夏—王定理在考研題中的應(yīng)用

【摘 要】設(shè)X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為pX（x），g（x）是一個連續(xù)函數(shù)， 文獻(xiàn)[1]給出了用積分變換法求連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)g（X）的密度函數(shù)的一個定理，文獻(xiàn)中稱為夏-王定理（見文獻(xiàn)[2]）， 本文用考研題說明了夏-王定理的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】夏-王定理；連續(xù)型隨機(jī)變量；密度函數(shù)；用積分變換法求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)；碩士研究生考試

0 引言

設(shè)X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為pX（x），g（x）是一個連續(xù)函數(shù). 如何求X的函數(shù)g（X）的密度函數(shù)是一個常見的問題. 經(jīng)典的方法有兩種， 即 “分布函數(shù)法”和公式法，具體的細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[1-3].

2013年，夏天和王學(xué)仁（見文獻(xiàn)[4]）給出了一個定理，文獻(xiàn)中稱為夏-王定理（見文獻(xiàn)[5]），根據(jù)此定理，可以用積分變換法來求g（X）的概率密度函數(shù).該方法比經(jīng)典的兩種方法更簡捷.本文將用夏-王定理對考研數(shù)學(xué)中的試題來進(jìn)行分析求解.

為了后面敘述的方便， 我們作一些規(guī)定：用〈α，β〉表示區(qū)間（可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半開半閉區(qū)間）；由于定積分的值與被積函數(shù)在個別點(diǎn)上的值無關(guān)，故Y=g（X）的概率密度的表達(dá)式在某些點(diǎn)處的值可以不唯一.下面陳述夏-王定理[文獻(xiàn)4].

夏-王定理：設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)pX（x）僅在 （a，b）上有非零值（這里a可以取-∞，b可以取+∞.如果可將（ii）由（1）式， 可令

方法被稱為為“積分變換法”.

1 用夏-王定理來求解考研試題

下面，舉例來說明用夏-王定理在考研試題中的應(yīng)用.所有的試題見文獻(xiàn)[6].

例2 （1988年數(shù)學(xué)一試題）假設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)

【參考文獻(xiàn)】

[1]夏樂天.應(yīng)用概率統(tǒng)計[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008：95.

[2]蘇淳.概率論[M].2版.北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[4]夏天，王學(xué)仁.用積分變換法求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)[M].數(shù)學(xué)的的實(shí)踐與認(rèn)識，2013，43（16）：262-270.

[5]夏天.關(guān)于用積分變換法求連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的注記[J].科教文匯，2013，11（下旬）： 2013-11-30：51-52.

[6]全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題[OL].中國教育在線www.edu.cn.

[責(zé)任編輯：楊玉潔]