、a、θ、β的數(shù)值，就可求得復特征值ω。當ωi＞0時，擾動的模將增長，原來的層流就是不穩(wěn)定的；當ωi＜0時，擾動將衰減，層流是穩(wěn)定的；若ωi＝0，擾動的模不變，稱為中性解。求解上述特征值問題的解析解是十分困難的，因此我們采用數(shù)值解法。方程中用到的差分格式如式（19）所示，其中k為計算值的網(wǎng)格點標號，Δz′為網(wǎng)格間距。數(shù)值計算時，網(wǎng)格設置自變量在z′的離散的整網(wǎng)格點上在半網(wǎng)格點上。

3 數(shù)值模擬結(jié)果和分析

本節(jié)將針對水平與垂直湍黏性系數(shù)相等與不等這兩種情況對數(shù)值模擬結(jié)果進行分析。

3.1 水平與垂直湍黏性系數(shù)相等的情況（β＝1）

分析分別針對表1中不同的雷諾數(shù)Re、調(diào)整因子r、波數(shù)和偏角θ。

表1

同時針對南半球和北半球，本文進行了一系列的數(shù)值實驗，結(jié)果如下。

先以北半球為例，圖4給出了在不同的調(diào)整因子（r＝0.2，0.4，0.6，1.0）情況下復特征值ω的虛部部分ωi的分布情況。由前文可知，當ωi＞0時，擾動的模將增長，原來的層流不穩(wěn)定；當ωi＜0時，擾動將衰減，層流是穩(wěn)定的；若ωi＝0，擾動的模不變，稱中性情況。從圖4中可以看出，對于不同參數(shù)下的特征值分布各具特點，但復特征值的虛部最大值基本集中在0.006以上，這個數(shù)值表征了擾動增長快慢的尺度，也就是說擾動增長的時間T＝1／ωi＜1／0.006≈167。根據(jù)前文無量綱化的標準T＝D／u0，假設D＝40 m，u0＝1 m／s得出有量綱的時間約為6 660 s，即時間為小時量級。此外，圖4中以r＝0.6分圖為例進行說明，隨著雷諾數(shù)Re的增加，不穩(wěn)定的狀態(tài)范圍逐漸增大，其中最不穩(wěn)定的狀態(tài)的波數(shù)逐漸增大，偏角也逐漸增大，總體范圍集中在5°～35°之間。對于其他調(diào)整因子的情況也呈現(xiàn)出基本類似的規(guī)律。

除此之外，我們考慮一下計算所得次級環(huán)流的空間尺度。從圖4中可以看出對于相同雷諾數(shù)的情況下，r越小，最不穩(wěn)定的波數(shù)越小，波長越長。而對于相同調(diào)整因子r的情況下，雷諾數(shù)越小，最不穩(wěn)定的波數(shù)越小，波長越長。同時最不穩(wěn)定的波數(shù)范圍集中在0.2～1.5之間，由此可以計算得到波長為λ＝2π／a·D（其中a為波數(shù)）?？紤]在現(xiàn)實海洋中的情況，若取D＝40 m，則計算可得波長范圍在160～1 250 m之間。

為了更清楚地看到所生成次級環(huán)流的特征，圖5給出了雷諾數(shù)Re＝600，波數(shù)為1.2，偏角20°，調(diào)整因子r分別取值為0.4，0.6，1.0時的主流場和次級環(huán)流的流函數(shù)分布。計算過程中ω的虛部ωi的值對應于上述調(diào)整因子分別為0.002 7，0.003 7，0.004 1。從圖5可以看出很明顯的對稱型次級環(huán)流的存在。另外，對于不同的調(diào)整因子，次級環(huán)流的垂直位置有相應變化，調(diào)整因子r的取值越大，則生成的次級環(huán)流越靠近表面，隨著調(diào)整因子r的取值增大，次級環(huán)流的位置有逐漸下移的趨勢。

此外，為考慮科氏力的作用，下面我們給出南半球的情況，具體推導過程不再給出，圖6中直接給出數(shù)值模擬結(jié)果。特征分布基本與北半球呈現(xiàn)相同的變化規(guī)律，唯一不同的是次級環(huán)流與主流場的偏角發(fā)生了變化，北半球次級環(huán)流的流軸與主流場夾角為正值，而南半球次級環(huán)流的流軸與主流場夾角為負值，大小基本沒什么變化。

圖4

圖4 不同調(diào)整因子下（r＝0.2，0.4，0.6，1.0）的復特征值的虛部等值線圖（北半球）

圖5 不同調(diào)整因子（r＝0.4，0.6，1.0）下的主流場速度（左圖）及次級環(huán)流流函數(shù)分布（右圖）

3.2 水平與垂直湍黏性系數(shù)比值對數(shù)值模擬結(jié)果的影響（β≠1）

為考慮最不穩(wěn)定的特征值所對應的波數(shù)和偏角與水平與垂直湍黏性系數(shù)比值β（AH／AV）之間的關系，圖7和8中分別給出了雷諾數(shù)Re和調(diào)整因子r在不同取值組合下的最不穩(wěn)定狀態(tài)特征值ωi和偏角與β之間的分布?？梢钥闯?，不論雷諾數(shù)Re和調(diào)整因子r的取值如何變化，隨著β的增大，最不穩(wěn)定狀態(tài)所對應的波數(shù)都呈現(xiàn)迅速減小趨勢，當β≥100以后，波數(shù)都減小到0.1以下，此時對應的波長為2 k m左右，此后基本不再變化。也就是說，β越大，由Ek man流不穩(wěn)定性導致的次級環(huán)流的水平空間尺度越大。

對于次級環(huán)流軸線與主流場的偏角，隨著β的增大，偏角的變化規(guī)律較為復雜，r的取值較小時，呈現(xiàn)單調(diào)的減小趨勢，并且沒有符號的變化，即仍然是在北半球偏向主流左側(cè)；但是當r的取值較大時，變化規(guī)律不再是單調(diào)趨勢，而是時增時減，而且會發(fā)生符號的改變，即在北半球出現(xiàn)偏向主流右側(cè)的情況。

Smith［24］曾給出Langmuir環(huán)流的示意圖（見圖9），從其給出的模型中可以看出Langmuir環(huán)流的軸線偏向風向右側(cè)5°～15°，而理想Ek man流偏向風向右側(cè)45°左右，這也就說明北半球Langmuir環(huán)流的軸線偏向Ek man流的左側(cè)，表明從偏角看，Langmuir環(huán)流與我們分析得出的Ek man流不穩(wěn)定產(chǎn)生的次級環(huán)流有共性之處。但是當考慮到水平與垂直湍黏性系數(shù)比值β時，隨著β的增大，Ek man流不穩(wěn)定產(chǎn)生的次級環(huán)流空間尺度逐漸變大至千米量級，與觀測的黃海滸苔間距基本一致。這也從一個側(cè)面表明Ek man流不穩(wěn)定產(chǎn)生的次級環(huán)流是一種新的次級環(huán)流。

4 討論

無論是海氣相互作用還是海洋動力過程，海洋上混合層都是十分重要的。海洋上層的次級環(huán)流雖然屬中小尺度環(huán)流系統(tǒng)，但它對海洋的垂直混合和物質(zhì)的垂向輸運有重要影響。同時，由于條帶所在處正是一對環(huán)流形成的輻聚帶，由此也可推斷，不僅是漂浮物，其他物質(zhì)也有可能在此處形成聚集，因此它既可以是生物高生產(chǎn)力區(qū)，也可能是高污染區(qū)。這一環(huán)流的存在對海洋環(huán)境保護和海洋生態(tài)系統(tǒng)的影響也是顯而易見的，對海洋災害防治如藻類防治、溢油災害等方面有重要的實際意義［25－26］。

本文利用線性穩(wěn)定性理論，研究了海洋上層Ekman流的不穩(wěn)定性，從本文數(shù)值結(jié)果來看，當背景流場為Ek man流時，若雷諾數(shù)大于100時就會出現(xiàn)相應的不穩(wěn)定狀態(tài)，從而出現(xiàn)次級環(huán)流。由Ek man流不穩(wěn)定性所導致的次級環(huán)流具有相當大的空間和時間尺度范圍，其尺度大小與雷諾數(shù)、Ek man流的衰減速率和水平與垂直湍黏性系數(shù)比值等都有密切關系；另一方面，真實的海洋中水平湍黏性系數(shù)與垂向湍黏性系數(shù)的準確量值很難確定，對于海洋環(huán)流現(xiàn)象，水平尺度比垂向尺度要大得多，通常在數(shù)值模式中選取的水平黏性系數(shù)要遠大于垂向黏性系數(shù)。但就Langmuir環(huán)流而言，由于其水平尺度和垂向尺度相差不太大，在關于Langmuir環(huán)流的文獻中，經(jīng)典理論都是將垂向與水平黏性系數(shù)取為相同數(shù)值［12－13］。因此討論水平與垂直湍黏性系數(shù)比值實際上也反映了物理現(xiàn)象的空間尺度。如果我們參照以往取法［11－12］即二者相等，從本文數(shù)值結(jié)果來看，所得出的次級環(huán)流結(jié)構(gòu)、空間尺度以及次級環(huán)流流軸與主流場偏角都與Langmuir環(huán)流的特征極為相似，因此這應該可以作為Langmuir環(huán)流形成機制的一種新解釋。

圖6 不同調(diào)整因子下的復特征值的虛部等值線圖（南半球）

圖7 不同雷諾數(shù)和調(diào)整因子下，水平與垂直湍黏性系數(shù)比值（A H／A V）對波數(shù)（wave number）的影響

圖8 不同雷諾數(shù)和調(diào)整因子下，水平與垂直湍黏性系數(shù)比值（A H／A V）對偏角的影響

圖9 Langmuir環(huán)流的示意圖（引自文獻［24］）

當水平湍黏性系數(shù)與垂向湍黏性系數(shù)取值不同時，由Ek man流的不穩(wěn)定性所生成的次級環(huán)流尺度可達到千米量級，其尺度范圍明顯大于前人所報道的Langmuir環(huán)流幾百米以下的空間尺度，而這應該是Qiao等［21］所提出的滸苔條帶狀結(jié)構(gòu)的成因。但我們目前仍缺乏系統(tǒng)翔實的觀測資料，可以支撐更為深入細致的研究，比如精密的衛(wèi)星資料可以確定黃海滸苔條帶間距是否隨緯度升高而增加，從而判別Thorpe的模型是否合理。從目前可獲取的資料來看，我們更傾向于認為對應于Ek man流的不穩(wěn)定性，存在一種新的次級環(huán)流。

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