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    廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣的實用新判定

    2014-10-25 07:34:18劉明姬呂顯瑞
    關(guān)鍵詞:吉林大學(xué)對角分母

    許 潔,劉明姬,呂顯瑞

    (1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院,吉林 吉林132022;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春130012)

    廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣又稱為非奇異H矩陣,在計算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,目前已取得了許多研究結(jié)果[1-8].本文在文獻[4]的基礎(chǔ)上,定義一類新的矩陣,利用該矩陣的性質(zhì),得到一組新的判定條件,進一步推廣了文獻[4-5]的結(jié)果.

    設(shè)σ=(σ1,σ2,…,σk)是(1,2,…,k)的一個置換,對任意的i∈?記i∈Nσi,?=∪Nσi.進一步記:

    其中i∈Nσi,j∈Nσj且σi≠σj,存在α∈ (0,1]};

    其中i∈Nσi,j∈Nσj且σi≠σj,存在α∈ (0,1]}.定義1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若存在α∈(0,1],使得

    則稱A為對稱局部雙α對角占優(yōu)矩陣,記為A∈SLDD0(α),其中?i∈Nσi,j∈Nσj且σi≠σj.若式(1)不等號嚴(yán)格成立,則稱A為對稱局部雙α嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,記為A∈SLDD(α).

    定理1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n∩SLDD(α),滿足aii≠0,J≠?.則A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.

    下面討論Nk0≠?的情況.適當(dāng)選取正數(shù)dk0,滿足:

    式(2)左端比值當(dāng)分母為零時記作+∞,易見dk0>1.構(gòu)造正對角矩陣Dk0如下:

    定理2 設(shè)A=(aij)∈Cn×n∩SLDD0(α)滿足aii≠0及≠?,且對每個i∈,都存在aii1ai1i2…aipt≠0,使得t∈,則A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.

    若Hj的分母為零,則記Hj=+∞.由A∈SLDD0(α)知,max hi≤min Hj.由?J≠?知,存在i∈Nσi,j∈?\Nσi,d>1,使得max hi≤d≤min Hj.構(gòu)造正對角陣D如下:

    ② 當(dāng)j∈Nσj??\Nσi時,由Hj的定義有

    再由d>1得

    例1 設(shè)矩陣

    [1]TIAN Guixian,HUANG Tingzhu,CUI Shuyu.Convergence of Generalized AOR Iterative Method for Linear Systems with Strictly Diagonally Dominant Matrices[J].Comput Appl Math,2008,213(1):240-247.

    [2]侯進軍,李斌.H-矩陣的一組新判定 [J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,31(2):266-270.(HOU Jinjun,LI Bin.Some New Conditions for Nonsingular H-Matrices[J].Acta Mathematica Applicatae Sinica,2008,31(2):266-270.)

    [3]王健,徐仲,陸全.廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣判定的新迭代準(zhǔn)則 [J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2010,33(6):961-966.(WANG Jian,XU Zhong,LU Quan.New Iterative Codes for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices[J].Acta Mathematica Applicatae Sinica,2010,33(6):961-966.)

    [4]孫玉祥,呂洪斌.廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣與非奇異M-矩陣的判定 [J].廈門大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2001,40(5):1011-1016.(SUN Yuxiang,Lü Hongbin.Criteria for Generalized Strictly Diagonally Matrices and Nonsingular M-Matrices[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2001,40(5):1011-1016.)

    [5]逄明賢.局部雙對角占優(yōu)矩陣及其應(yīng)用 [J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1995,38(4):442-450.(PANG Mingxian.Locally Double-diagonally Dominant Matrix and Its Applications[J].Acta Mathematica Sinica,1995,38(4):442-450.)

    [6]Berman A,Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].New York:Academic Press,1979.

    [7]周曉晶,許潔,孫玉祥.廣義對角占優(yōu)矩陣的一組判定條件 [J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2012,42(15):244-250.(ZHOU Xiaojing,XU Jie,SUN Yuxiang.Some Criteria for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices[J].Mathematics in Practices and Theory,2012,42(15):244-250.)

    [8]郭麗.非奇異 H-矩陣的判定 [J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2010,48(2):226-228.(GUO Li.Criteria for Nonsingular H-Matrices[J].Journal of Jilin University:Science Edition,2010,48(2):226-228.)

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