能力譜法在鋼框架結(jié)構(gòu)抗震性能評(píng)估中的應(yīng)用

張宇亮

摘 要：本文基于能力譜法，結(jié)合我國(guó)地震烈度設(shè)防規(guī)定給出了適合我國(guó)地震烈度設(shè)防的計(jì)算步驟，并結(jié)合sap2000有限元程序利用能力譜法對(duì)一個(gè)9層鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行了評(píng)估，表明能力譜法是結(jié)構(gòu)抗震性能評(píng)估的有效方法。

關(guān)鍵詞：靜力彈塑性分析，能力譜法，需求譜

Application of Capacity Spetrum Methods for Estimating Seismic Performance of Steel Frame Structure

Na Yang1， Fan Bai1

（1.School of Civil Engineering， Beijing Jiaotong University， Beijing 100124， China）

Abstract：： This paper elaborates the basic principal and method of capacity spetrum method.Its main calculation procedures for China seismic design are summarized. It also make a evaluation to the seismic performance of a 9-story steel frame structure by the finite element program sap2000. By this case， we can know the Capacity-Demand-Diagram method is an efficient way to estimate the structure.

Key words：Nonlinear Static Procedure；Capacity-Demand-Diagram Methods； Demand Diagram

能力譜法是靜力彈塑性抗震設(shè)計(jì)方法中應(yīng)用比較普遍的一種方法。1975年由Freeman[1]提出，1987年由Fajfa[2]以N2法的形式發(fā)表，到1996年被美國(guó)ATC-40[3]規(guī)范采用，也是日本建筑基準(zhǔn)法BSL2000采用的方法[4]，到2005年，美國(guó)應(yīng)急管理署FEMA440[5]對(duì)能力譜法做了完善的改進(jìn)后，被美國(guó)聯(lián)邦公路協(xié)會(huì)采用在橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中。

本文利用能力譜法對(duì)美國(guó)鋼結(jié)構(gòu)SAC工程中設(shè)計(jì)建造的9層鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)模型[6]，在中國(guó)地震烈度設(shè)防水準(zhǔn)下的抗震性能進(jìn)行了分析。

1 能力譜法

1.1 基本假定

能力譜法基于以下兩個(gè)基本假定[7]：

（1）、實(shí)際結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)與某一等效單自由度體系的反應(yīng)相關(guān)，也就是結(jié)構(gòu)的地震相應(yīng)僅由第一振型控制；

（2）、在地震過(guò)程中，不論結(jié)構(gòu)變形大小，分析所假定的結(jié)構(gòu)沿高度方向的形狀向量都保持不變。

1.2 基本原理

基于以上兩個(gè)假定，能力譜法將多自由度體系轉(zhuǎn)化為非彈性的等效單自由度體系，將原結(jié)構(gòu)體系通過(guò)靜力推覆得到的基地剪力-頂點(diǎn)位移曲線轉(zhuǎn)化為等效單自由度體系的譜位移-譜加速度格式的能力譜，并且按照此非線性單自由度體系的阻尼比對(duì)設(shè)計(jì)規(guī)范反應(yīng)譜進(jìn)行折減，得到針對(duì)該等效單自由度體系在給定地震水準(zhǔn)下的彈塑性反應(yīng)譜，并轉(zhuǎn)化為譜位移-譜加速度格式，將能力譜和需求譜結(jié)合在一起，求出在給定地震作用下，等效單自由度體系的性能點(diǎn)，通過(guò)性能點(diǎn)反推到多自由度體系結(jié)構(gòu)中的頂點(diǎn)和基底剪力，再根據(jù)基本假定，求出原結(jié)構(gòu)各層的層間位移，屈服機(jī)制等結(jié)構(gòu)性能，來(lái)評(píng)估原結(jié)構(gòu)是否滿足在指定地震水準(zhǔn)下的性能目標(biāo)。

2 能力譜法的技術(shù)路線

2.1能力譜的建立

能力譜：對(duì)結(jié)構(gòu)模型施加逐步施加某種形式的水平荷載，進(jìn)行靜力推覆分析，得到結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移和基底剪力的關(guān)系曲線，這一關(guān)系曲線反應(yīng)了結(jié)構(gòu)抵抗側(cè)移的能力，描述了結(jié)構(gòu)力-非彈性變形的行為，將其轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)等效單自由度體系的譜加速度-譜位移關(guān)系曲線，即為結(jié)構(gòu)的能力譜曲線。

2.1.1 側(cè)向荷載的施加模式

結(jié)構(gòu)靜力推腹時(shí)，側(cè)向力的施加方式：

一般地將側(cè)向荷載定義為下面一個(gè)或多個(gè)的比例組合：（1）、自定義的靜荷載工況或組合，比如定義均勻或倒三角形分布的靜力荷載工況，然后使用此靜力荷載工況作為側(cè)向荷載的分布；（2）、加速度荷載，作用于任意的整體X、Y、Z方向的均勻加速度。在每一節(jié)點(diǎn)的力與分配給節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量成比例，且作用在指定的方向。（3）、振型荷載，選取任意一個(gè)振型，在每一節(jié)點(diǎn)的力與振型位移，振型角頻率平方及分配給節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量成比例。力作用于振型位移方向。通常情況下，加速度荷載相當(dāng)于均勻分布側(cè)向荷載，振型荷載相當(dāng)于倒三角形分布側(cè)向荷載。

2.1.2 建立pushover曲線

按照上述側(cè)向力施加模式對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力推覆，得到原結(jié)構(gòu)體系的頂點(diǎn)位移-基底剪力的曲線。

圖1 Pushover曲線[9]

Fig.1 Pushover Curve [9]

圖中Vb 為基底剪力，UN 為頂點(diǎn)位移。

2.1.3 建立等效單自由度體系能力譜

在得到原結(jié)構(gòu)體系的頂點(diǎn)位移-基地剪力曲線后，按照下述公式建立等效單自由度體系的能力譜曲線。

（2.1-1）

（2.1-2）

式中 Sa —譜加速度

Sd —譜位移

M1 —第一階振型的有效模態(tài)質(zhì)量

（2.1-3）

Γ1 —第一階振型的振型參與系數(shù)

（2.1-4）

ΦN1—第一階振型頂點(diǎn)的振幅

Φj1 —第一階振型在第j層的振幅

圖2 能力譜曲線的建立[8]

Fig.2 Capacity Diagram [8]

2.2 需求譜的建立

結(jié)構(gòu)抗震性能需求譜是在給定地震作用下，不同周期結(jié)構(gòu)的承載力和位移響應(yīng)的需求值。對(duì)于彈性系統(tǒng)，彈性譜加速度需求可以采用常用的地震彈性反應(yīng)譜或設(shè)計(jì)用彈性反應(yīng)譜得到，彈性反應(yīng)譜Sd與彈性譜加速度Sa可以采用下式相互轉(zhuǎn)換 （2.2-1）

圖3 需求譜曲線的轉(zhuǎn)換[8]

Fig.3 Demand diagram[8]

結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性后的抗震性能評(píng)價(jià)需要能夠反映結(jié)構(gòu)彈塑性地震響應(yīng)的彈塑性需求譜。

建立地震彈塑性需求譜有兩種方法：

（1）通過(guò)對(duì)某一場(chǎng)地的地震動(dòng)記錄直接計(jì)算等效單自由度結(jié)構(gòu)的彈塑性譜加速度和譜位移值。該方法需要某一場(chǎng)地的大量地震動(dòng)記錄，并需要能反映結(jié)構(gòu)彈塑性特征的滯回模型，故而使用不多。

（2）通過(guò)將結(jié)構(gòu)的彈塑性耗能等效為阻尼耗能后，采用等效阻尼折減線彈性反應(yīng)譜。

現(xiàn)在抗震設(shè)計(jì)中，大多采用第二種方法，將其能力譜曲線按照能量相等的原理，近似為一個(gè)雙線型彈塑性結(jié)構(gòu)在往復(fù)受力滯回中保持穩(wěn)定，那么它在一個(gè)往復(fù)周期里的彈塑性好能為ED。如果有一個(gè)彈性單自由度體系，它的剛度和彈塑性結(jié)構(gòu)的割線剛度Keq相同，它一個(gè)周期振動(dòng)的阻尼耗能和彈塑性體系一個(gè)往復(fù)阻尼耗能ED相同，那么由下圖可以得到等效阻尼比為

（2.2-2）

圖4 等效雙線性能力譜線

Fig.4 Equivalent bilinear capacity spetrum

圖中，α為屈服后切線剛度與初始剛度的壁紙，即屈服后剛度系數(shù)；Ke為彈性剛度，Keq為割線剛度，Sdy為屈服譜位移，Sdu為最譜大位移，μ為延性系數(shù)；ED為彈塑性滯回耗能；ES為最大應(yīng)變能。

計(jì)算上述雙線型能力譜線時(shí)，等效阻尼比ξeq并非是彈塑性結(jié)構(gòu)的全部阻尼，只是根據(jù)結(jié)構(gòu)自身彈塑性滯回耗能等效出來(lái)的阻尼比，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身還有初始的阻尼比，需要將這兩部分的阻尼比疊加得到結(jié)構(gòu)的阻尼等效阻尼比?？紤]到將結(jié)構(gòu)非彈性變形性能轉(zhuǎn)化為與速度有關(guān)的等效阻尼可能帶來(lái)的誤差，以及彈塑性結(jié)構(gòu)指揮模型的差異，ATC-40[2]中通過(guò)等效阻尼調(diào)整系數(shù)κ進(jìn)行修正后直接與結(jié)構(gòu)的初始阻尼比ξn相加得到彈塑性結(jié)構(gòu)的綜合等效阻尼比

（2.2-3）

等效阻尼調(diào)整系數(shù)κ取值如下圖所示

圖5 等效雙線性能力譜線

Fig.5 Variation of damping modification

factor with equivalent viscous damping

其中，TpyeA為完全理想彈塑性滯回模型；TypeC為剛度和強(qiáng)度退化現(xiàn)象明顯且既有捏攏現(xiàn)象的彈塑性滯回模型；TypeB為介于兩者之間的彈塑性滯回模型。

2.3 在設(shè)防水準(zhǔn)下性能點(diǎn)的求取

性能點(diǎn)的求取是一個(gè)迭代的過(guò)程，迭代步驟如下：

（1）、將結(jié)構(gòu)推腹能力譜曲線轉(zhuǎn)化為二折線的能力譜曲線，并確定能力譜曲線上相應(yīng)的初始嘗試點(diǎn)（Sai，Sdi）；

（2）、計(jì)算等效高阻尼彈性單自由體系的周期Teq和阻尼比ξeq。

（3）、根據(jù)地面運(yùn)動(dòng)記錄或者規(guī)范反應(yīng)譜，計(jì)算對(duì)應(yīng)于等效阻尼比ξeq的等效單自由度結(jié)構(gòu)的彈性反應(yīng)譜，得到對(duì)應(yīng)于周期Teq的單自由度體系譜加速度和譜位移需求（Sdeq Saeq），

（4）、如果初始嘗試點(diǎn)（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，或者相差在一定精度范圍內(nèi)滿足要求，則說(shuō)明等效彈性自由度體系參數(shù)合適，否則，需要調(diào)整（Sai，Sdi），重復(fù)（2）、（3）步直至（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，此時(shí)該點(diǎn)即為結(jié)構(gòu)抗震性能的特征反應(yīng)點(diǎn)，可以分析對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)結(jié)構(gòu)的損傷和破壞情況。

3 計(jì)算實(shí)例

3.1 結(jié)構(gòu)描述

本文選用依照美國(guó)加利福尼亞規(guī)范為SAC工程設(shè)計(jì)的9層鋼結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)主要依靠周邊的鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)抵抗地震作用，所以本文只對(duì)承受主要地震作用的一榀鋼抗彎框架進(jìn)行分析。

本抗彎框架結(jié)構(gòu)寬45.73m，高37.19m，共有5跨，每跨跨距為9.15m。該結(jié)構(gòu)有一個(gè)地下室，高度為3.65m，地上首層高度為5.49m，其余為標(biāo)準(zhǔn)層，高度為3.96m?？蚣芰翰捎脧?qiáng)度為248Mpa的寬翼緣鋼，框架柱采用強(qiáng)度為345Mpa的寬翼緣鋼，柱轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)分別在第二、四、六、八層，高于梁柱節(jié)點(diǎn)1.83m處，柱底鉸接于地面上，周邊土層限制著結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的地震質(zhì)量由鋼框架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件，樓板，設(shè)備層等構(gòu)成，結(jié)構(gòu)第一層分擔(dān)的地震質(zhì)量為5.05×105 kg，第二到八層的質(zhì)量為4.945×105 kg，第九層的質(zhì)量為5.35×105 kg，地面以上結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為4.5×106 kg.。

圖7 9層鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)圖

Fig.7 Nine-story benchmark building moment-resistant frame

為分析此框架結(jié)構(gòu)抗震性能，本結(jié)構(gòu)按照GB50011-2010建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)定的抗震設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行設(shè)防，設(shè)防地震烈度為8度（0.2g），設(shè)計(jì)地震分組為第二組，II類場(chǎng)地，框架抗震等級(jí)為三級(jí)，場(chǎng)地地震周期在多遇地震下為0.4s，在罕遇地震下為0.45s，考慮幾何非線性P-△效應(yīng)影響。

本算例FEMA356報(bào)告中對(duì)鋼梁鋼柱塑性鉸模型的定義，對(duì)梁?jiǎn)卧诹旱膬啥耸┘觾H考慮彎矩屈服的塑性鉸（M3），將塑性鉸賦予梁的兩端，對(duì)柱單元，考慮由軸力和雙向彎矩相關(guān)作用產(chǎn)生的的塑性鉸（PMM），將塑性鉸賦予柱的兩端。

2.2 有限元模型驗(yàn)證

利用有限元軟件sap2000建立9層鋼框架結(jié)構(gòu)的模型，并對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析，采用集中質(zhì)量法，將每層的質(zhì)量施加到對(duì)應(yīng)的每層梁柱接點(diǎn)上，并考慮梁柱質(zhì)量折減后得到結(jié)果前三階頻率，與美國(guó)ASCE結(jié)構(gòu)控制委員會(huì)用MATLAB仿真計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果誤差在5%以內(nèi)，驗(yàn)證了模型的正確性。

2.3 pushover分析結(jié)果

對(duì)結(jié)構(gòu)采用振型荷載，均布荷載，施加方式施加側(cè)向力，得到相應(yīng)的pushover曲線，并利用上文所述的性能點(diǎn)求解方法，確定出在結(jié)構(gòu)在8度多遇地震以及8度罕遇地震下的性能點(diǎn)，并得出在性能點(diǎn)狀態(tài)下各層層間相對(duì)位移曲線，以及層間位移角，與GB5002-2010建筑設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)范條文進(jìn)行比較。

對(duì)上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行八度罕遇地震水準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算。

在罕遇地震時(shí)，結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.05.

3 結(jié)論

1）本結(jié)構(gòu)能滿足在8度多遇地震下彈性變形，8度罕遇地震下彈塑性變形。

2）作為一種重要的靜力彈塑性分析方法，能力譜法能夠有效評(píng)估結(jié)構(gòu)在給定地震水準(zhǔn)下的結(jié)構(gòu)性能。

參考文獻(xiàn)：

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[6]Ohtori， Y.， Christenson， R. E.， Spencer， B. F.， Jr.， and Dyke， S. J. Benchmark control problems for seismically excited nonlinear buildings[J]， Notre Dame University， Indiana， 2000

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[8] FEMA 356，Prestantard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings[R]，F(xiàn)ederal Emergency Management Agency，Washington，D.C. 2000

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張宇亮

【摘要】本文基于能力譜法，結(jié)合我國(guó)地震烈度設(shè)防規(guī)定給出了適合我國(guó)地震烈度設(shè)防的計(jì)算步驟，并結(jié)合sap2000有限元程序利用能力譜法對(duì)一個(gè)9層鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行了評(píng)估，表明能力譜法是結(jié)構(gòu)抗震性能評(píng)估的有效方法。

【關(guān)鍵詞】靜力彈塑性分析，能力譜法，需求譜

能力譜法是靜力彈塑性抗震設(shè)計(jì)方法中應(yīng)用比較普遍的一種方法。1975年由Freeman[1]提出，1987年由Fajfa[2]以N2法的形式發(fā)表，到1996年被美國(guó)ATC-40[3]規(guī)范采用，也是日本建筑基準(zhǔn)法BSL2000采用的方法[4]，到2005年，美國(guó)應(yīng)急管理署FEMA440[5]對(duì)能力譜法做了完善的改進(jìn)后，被美國(guó)聯(lián)邦公路協(xié)會(huì)采用在橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中。

本文利用能力譜法對(duì)美國(guó)鋼結(jié)構(gòu)SAC工程中設(shè)計(jì)建造的9層鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)模型[6]，在中國(guó)地震烈度設(shè)防水準(zhǔn)下的抗震性能進(jìn)行了分析。

1 能力譜法

1.1 基本假定

能力譜法基于以下兩個(gè)基本假定[7]：

（1）、實(shí)際結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)與某一等效單自由度體系的反應(yīng)相關(guān)，也就是結(jié)構(gòu)的地震相應(yīng)僅由第一振型控制；

（2）、在地震過(guò)程中，不論結(jié)構(gòu)變形大小，分析所假定的結(jié)構(gòu)沿高度方向的形狀向量都保持不變。

1.2 基本原理

基于以上兩個(gè)假定，能力譜法將多自由度體系轉(zhuǎn)化為非彈性的等效單自由度體系，將原結(jié)構(gòu)體系通過(guò)靜力推覆得到的基地剪力-頂點(diǎn)位移曲線轉(zhuǎn)化為等效單自由度體系的譜位移-譜加速度格式的能力譜，并且按照此非線性單自由度體系的阻尼比對(duì)設(shè)計(jì)規(guī)范反應(yīng)譜進(jìn)行折減，得到針對(duì)該等效單自由度體系在給定地震水準(zhǔn)下的彈塑性反應(yīng)譜，并轉(zhuǎn)化為譜位移-譜加速度格式，將能力譜和需求譜結(jié)合在一起，求出在給定地震作用下，等效單自由度體系的性能點(diǎn)，通過(guò)性能點(diǎn)反推到多自由度體系結(jié)構(gòu)中的頂點(diǎn)和基底剪力，再根據(jù)基本假定，求出原結(jié)構(gòu)各層的層間位移，屈服機(jī)制等結(jié)構(gòu)性能，來(lái)評(píng)估原結(jié)構(gòu)是否滿足在指定地震水準(zhǔn)下的性能目標(biāo)。

2 能力譜法的技術(shù)路線

2.1能力譜的建立

能力譜：對(duì)結(jié)構(gòu)模型施加逐步施加某種形式的水平荷載，進(jìn)行靜力推覆分析，得到結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移和基底剪力的關(guān)系曲線，這一關(guān)系曲線反應(yīng)了結(jié)構(gòu)抵抗側(cè)移的能力，描述了結(jié)構(gòu)力-非彈性變形的行為，將其轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)等效單自由度體系的譜加速度-譜位移關(guān)系曲線，即為結(jié)構(gòu)的能力譜曲線。

2.1.1 側(cè)向荷載的施加模式

結(jié)構(gòu)靜力推腹時(shí)，側(cè)向力的施加方式：

一般地將側(cè)向荷載定義為下面一個(gè)或多個(gè)的比例組合：（1）、自定義的靜荷載工況或組合，比如定義均勻或倒三角形分布的靜力荷載工況，然后使用此靜力荷載工況作為側(cè)向荷載的分布；（2）、加速度荷載，作用于任意的整體X、Y、Z方向的均勻加速度。在每一節(jié)點(diǎn)的力與分配給節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量成比例，且作用在指定的方向。（3）、振型荷載，選取任意一個(gè)振型，在每一節(jié)點(diǎn)的力與振型位移，振型角頻率平方及分配給節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量成比例。力作用于振型位移方向。通常情況下，加速度荷載相當(dāng)于均勻分布側(cè)向荷載，振型荷載相當(dāng)于倒三角形分布側(cè)向荷載。

2.1.2 建立pushover曲線

按照上述側(cè)向力施加模式對(duì)多自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力推覆，得到原結(jié)構(gòu)體系的頂點(diǎn)位移-基底剪力的曲線。

圖1 Pushover曲線[9]

Fig.1 Pushover Curve [9]

圖中Vb 為基底剪力，UN 為頂點(diǎn)位移。

2.1.3 建立等效單自由度體系能力譜

在得到原結(jié)構(gòu)體系的頂點(diǎn)位移-基地剪力曲線后，按照下述公式建立等效單自由度體系的能力譜曲線。

（2.1-1）

（2.1-2）

式中 Sa —譜加速度

Sd —譜位移

M1 —第一階振型的有效模態(tài)質(zhì)量

（2.1-3）

Γ1 —第一階振型的振型參與系數(shù)

（2.1-4）

ΦN1—第一階振型頂點(diǎn)的振幅

Φj1 —第一階振型在第j層的振幅

圖2 能力譜曲線的建立[8]

Fig.2 Capacity Diagram [8]

2.2 需求譜的建立

結(jié)構(gòu)抗震性能需求譜是在給定地震作用下，不同周期結(jié)構(gòu)的承載力和位移響應(yīng)的需求值。對(duì)于彈性系統(tǒng)，彈性譜加速度需求可以采用常用的地震彈性反應(yīng)譜或設(shè)計(jì)用彈性反應(yīng)譜得到，彈性反應(yīng)譜Sd與彈性譜加速度Sa可以采用下式相互轉(zhuǎn)換 （2.2-1）

圖3 需求譜曲線的轉(zhuǎn)換[8]

Fig.3 Demand diagram[8]

結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性后的抗震性能評(píng)價(jià)需要能夠反映結(jié)構(gòu)彈塑性地震響應(yīng)的彈塑性需求譜。

建立地震彈塑性需求譜有兩種方法：

（1）通過(guò)對(duì)某一場(chǎng)地的地震動(dòng)記錄直接計(jì)算等效單自由度結(jié)構(gòu)的彈塑性譜加速度和譜位移值。該方法需要某一場(chǎng)地的大量地震動(dòng)記錄，并需要能反映結(jié)構(gòu)彈塑性特征的滯回模型，故而使用不多。

（2）通過(guò)將結(jié)構(gòu)的彈塑性耗能等效為阻尼耗能后，采用等效阻尼折減線彈性反應(yīng)譜。

現(xiàn)在抗震設(shè)計(jì)中，大多采用第二種方法，將其能力譜曲線按照能量相等的原理，近似為一個(gè)雙線型彈塑性結(jié)構(gòu)在往復(fù)受力滯回中保持穩(wěn)定，那么它在一個(gè)往復(fù)周期里的彈塑性好能為ED。如果有一個(gè)彈性單自由度體系，它的剛度和彈塑性結(jié)構(gòu)的割線剛度Keq相同，它一個(gè)周期振動(dòng)的阻尼耗能和彈塑性體系一個(gè)往復(fù)阻尼耗能ED相同，那么由下圖可以得到等效阻尼比為

（2.2-2）

圖4 等效雙線性能力譜線

Fig.4 Equivalent bilinear capacity spetrum

圖中，α為屈服后切線剛度與初始剛度的壁紙，即屈服后剛度系數(shù)；Ke為彈性剛度，Keq為割線剛度，Sdy為屈服譜位移，Sdu為最譜大位移，μ為延性系數(shù)；ED為彈塑性滯回耗能；ES為最大應(yīng)變能。

計(jì)算上述雙線型能力譜線時(shí)，等效阻尼比ξeq并非是彈塑性結(jié)構(gòu)的全部阻尼，只是根據(jù)結(jié)構(gòu)自身彈塑性滯回耗能等效出來(lái)的阻尼比，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身還有初始的阻尼比，需要將這兩部分的阻尼比疊加得到結(jié)構(gòu)的阻尼等效阻尼比。考慮到將結(jié)構(gòu)非彈性變形性能轉(zhuǎn)化為與速度有關(guān)的等效阻尼可能帶來(lái)的誤差，以及彈塑性結(jié)構(gòu)指揮模型的差異，ATC-40[2]中通過(guò)等效阻尼調(diào)整系數(shù)κ進(jìn)行修正后直接與結(jié)構(gòu)的初始阻尼比ξn相加得到彈塑性結(jié)構(gòu)的綜合等效阻尼比

（2.2-3）

等效阻尼調(diào)整系數(shù)κ取值如下圖所示

圖5 等效雙線性能力譜線

Fig.5 Variation of damping modification

factor with equivalent viscous damping

其中，TpyeA為完全理想彈塑性滯回模型；TypeC為剛度和強(qiáng)度退化現(xiàn)象明顯且既有捏攏現(xiàn)象的彈塑性滯回模型；TypeB為介于兩者之間的彈塑性滯回模型。

2.3 在設(shè)防水準(zhǔn)下性能點(diǎn)的求取

性能點(diǎn)的求取是一個(gè)迭代的過(guò)程，迭代步驟如下：

（1）、將結(jié)構(gòu)推腹能力譜曲線轉(zhuǎn)化為二折線的能力譜曲線，并確定能力譜曲線上相應(yīng)的初始嘗試點(diǎn)（Sai，Sdi）；

（2）、計(jì)算等效高阻尼彈性單自由體系的周期Teq和阻尼比ξeq。

（3）、根據(jù)地面運(yùn)動(dòng)記錄或者規(guī)范反應(yīng)譜，計(jì)算對(duì)應(yīng)于等效阻尼比ξeq的等效單自由度結(jié)構(gòu)的彈性反應(yīng)譜，得到對(duì)應(yīng)于周期Teq的單自由度體系譜加速度和譜位移需求（Sdeq Saeq），

（4）、如果初始嘗試點(diǎn)（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，或者相差在一定精度范圍內(nèi)滿足要求，則說(shuō)明等效彈性自由度體系參數(shù)合適，否則，需要調(diào)整（Sai，Sdi），重復(fù)（2）、（3）步直至（Sai，Sdi）和（Sdeq Saeq）相同，此時(shí)該點(diǎn)即為結(jié)構(gòu)抗震性能的特征反應(yīng)點(diǎn)，可以分析對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)結(jié)構(gòu)的損傷和破壞情況。

3 計(jì)算實(shí)例

3.1 結(jié)構(gòu)描述

本文選用依照美國(guó)加利福尼亞規(guī)范為SAC工程設(shè)計(jì)的9層鋼結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)主要依靠周邊的鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)抵抗地震作用，所以本文只對(duì)承受主要地震作用的一榀鋼抗彎框架進(jìn)行分析。

本抗彎框架結(jié)構(gòu)寬45.73m，高37.19m，共有5跨，每跨跨距為9.15m。該結(jié)構(gòu)有一個(gè)地下室，高度為3.65m，地上首層高度為5.49m，其余為標(biāo)準(zhǔn)層，高度為3.96m。框架梁采用強(qiáng)度為248Mpa的寬翼緣鋼，框架柱采用強(qiáng)度為345Mpa的寬翼緣鋼，柱轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)分別在第二、四、六、八層，高于梁柱節(jié)點(diǎn)1.83m處，柱底鉸接于地面上，周邊土層限制著結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)的地震質(zhì)量由鋼框架結(jié)構(gòu)的構(gòu)件，樓板，設(shè)備層等構(gòu)成，結(jié)構(gòu)第一層分擔(dān)的地震質(zhì)量為5.05×105 kg，第二到八層的質(zhì)量為4.945×105 kg，第九層的質(zhì)量為5.35×105 kg，地面以上結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為4.5×106 kg.。

圖7 9層鋼抗彎框架結(jié)構(gòu)圖

Fig.7 Nine-story benchmark building moment-resistant frame

為分析此框架結(jié)構(gòu)抗震性能，本結(jié)構(gòu)按照GB50011-2010建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)定的抗震設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行設(shè)防，設(shè)防地震烈度為8度（0.2g），設(shè)計(jì)地震分組為第二組，II類場(chǎng)地，框架抗震等級(jí)為三級(jí)，場(chǎng)地地震周期在多遇地震下為0.4s，在罕遇地震下為0.45s，考慮幾何非線性P-△效應(yīng)影響。

本算例FEMA356報(bào)告中對(duì)鋼梁鋼柱塑性鉸模型的定義，對(duì)梁?jiǎn)卧?，在梁的兩端施加僅考慮彎矩屈服的塑性鉸（M3），將塑性鉸賦予梁的兩端，對(duì)柱單元，考慮由軸力和雙向彎矩相關(guān)作用產(chǎn)生的的塑性鉸（PMM），將塑性鉸賦予柱的兩端。

圖8 FEMA356報(bào)告中的塑性鉸模型

Fig.8 The plastic hinges in FEMA356 report

2.2 有限元模型驗(yàn)證

利用有限元軟件sap2000建立9層鋼框架結(jié)構(gòu)的模型，并對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析，采用集中質(zhì)量法，將每層的質(zhì)量施加到對(duì)應(yīng)的每層梁柱接點(diǎn)上，并考慮梁柱質(zhì)量折減后得到結(jié)果前三階頻率，與美國(guó)ASCE結(jié)構(gòu)控制委員會(huì)用MATLAB仿真計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果誤差在5%以內(nèi)，驗(yàn)證了模型的正確性。

2.3 pushover分析結(jié)果

對(duì)結(jié)構(gòu)采用振型荷載，均布荷載，施加方式施加側(cè)向力，得到相應(yīng)的pushover曲線，并利用上文所述的性能點(diǎn)求解方法，確定出在結(jié)構(gòu)在8度多遇地震以及8度罕遇地震下的性能點(diǎn)，并得出在性能點(diǎn)狀態(tài)下各層層間相對(duì)位移曲線，以及層間位移角，與GB5002-2010建筑設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)范條文進(jìn)行比較。

對(duì)上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行八度罕遇地震水準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算。

在罕遇地震時(shí)，結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.05.

3 結(jié)論

1）本結(jié)構(gòu)能滿足在8度多遇地震下彈性變形，8度罕遇地震下彈塑性變形。

2）作為一種重要的靜力彈塑性分析方法，能力譜法能夠有效評(píng)估結(jié)構(gòu)在給定地震水準(zhǔn)下的結(jié)構(gòu)性能。