基于二分法和三分法的圓度誤差評定

李秀梅 劉愛平

山東中煙工業(yè)有限公司青州卷煙廠 ?劉愛平

【摘要】本文提出了最小外接圓二分法和最大內(nèi)接圓三分法的圓度誤差評定法，并分別給出了最小外接圓和最大內(nèi)接圓的評定算法，該算法經(jīng)過試驗驗證，可有效地解決最小外接圓和最大內(nèi)接圓的評定問題。

【關(guān)鍵詞】最小外接圓;最大內(nèi)接圓;二分法;三分法

1.引言

圓度誤差是指實(shí)際輪廓相對于理想圓的變動量。評定圓度常用4種方法：最小二乘圓法、最小外接圓法、最大內(nèi)接圓法和最小區(qū)域圓法。最小外接圓適用于軸類零件的圓度評定;最大內(nèi)接圓則適用于孔類零件的圓度評定。最小外接圓和最大內(nèi)接圓的判別準(zhǔn)則為：銳角三角形準(zhǔn)則和直徑準(zhǔn)則。

Jywe等[1]提出了最小外接圓按照從大到小排列的極徑中不斷選取特征點(diǎn);最大內(nèi)接圓則從小到大排列的極徑中不斷選取特征點(diǎn)。林家春等[2]提出了最小外接圓選取特征點(diǎn)的搜索方向和步長的計算方法。張春陽等[3]提出了基于幾何優(yōu)化的圓度誤差評定算法。

本文基于“小偏差假設(shè)”和“小誤差假設(shè)”條件下利用二分法將測量數(shù)據(jù)劃分為兩部分，從這兩部分選取最小外接圓的特征點(diǎn);利用三分法將測量數(shù)據(jù)劃分為三部分，根據(jù)向量數(shù)量積，舍棄其中一部分，從另外兩部分?jǐn)?shù)據(jù)中選取最大內(nèi)接圓的特征點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)圓度誤差評定。

2.最小外接圓——二分法

設(shè)測量點(diǎn)，n為測量點(diǎn)數(shù)。如圖1（a）所示，特征點(diǎn)A、B、C滿足最小外接圓銳角三角形準(zhǔn)則。點(diǎn)是最小外接圓圓心。過點(diǎn)A和圓心的直線將測量數(shù)據(jù)Ⅰ和Ⅱ，最小外接圓的另外候選點(diǎn)分別從Ⅰ、Ⅱ中選取。

具體算法如下：

（1）如圖1（b）所示，根據(jù)測量點(diǎn)計算最小二乘圓心，并計算測量點(diǎn)至最小二乘圓心的距離：

第一候選點(diǎn)A滿足：

（2）如圖1（c）所示，測量點(diǎn)被直線OA分為Ⅰ和Ⅱ。確定過點(diǎn)A與其它測量點(diǎn)的垂直平分線與直線OA的交點(diǎn)，再計算該交點(diǎn)至點(diǎn)A的距離（對應(yīng)數(shù)據(jù)Ⅰ）和（對應(yīng)數(shù)據(jù)Ⅱ）為：

式中：

第二、三候選點(diǎn)滿足：和

如圖上述三個候選點(diǎn)滿足銳角三角形準(zhǔn)則，并且過這三點(diǎn)的外接圓包容所有的測量點(diǎn)，則這三個候選點(diǎn)是最小外接圓的特征點(diǎn);如果有測量點(diǎn)位于過這三點(diǎn)的外接圓之外，之外最大距離點(diǎn)代替三個候選點(diǎn)中的一點(diǎn)，再構(gòu)造外接圓，直至確定滿足最小外接圓的特征點(diǎn)。

3.最大內(nèi)接圓——三分法

如圖2所示，點(diǎn)A、B、C滿足最大內(nèi)接圓銳角三角形準(zhǔn)則，是最大內(nèi)接圓的特征點(diǎn)。點(diǎn)是最大內(nèi)接圓圓心。過點(diǎn)A做直線A的垂線，該垂線與直線A將測量數(shù)據(jù)分成Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ，最大內(nèi)接圓的另外候選點(diǎn)分別從Ⅰ、Ⅱ中選取，數(shù)據(jù)Ⅲ中的被舍去。

設(shè)測量點(diǎn)，被舍去數(shù)據(jù)Ⅲ滿足：

具體算法如下：

（1）根據(jù)測量點(diǎn)計算最小二乘圓心，并計算測量點(diǎn)至最小二乘圓心的距離：

第一候選點(diǎn)A滿足：

（2）測量點(diǎn)分為：

Ⅰ，和數(shù)據(jù)Ⅲ（舍去）。計算（對應(yīng)數(shù)據(jù)Ⅰ）和（對應(yīng)數(shù)據(jù)Ⅱ），第二、三候選點(diǎn)滿足：和。

圖1 最小外接圓

圖2 最大內(nèi)接圓

如圖上述三個候選點(diǎn)滿足銳角三角形準(zhǔn)則，并且所有測量點(diǎn)位于過這三點(diǎn)的內(nèi)接圓之外，則這三個候選點(diǎn)是最小外接圓的特征點(diǎn);如果有測量點(diǎn)位于過這三點(diǎn)的內(nèi)接圓之內(nèi)，之內(nèi)最小距離點(diǎn)代替三個候選點(diǎn)中的一點(diǎn)，再構(gòu)造內(nèi)接圓，直至確定滿足最大內(nèi)接圓的特征點(diǎn)。

4.驗證

為了驗證本文提出方法的有效性，以文獻(xiàn)[4]中的數(shù)據(jù)作為實(shí)驗數(shù)據(jù)，計算結(jié)果如表1所示。最小外接圓的特征點(diǎn)為10、15和28;最大內(nèi)接圓的特征點(diǎn)為16、19和1。特征點(diǎn)與文獻(xiàn)[4]中的結(jié)果一致。

5.結(jié)論

本文使用二分法和三分法原理來解決最小外接圓和最大內(nèi)接圓的評定過程，并給出了最小外接圓和最大內(nèi)接圓的評定算法，經(jīng)過試驗驗證，所得到的結(jié)果與其它評定算法完全一致，從而說明該方法可有效地解決最小外接圓和最大內(nèi)接圓的評定。

參考文獻(xiàn)

[1]Wen-Yuh Jywe，Chien-Hong Liu，Chao-Kuang Chen.The min-max problem for evaluating the form error of a circle.Measurement，1999，26（4）：273-282.

[2]林家春，石照耀.基于力學(xué)思想的最小外接圓度誤差評定[J].儀器儀表學(xué)報，2010，31（6）：1405-1410.

[3]張春陽，雷賢卿，李濟(jì)順，段明德.基于幾何優(yōu)化的圓度誤差評定算法[J].機(jī)械工程學(xué)報，2010，46（12）：8-12.

[4]Gadelmawla ES.Simple and efficient algorithms for roundness evaluation form the coordinate measurement data.Measurement 2010，43（2）：223-235.