制圖綜合方法研究

王樹東

【摘要】針對地圖中水系、道路、境界線等要素的制圖綜合問題，利用小波分析的多分辨率分析原理，提出了曲線綜合的數(shù)學(xué)模型，并對線狀要素進(jìn)行綜合和平滑，實(shí)現(xiàn)了對曲線的制圖綜合。 【關(guān)鍵詞】 曲線綜合；多分辨率分析；多尺度表達(dá)；數(shù)學(xué)模型

制圖綜合的目的就是在有限的圖面上盡可能多的反映相對重要的物體，即模型綜合和圖形綜合。制圖綜合是隨比例尺變小而進(jìn)行的信息簡化，為了使空間信息保持清晰和簡潔，更能反映對象空間信息的整體特征，產(chǎn)生了各種處理方法。它是為了防止由于比例尺變化造成的表達(dá)空間的不足、數(shù)據(jù)的混亂和堆積。通常是通過對空間目標(biāo)進(jìn)行刪除、變形以及重采樣來達(dá)到對空間信息的減少，在信息減少的過程中帶來了許多問題，如符號化問題、變形、移位等。小波的基本思想是根據(jù)不同尺度來分析信號，隨著小波分析在數(shù)學(xué)上的發(fā)展和完善，因其具有函數(shù)逼近功能、多尺度特性、快速算法等性質(zhì)，故在圖形圖像領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。在GIS圖形數(shù)據(jù)多比例尺表達(dá)研究方面，多分辨率分析與制圖綜合具有天然的聯(lián)系，在線狀要素綜合方面已取得了不少成果?？梢哉J(rèn)為，曲線綜合過程就是不斷地逼近信號的長周期發(fā)展趨勢，在地圖數(shù)據(jù)庫中存儲的數(shù)據(jù)一般都是特征點(diǎn)，這些特征點(diǎn)實(shí)際上都是間斷點(diǎn)、尖銳變化點(diǎn)。因此對于這些點(diǎn)不能簡單地對它平滑，不僅要在一定程度上保留它的奇異性，并且要決定這個奇異點(diǎn)在不同比例尺的地形圖上是不是需要保留，同時希望建立一種數(shù)學(xué)模型能夠解決曲線多值性問題，綜合后的數(shù)據(jù)應(yīng)具有一定光滑性、良好的精度和視覺效果。本文利用多分辨率分析小波原理，建立線狀要素綜合模型，并對對線狀要素進(jìn)行綜合實(shí)驗(yàn)，以及對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析。

1小波分析與線狀要素關(guān)系

小波分析的成果是顯著的，前人的研究明確地指出了小波的多分辨率分析與制圖綜合的關(guān)系，并且建立了基于多分辨率分析的自動綜合模型，給出了曲線綜合模型的運(yùn)行圖框。在模型拓展中，談到了這種模型僅能適用單值函數(shù) 的情況，但是GIS圖形往往是各向波動的閉合曲線，在小波分析的特點(diǎn)中，引人注目的有兩個。多分辨率分析[10][11]和數(shù)據(jù)長周期發(fā)展信息的提取[12]。使用最多的是二進(jìn)小波。所以建立如下的基于二進(jìn)小波的線狀要素多分辨率模型：把細(xì)節(jié)程度最少的線狀要素用 表示，就是曲線兩個端點(diǎn)的連線，由兩個點(diǎn)組成（如果曲線閉合，可以把它分成2個曲線）。建立不同尺度下的線狀要素 ， 由 個離散點(diǎn)點(diǎn)逼近原曲線。這樣，就把線狀要素的綜合過程和Mallat的多分辨率分析建立了聯(lián)系。當(dāng)然這個尺度和Mallat的尺度是不同的，Mallat的尺度是雙無限的空間，線狀要素是單無限的，最小值為0，隨著尺度m越來越大，線狀要素的細(xì)節(jié)信息越來越多。綜合就是已知 ，求取 ，（ ）的過程。為了連續(xù)的表達(dá)不同分辨率的線狀要素，彌補(bǔ)二進(jìn)制分辨率的等級限制，允許有小數(shù)尺度 。小波分析能夠監(jiān)測數(shù)據(jù)長周期發(fā)展，小波分析能夠提取淹沒在強(qiáng)噪聲中的長周期信息，并且這種長周期信息一般隱藏在多級分解的細(xì)部信息里面。趨勢是信號中最慢變化的部分。在小波分析中，這就反映為更高尺度。隨著尺度的增加，分辨率減少，產(chǎn)生更好的，對未知趨勢的估計(jì)。另一種認(rèn)為這是一個頻率問題。連續(xù)的接近使越來越多的高頻信息丟失了，同時剩下的就是信號的趨勢。一個成功的例子是湮沒在噪聲中的信號趨勢的提取。值得提醒的是，趨勢是信號中最緩慢的變化的部分，但是如果信號本身有尖銳的變化，這種逼近就離原是信號越來越遠(yuǎn)了。

2 數(shù)學(xué)模型的建立與模型特點(diǎn)

2.1 模型的建立

使用離散小波處理信號，被處理函數(shù)應(yīng)該是單值而且是規(guī)則化的，顯然在計(jì)算機(jī)存儲的曲線是一個多值且不規(guī)則的，這就需要建立新的模型，使曲線數(shù)據(jù)符合離散小波的要求。

從小波的特點(diǎn)出發(fā)將空間 看成是某地理空間， 看成是該空間的各種信息，那么， 則可看成 在不同分辨率下的地理空間模型[2]。曲線可以表達(dá)為 ，顯然這個函數(shù)是一個多值函數(shù)。在小波分析中，是不能出現(xiàn)多值函數(shù)的，需要對多值函數(shù)進(jìn)行單值化。

首先沿曲線長度對曲線離散化。設(shè)離散化后的點(diǎn)有 個，就是曲線尺度 ，要滿足點(diǎn)之間的曲線長度一致。然后把曲線用微分表達(dá)：

，

就變?yōu)榱?。再把曲線 用極坐標(biāo)表示，設(shè)：

， （1）

顯然，是沿曲線等長采樣 。 = ，這樣函數(shù)就被單值化了，這也是一個曲線插值的過程，只要 值取得足夠小，就能保證曲線的采樣精度。

曲線處理前后的長度和角度變化規(guī)律如圖2，有一個 的細(xì)部信息，在不同的尺度下，這個小的三角形被逐漸壓抑，直到被消除。在某2個的尺度 （j>i）的角度 為， = ?？梢钥醋?是 ， 在上面的投影角度，

（2）

這樣看來 就是要求的長度。但是在實(shí)際使用中，不能準(zhǔn)確地給出 ，就沒有 ，也就不能簡單的利用上面的公式?？梢岳孟旅孢@兩種方法解決：（1）.直接使用 ；（2）.建立 于 的函數(shù)模型，很明顯 變化小， 的變化就不會很大。

為了得到更好的效果，本文做了以下的改進(jìn)：

⑴.關(guān)于閾值函數(shù)的選取。使用了半軟閾值。閾值函數(shù)體現(xiàn)出了對超過和低于閾值的小波系數(shù)模型的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。設(shè)ω是原始小波系數(shù)，η（ω）表示閾值化后的系數(shù)，T是閾值，

I（x）=1，x是真；I（x）=0，x是假。

硬閾值方法可以很好的保留信號邊緣等局部特征，但信號會出現(xiàn)振鈴，偽吉布斯效應(yīng)等，而軟閾值處理相對要平滑，但可能造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。可以兼顧軟閾值和硬閾值方法的優(yōu)點(diǎn)，克服了上述缺陷，采用如下表達(dá)式：

其中 。 （3）

令 ，就需要找到 。

⑵.閾值的估計(jì)。李氏指數(shù)和小波系數(shù)極大值之間的關(guān)系：若小波是實(shí)函數(shù)且連續(xù)可微，并具有n階消失矩（ ）， ，則函數(shù) 在 處具有Lipschitz指數(shù)α，當(dāng)存在常數(shù)K，使得 ，且小波變換滿足：

（4）

設(shè) 是函數(shù) 局部突變點(diǎn)（奇異點(diǎn)），則在該點(diǎn)處 的小波分析取得極大值。在第j級分解中找到其中的最大絕對值系數(shù) ，設(shè) ，需要為每一級分解設(shè)計(jì)一個 ，把它叫做相對閾值。然后利用（3），就完成了對角度信息的處理，其具有自適應(yīng)的成分。

2.2 模型特點(diǎn)：

⑴.角度是有周期性的，周期為2 的。當(dāng) 由略小于2 變化到略大于0，如果角度 僅使用[0 ，2 ]這個區(qū)間的值，這就理解為了一個大的奇異點(diǎn)，實(shí)際上這個點(diǎn)并不是。如果 中相鄰兩個點(diǎn) = - > ，則利用 的周期性，讓 改變2n ，滿足 < 。

⑵.因?yàn)樾〔ㄗ儞Q處理前后點(diǎn)的數(shù)量沒有改變，所以各個級別的曲線長度沒有改變，實(shí)際上，隨著曲線細(xì)節(jié)信息的丟失，曲線長度也逐漸遞減。因此在對角度信息處理之后，必須對曲線的長度進(jìn)行處理。即把整個綜合過程分為了兩步，首先對角度處理，再對長度處理，且長度的變化能不能很好的確定是模型能不能使用的關(guān)鍵。

⑶.誤差積累。由于綜合的過程是對角度信息的處理。角度信息改變后，逐點(diǎn)的計(jì)算 ，再計(jì)算x、y。顯然x、y的計(jì)算結(jié)果受到前面點(diǎn)的影響，前面如果出現(xiàn)誤差并且這些誤差的方向不是隨機(jī)的，這些誤差會積累，最終影響曲線的重構(gòu)精度。

3 結(jié)論

在實(shí)驗(yàn)中，我把這段曲線共分解11，在各個級別中，有小的信息被刪除了，經(jīng)過仔細(xì)觀察，很明顯的看到不少細(xì)節(jié)信息沒有了，曲線變得很光滑，兩條曲線結(jié)合的很好，在曲線中小的彎曲的確是被刪除了，綜合的效果很好；如果刪除更多級別的信息，曲線變形很大，和制圖綜合的理論也是吻合的；模型對數(shù)據(jù)的壓縮能力，當(dāng)使用小波壓縮時，下一級的細(xì)部信息僅使用了上一級一般的記錄點(diǎn)。計(jì)算小波重構(gòu)中使用數(shù)據(jù)的數(shù)量，相對于原曲線還是有一定的壓縮力。也可以把經(jīng)典的曲線壓縮的方法作用于這兩個級別的曲線，能獲得更好的壓縮比和綜合效果；更多的分級曲線，可以通過使用不同的相對閾值系數(shù)來獲取。

結(jié)合小波分析和長周期信號的提取與線狀要素?cái)?shù)據(jù)建立起聯(lián)系。從微分弧段的角度重新看待了原始數(shù)據(jù)，使用小波的方法進(jìn)行曲線綜合。小波分析把線狀要素的不同長度、不同曲率的彎曲分解到了不同等級的小波系數(shù)里面，且滿足李氏指數(shù)的規(guī)律。使用小波系數(shù)的閾值壓抑技術(shù)，壓抑絕對值較小的小波系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了壓抑線狀要素的彎曲效果，解決了綜合中曲線問題，并且能夠根據(jù)人們的需要，使用不同的閾值，能夠生產(chǎn)出不同復(fù)雜程度的曲線，還保持了原始地圖的特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

1、吳艷蘭；地貌三維綜合的地圖代數(shù)模型和方法研究[D]；武漢大學(xué)；2004年。

2、毋河海；基于擴(kuò)展分形的地圖信息自動綜合研究[J]；地理科學(xué)進(jìn)展；2001年S1期