環(huán) 的 強(qiáng) 正 則 性

殷曉斌，陳賽男，豆 皖

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖241003）

0 引 言

本文的環(huán)均指有單位元的結(jié)合環(huán)，環(huán)上的模均指單式模.設(shè)R是環(huán)，J（R），C（R）和N（R）分別表示R的Jacobson根、中心和冪零元之集.對于R中的任意元a，l（a）和r（a）分別表示a的左零化子和右零化子.如果對于任意的a∈R，存在正整數(shù)n，使得an≠0，且任意左R－模同態(tài)f：Ran→M均可擴(kuò)張為R到M 的同態(tài)，則左R－模M 稱為左GP－內(nèi)射模［1］.類似可定義右GP－內(nèi)射模.如果R的每個單左（右）R－模是GP－內(nèi)射的，則R稱為左（右）GP－V－環(huán)［1］；如果環(huán)R的每個單奇異左（右）R－模是GP－內(nèi)射的，則R稱為左（右）GP－V′－環(huán)［1］.如果R中不含非零的冪零元，則R稱為約化環(huán)［1］.如果對于任意的a∈R，存在b∈R，使得a＝a2b，則R稱為強(qiáng)正則環(huán)［2］.強(qiáng)正則環(huán)具有左右對稱性.如果對于R的任意左（右）理想I，均有I2＝I，則R稱為左（右）弱正則環(huán)［3］.如果R的每個左理想是由冪等元生成的，則R稱為廣義正則環(huán)［4］.如果對于任意的r∈R，x∈L，存在正整數(shù)n，使得（rx）n∈L（或（xr）n∈L），則環(huán)R的子加群L稱為R 的弱左（右）理想［4］.如果J（R）＝N（R），則環(huán)R稱為J－環(huán)［5］.如果對于任意的a，b，r∈R，且ab＝0，有arb∈C（R），則R稱為中心半交換環(huán).如果對于任意的a∈N（R），存在正整數(shù)n，使得an≠0，且任意左R－模同態(tài)f：Ran→M均可擴(kuò)張為R到M 的同態(tài)，則左R－模M 稱為左wnil－內(nèi)射模［6］.如果對于任意的a，b∈R，ab＝0，存在正整數(shù)n，使得an≠0，bn≠0，anRbn＝0，則R稱為擬ZI－環(huán)［7］.

1 GP－V－環(huán)與GP－V′－環(huán)的強(qiáng)正則性

引理1 設(shè)R是環(huán)，若R的每個主左（右）理想是弱右（左）理想，則R／J（R）約化.

證明：僅證左的情形，右的情形類似可證.

對任意的a∈R，若a?J（R）且a2∈J（R），則存在R的極大左理想M，使得M＋Ra＝R.由a2∈J（R）可得R＝M＋Ma.于是存在m∈M，使得1－ma∈M.由于Rm是弱右理想，故存在正整數(shù)n，使得（ma）n∈Rm?M.因此有

故ma∈M，1＝ma＋（1－ma）∈M，矛盾.所以a∈J（R），R／J（R）約化.證畢.

引理2［1］若環(huán)R 是左（右）GP－V－環(huán)，則J（R）＝0.

引理3 設(shè)R是環(huán)，若R為每個冪等元是中心元的左（右）GP－V′－環(huán)，且每個主左（右）理想是弱右（左）理想，則R是約化環(huán).

證明：僅證左的情形，右的情形類似可證.

對任意的a∈R，若a≠0且a2＝0，則存在R的極大左理想M，使得l（a）?MR，因此可以定義左R－模同態(tài)f：Ra→R／M；rar＋M，?r∈R.

下證M是本質(zhì)左理想.若不然，則存在e2＝e∈R，使得M＝Re＝l（1－e）.由a∈Ra?M＝l（1－e）及R的每個冪等元是中心元知，a（1－e）＝0＝（1－e）a.故有

矛盾.于是M是R的本質(zhì)左理想.由R是左GP－V′－環(huán)知，單奇異左R－模R／M 是GP－內(nèi)射的.又因為a2＝0，所以存在b∈R，使得1＋M＝f（a）＝ab＋M，1－ab∈M.注意到Ra是弱右理想，則存在正整數(shù)n，使得（ab）n∈Ra?M.類似引理1可證ab∈M，1∈M，矛盾.故a＝0，R是約化環(huán).證畢.

定理1 設(shè)R是環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是左（右）GP－V－環(huán)，且R的每個主左（右）理想是弱右（左）理想；

3）R為每個冪等元是中心元的左（右）GP－V′－環(huán)，且每個主左（右）理想是弱右（左）理想.

證明：1）?2），3）顯然.下證2），3）?1）.僅證左的情形，右的情形類似可證.

2）?1）.由引理1和引理2知，R是約化環(huán)，則對任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證Ra＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R，于是存在R的極大左理想M，使得Ra＋l（a）?MR.由R 約化知，l（an）＝l（a），因此可以定義左R－模同態(tài)f：Ran→R／M；ranr＋M，?r∈R.注意到R是左GP－V－環(huán)，單左R－模R／M是GP－內(nèi)射的.從而存在b∈R，使得1－anb∈M.又因為Ra是弱右理想，則存在正整數(shù)m，使得（anb）m∈Ra?M.類似引理1可證anb∈M，1∈M，矛盾.所以對任意的a∈R，有Ra＋l（a）＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

3）?1）.由引理3知，R是約化環(huán)，則對任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證Ra＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質(zhì)左理想M，使得Ra＋l（a）?MR.于是單奇異左R－模R／M是GP－內(nèi)射的.類似2）?1）可證1∈M，矛盾.所以對任意的a∈R，有l(wèi)（a）＋Ra＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

命題1 設(shè)R是中心半交換環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是左GP－V′－環(huán)，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－環(huán)，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.

2）?1）.由中心半交換環(huán)的定義，設(shè)e是冪等元，則e（1－e）＝（1－e）e＝0，于是對任意的a∈R，有ea（1－e）∈C（R），（1－e）ae∈C（R）.從而ea（1－e）＝e·ea（1－e）＝ea（1－e）·e＝0，則ea＝eae.同理有ae＝eae.故ae＝ea，即冪等元e是中心元.由定理1即得結(jié)論.

3）?1）.對任意的a∈R，若a≠0且a2＝0，則存在R的極大左理想M，使得l（a）?MR，因此可定義左R－模同態(tài)f：Ra→R／M；rar＋M，?r∈R.易知M 是本質(zhì)左理想.由R是左GP－V′－環(huán)知，單奇異左R－模R／M是GP－內(nèi)射的.又因為a2＝0，所以存在b∈R，使得1＋M＝f（a）＝ab＋M，1－ab＝m∈M，1＝ab＋m.由于R 是中心半交換環(huán)，則aba∈C（R）.從而有（aba）（ba）＝（ba）（aba）＝0，（ab）3＝0，ab是冪零元.故m＝1－ab有逆元，1∈M，這與M的極大性矛盾.所以a＝0，R是約化環(huán)，故l（a）＝r（a）.

下證對任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質(zhì)右理想K，使得aR＋l（a）?KR.假設(shè)RaRK，則存在r，s∈R，使得ras?K.故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由aR是弱左理想知，存在正整數(shù)m，使得（rast）m∈aR?K，則（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR?K，RaR＋l（a）?KR，從而存在R的極大本質(zhì)左理想L，使得RaR＋l（a）?LR.由R約化知，l（an）＝l（a），因此可以定義左R－模同態(tài)g：Ran→R／L；ranr＋L，?r∈R.由R 是左 GP－V′－環(huán)知，單奇異左R－模R／L 是GP－內(nèi)射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因為anc∈RaR?L，則1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

定理2 設(shè)R是中心半交換環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是左GP－V′－環(huán)，且R的每個極大本質(zhì)左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－環(huán)，且R的每個極大本質(zhì)右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.

2）?1）.由命題1知R約化，下證對于任意的a∈R，Ra＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質(zhì)左理想M，使得Ra＋l（a）?MR.由R約化知，l（an）＝l（a），于是可以定義左R－模同態(tài)f：Ran→R／M；ranr＋M，?r∈R.由R是左GP－V′－環(huán)知，單奇異左R－模R／M是GP－內(nèi)射的，因此存在b∈R，使得1－anb∈M.又因為M 是弱右理想，則存在正整數(shù)m，使得（anb）m∈M.類似引理1可證anb∈M，1∈M，矛盾.所以對于任意的a∈R，有Ra＋l（a）＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

3）?1）.由命題1知R約化，故l（a）＝r（a）.下證對任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質(zhì)右理想K，使得aR＋l（a）?KR.假設(shè)RaRK，則存在r，s∈R，使得ras?K.故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由K 是弱右理想知，存在正整數(shù)m，使得（rast）m∈K，則（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR?K，RaR＋l（a）?KR，因此存在R的極大本質(zhì)左理想L，使得RaR＋l（a）?LR.由R約化知，l（an）＝l（a），從而可定義左R－模同態(tài)g：Ran→R／L；ranr＋L，?r∈R.由R是左GP－V′－環(huán)知，單奇異左R－模R／L 是 GP－內(nèi)射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因為anc∈RaR?L，則1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

引理4［7］設(shè)R是擬ZI－環(huán)，若R是GP－V′－環(huán)，則R約化.

由文獻(xiàn)［7］中引理1.1.3知，擬ZI－環(huán)的每個冪等元是中心元.于是有：

命題2 設(shè)R是擬ZI－環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是左GP－V′－環(huán)，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－環(huán)，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.由定理1可得2）?1）.

3）?1）.由引理4知R約化，故l（a）＝r（a）.下證對于任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，則存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.類似引理3的證明知，存在R的極大本質(zhì)右理想K，使得aR＋l（a）?KR.假設(shè)RaRK，則存在r，s∈R，使得ras?K，故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由aR是弱左理想知，存在正整數(shù)m，使得（rast）m∈aR?K，從而（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR?K，RaR＋l（a）?KR，于是存在R的極大本質(zhì)左理想L，使得RaR＋l（a）?LR.由R約化知，l（an）＝l（a），因此可定義左R－模同態(tài)g：Ran→R／L；ranr＋L，?r∈R.由R是左GP－V′－環(huán)知，單奇異左R－模R／L是GP－內(nèi)射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因為anc∈RaR?L，則1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

2 廣義（弱）正則環(huán)的強(qiáng)正則性

引理5［4］若環(huán)R是廣義正則環(huán)，則R是左非奇異環(huán)，且J（R）＝0.

定理3 設(shè)R是環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是廣義正則環(huán)，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是廣義正則環(huán)，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3）顯然.僅證2）?1），類似可證3）?1）.

2）?1）.由引理1和引理5知R約化，則R的每個冪等元是中心的.又因為R是廣義正則環(huán)，則對任意的a∈R，Ra＝∑Rei，其中ei是中心冪等元.令a＝r1e1＋…＋rnen，則有

從而有Ra＝Re1＋…＋Ren.令f1＝e1＋e2－e1e2，則f21＝f1，e1f1＝e1，e2f1＝e2，于是

故Re1＋Re2＝Rf1.再令f2＝f1＋e3－f1e3，…，fn－2＝fn－3＋en－1－fn－3en－1，e＝fn－2＋en－fn－2en.如此繼續(xù)下去，有

則存在b，r∈R，使得a＝re，e＝ba，故a＝ae＝ea＝ba2，即R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

命題3 設(shè)R是J－環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是左弱正則環(huán)，且R的每個極大本質(zhì)左理想是弱右理想；

3）R是左弱正則環(huán)，且R的每個極大本質(zhì)右理想是弱左理想；

4）R是右弱正則環(huán)，且R的每個極大本質(zhì)左理想是弱右理想；

5）R是右弱正則環(huán)，且R的每個極大本質(zhì)右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3），4），5）顯然.下證2），3）?1），類似可證4），5）?1）.

2）?1）.因為R是左弱正則環(huán)，故J（R）＝0.又R是J－環(huán)，則N（R）＝J（R）＝0，從而R是約化環(huán).下證l（a）＋Ra＝R.若l（a）＋Ra≠R，則存在R的極大左理想M，使得l（a）＋Ra?MR.易知M 是R的本質(zhì)左理想.若不然，則存在e2＝e∈R，使得M＝Re＝l（1－e）.由a∈Ra?M＝l（1－e）及R約化知，a（1－e）＝0＝（1－e）a.故有1－e∈l（a）?l（1－e），1－e＝（1－e）2＝0，1＝e∈M，矛盾.于是M是R的本質(zhì)左理想，從而M是弱右理想.又由于R是左弱正則環(huán)，故有Ra＝RaRa，則存在ri，si∈R，使得a＝∑riasia，因此（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?M.若∑riasi?M，則存在正整數(shù)k，使得rkask?M.于是M＋Rrkask＝R，則存在x∈M，r∈R，使得x＋rrkask＝1.注意到M是弱右理想且a∈M，則存在正整數(shù)n，使得（rrkask）n∈M，則（1－x）n＝（rrkask）n∈M，1∈M，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l(wèi)（a）＋Ra＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

3）?1）.由上述證明知R是約化環(huán)，則對于任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證r（a）＋aR＝R.若不然，則存在R的極大右理想K，使得l（a）＋aR＝r（a）＋aR?KR.類似2）?1）的證明知，K是R的本質(zhì)右理想，則K是弱左理想.又因為R是左弱正則環(huán)，故有Ra＝RaRa.因此存在ri，si∈R，使得a＝ ∑riasia，從而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?K.若∑riasi?K，則存在正整數(shù)k，使得rkask?K.于是K＋rkaskR＝R，則存在x∈K，r∈R，使得x＋rkaskr＝1.注意到K是弱左理想且a∈K，則存在正整數(shù)n，使得（rkaskr）n∈K，則（1－x）n＝（rkaskr）n∈K，1∈K，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l(wèi)（a）＋aR＝r（a）＋aR＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

定理4 設(shè)R是環(huán)，則下列敘述等價：

1）R是強(qiáng)正則環(huán)；

2）R是左弱正則環(huán)，且R的每個主左理想是弱右理想；

3）R是左弱正則環(huán)，且R的每個主右理想是弱左理想；

4）R是右弱正則環(huán)，且R的每個主左理想是弱右理想；

5）R是右弱正則環(huán)，且R的每個主右理想是弱左理想.

證明：1）?2），3），4），5）顯然.下證2），3）?1），類似可證4），5）?1）.

2）?1）.因為R是左弱正則環(huán)，故J（R）＝0.由引理1知R是約化環(huán).下證l（a）＋Ra＝R.若l（a）＋Ra≠R，則存在R的極大左理想M，使得l（a）＋Ra?MR.由于R是左弱正則環(huán)，故有Ra＝RaRa，則存在ri，si∈R，使得a＝ ∑riasia，從而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?M.若∑riasi?M，則存在正整數(shù)k，使得rkask?M.于是M＋Rrkask＝R，則存在x∈M，r∈R，使得x＋rrkask＝1.注意到Ra是弱右理想，則存在正整數(shù)n，使得（rkask）n∈Ra?M，從而（1－x）n＝（rkask）n∈M，1∈M，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l(wèi)（a）＋Ra＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).

3）?1）.由上述證明知R是約化環(huán)，則對于任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下證r（a）＋aR＝R.若不然，則存在R的極大右理想K，使得l（a）＋aR＝r（a）＋aR?KR.又因為R是左弱正則環(huán)，故有Ra＝RaRa，則存在ri，si∈R，使得a＝∑riasia，從而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）?K.若∑riasi?K，則存在正整數(shù)k，使得rkask?K.于是K＋rkaskR＝R，則存在x∈K，r∈R，使得x＋rkaskr＝1.注意到aR是弱左理想且a∈K，則存在正整數(shù)n，使得（rkaskr）n∈aR?K，從而（1－x）n＝（rkaskr）n∈M，1∈K，矛盾.所以對于任意的a∈R，有l(wèi)（a）＋aR＝r（a）＋aR＝R.故R是強(qiáng)正則環(huán).證畢.

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