峰值折射率對(duì)正弦型函數(shù)光子晶體帶隙的影響

熊翠秀，鄧楊保，鄧曙光

(湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，湖南益陽(yáng)413000)

1 引言

光子晶體是折射率或介電常數(shù)按周期性變化的人工微結(jié)構(gòu)材料，其概念最早于1987年分別由 S.John 和 E.Yablonovitch 提出［1－2］，光子禁帶和光子局域是光子晶體的基本特性。早些年的研究主要集中在常規(guī)光子晶體上。為了適合各個(gè)不同應(yīng)用場(chǎng)合的需求，近年陸陸續(xù)續(xù)提出了不同結(jié)構(gòu)的非常規(guī)光子晶體［3－16］，折射率與空間坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)型光子晶體［12－16］就是其中的一類非常規(guī)光子晶體。文獻(xiàn)［12］～［16］根據(jù)費(fèi)馬原理，推導(dǎo)了函數(shù)型光子晶體中的傳輸矩陣和色散方程，研究了一維正弦型函數(shù)光子晶體的透射譜和色散關(guān)系。其中文獻(xiàn)［12］和［14］在折射率函數(shù)的系數(shù)一定情況下，詳細(xì)研究了入射角和介質(zhì)層的厚度對(duì)一維正弦型函數(shù)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的影響，文獻(xiàn)［15］研究了周期數(shù)和入射角對(duì)一維正弦型函數(shù)光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的影響，這些文獻(xiàn)報(bào)道，通過(guò)選擇不同的折射率空間分布函數(shù)，可以得到比常規(guī)光子晶體更寬或更窄的禁帶。但都沒(méi)有涉及正弦型函數(shù)的折射率系數(shù)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響，雖然文獻(xiàn)［16］給出了不同系數(shù)下的透射譜和色散關(guān)系，但系數(shù)變化的同時(shí)入射角也在變化，故沒(méi)有給出各個(gè)系數(shù)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響。為了探討正弦函數(shù)的折射率系數(shù)對(duì)一維光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的影響，筆者先把正弦型函數(shù)折射率介質(zhì)層離散化［17］，用平均折射率等效為每一小層的折射率，再用傳輸矩陣法［18］計(jì)算光子晶體的透射率和色散關(guān)系，分析各個(gè)系數(shù)對(duì)透射譜帶隙結(jié)構(gòu)的影響。結(jié)果表明，各個(gè)系數(shù)對(duì)帶隙結(jié)構(gòu)的影響有所不同，且各自呈現(xiàn)一定的規(guī)律。這為光子晶體的設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

2 理論模型和計(jì)算方法

2.1 理論模型

折射率與空間坐標(biāo)z按正弦規(guī)律變化的高折射率介質(zhì)A和低折射率介質(zhì)B交替排列，組成(AB)N形一維光子晶體，N表示周期數(shù)。令光波沿著z方向傳播，介質(zhì)A和B的折射率分別由式(1)和式(2)式表示:

式中，la和lb分別是A和B介質(zhì)的幾何厚度;而na(0)和nb(0)分別是A和B介質(zhì)起始端的折射率。

2.2 計(jì)算方法

對(duì)于常規(guī)一維光子晶體，可以直接采用傳輸矩陣法［18］計(jì)算透射率;對(duì)于一維函數(shù)光子晶體，由于折射率隨空間坐標(biāo)z變化，不能直接采用傳輸矩陣法。當(dāng)把折射率按空間坐標(biāo)z變化的介質(zhì)層離散化，即把每半個(gè)周期分成J小層，每小層的幾何厚度為(或)，當(dāng)J趨于無(wú)窮大時(shí)，每小層的折射率變化很小，每一小層都可以近似為常規(guī)折射率介質(zhì)，故進(jìn)行離散化后，每小層的光學(xué)傳輸特性可以用傳輸矩陣表示［17］。文獻(xiàn)［17］在離散化介質(zhì)層時(shí)，把每小層起始端的折射率作為該小層的折射率，而筆者在計(jì)算過(guò)程中用每小層的平均折射率等效為該小層的折射率。

3 結(jié)果與討論

參數(shù)選取參照文獻(xiàn)［13］，即取la=114.985 nm和lb=250.972nm，na(0)=3.37 和nb(0)=1.544，N=16。在Matlab7.0環(huán)境下編程計(jì)算。上述參數(shù)對(duì)應(yīng)的常規(guī)一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中圖1(a)和圖1(b)分別為透射譜和色散關(guān)系。由圖知，主禁帶在1246～2047 nm之間。

圖1 常規(guī)一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)

3.1 高折射率介質(zhì)層為正弦型函數(shù)介質(zhì)

考慮高折射率介質(zhì)A的折射率隨空間坐標(biāo)z按正弦函數(shù)規(guī)律變化，介質(zhì)B為常規(guī)介質(zhì)，即A2=0。每個(gè)A層離散化為J=20層。令垂直入射，則TE和TM波的透射譜一樣。圖2給出了介質(zhì)A的折射率系數(shù)分別取 A1=0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.9，1.0，1.2 時(shí)的帶隙結(jié)構(gòu)，其中圖 2(a)和圖2(b)分別對(duì)應(yīng)于透射譜和色散關(guān)系。由圖2知，隨著A1的增大，主禁帶上下帶邊都向長(zhǎng)波方向移動(dòng)，且下帶邊移動(dòng)的速度比上帶邊快，故主禁帶發(fā)生紅移，且主禁帶寬度增寬。

圖2 高折射率介質(zhì)的折射率按正弦規(guī)律變化時(shí)一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)

3.2 低折射率介質(zhì)層為正弦型函數(shù)折射率介質(zhì)

考慮低折射率介質(zhì)B的折射率隨空間坐標(biāo)z 按正弦函數(shù)規(guī)律變化，介質(zhì)A為常規(guī)介質(zhì)，即A1=0。每個(gè)B層離散化為J=20層，令垂直入射。分別取A2=0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.9，1.0，1.2，圖 3 給出了相應(yīng)的帶隙結(jié)構(gòu)，其中圖3(a)和圖3(b)分別對(duì)應(yīng)于透射譜和色散關(guān)系。由圖3知，隨著系數(shù)A2的增大，主禁帶的上下帶邊都向長(zhǎng)波方向移動(dòng)，但上帶邊移動(dòng)的速度比下帶邊移動(dòng)的速度快，從而導(dǎo)致主禁帶波長(zhǎng)中心發(fā)生紅移，且?guī)捵冋怀酥?，由圖3還可知，隨著A2的增大，光子禁帶數(shù)目增多，但每個(gè)禁帶隨A2的變化規(guī)律不一樣，圖中除主禁帶外，向短波方向的第一個(gè)、第二個(gè)禁帶帶寬隨A2的變化規(guī)律正好相反，第一個(gè)隨A2的增大而增寬，而第二個(gè)則相反。

圖3 低折射率介質(zhì)的折射率按正弦規(guī)律變化時(shí)一維光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)

3.3 高低折射率介質(zhì)均為正弦型函數(shù)折射率介質(zhì)

考慮介質(zhì)A和B的折射率都隨空間坐標(biāo)z按正弦函數(shù)規(guī)律變化。每個(gè)介質(zhì)層都離散化為2 0層，令垂直入射。圖4給出了系數(shù)A1和A2取一系列不同值對(duì)應(yīng)的透射譜。圖4（a）從上到下，（A1，A2）的值分別為（0.2，0.1）、（0.4，0.2）、（0.6，0.3）、（0.8，0.4）、（1，0.5）、（1.2，0.6）、（1.4，0.7）和（1.6，0.8），滿足 A1＞A2；圖4（b）從上到下，（A1，A2）的值分別為（0.1，0.2）、（0.2，0.4）、（0.3，0.6）、（0.4，0.8）、（0.5，1）、（0.6，1.2）、（0.7，1.4）和（0.8，1.6），滿足 A1＜A2。由圖4知，當(dāng) A1和 A2都增大時(shí)，帶隙紅移，且禁帶個(gè)數(shù)增多。由圖4（a）知，當(dāng)A1＞A2時(shí)，主禁帶帶寬比相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的常規(guī)光子晶體的主禁帶寬，且A1與A2的差值越大，主禁帶越寬。除主禁帶外，向短波方向有一系列次禁帶，隨著A1與A2差值的增大每個(gè)次禁帶都略微增寬，但只有靠近主禁帶的次禁帶增寬現(xiàn)象明顯；由圖4（b）知，當(dāng)A1＜A2時(shí)，主禁帶帶寬比相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的常規(guī)光子晶體窄，且A1與A2的差值越大主禁帶越窄，除主禁帶以外短波方向也有一系列的次禁帶，這些次禁帶表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，具體為：除主禁帶外，向短波方向數(shù)的第奇數(shù)個(gè)次禁帶隨A1與A2差值的增大而變寬，而第偶數(shù)次禁帶則隨A1與A2差值的增大而變窄，其中靠近主禁帶的次禁帶變化最明顯。

圖4 高低折射率介質(zhì)的折射率均按正弦規(guī)律變化時(shí)的透射譜

4 結(jié) 論

首先對(duì)折射率隨空間坐標(biāo)按正弦規(guī)律變化的介質(zhì)層離散化，再采用傳輸矩陣法，計(jì)算了正弦型函數(shù)一維光子晶體的透射率，著重分析了高低折射率介質(zhì)層的峰值折射率變化對(duì)透射譜主禁帶的影響。研究表明，當(dāng)正弦函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化，即介質(zhì)的峰值折射率發(fā)生變化，從而使平均折射率發(fā)生變化時(shí)，與常規(guī)一維光子晶體相比，無(wú)論是高折射率介質(zhì)還是低折射率介質(zhì)的峰值折射率增大，或是二者的峰值折射率都增大，其透射譜的禁帶都發(fā)生紅移;如果高低折射率介質(zhì)的平均折射率之差增大，則主禁帶的寬度增寬，當(dāng)高低折射率介質(zhì)的平均折射率之差減小，則主禁帶寬度變窄;次禁帶也表現(xiàn)出一定的規(guī)律，但次禁帶的規(guī)律與主禁帶的變化規(guī)律不盡相同。這些結(jié)論對(duì)光子晶體的設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

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