玩具中的物理：鑲嵌雪花片的滾動軌跡＊

邱為鋼 陶 濤 俞嘉玲 王妍妍 林超君

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

有趣的玩具蘊(yùn)含不少高深的物理，現(xiàn)象看起來非常簡單直觀，但分析起來需要普通物理甚至理論物理的知識.本文研究兩個(gè)鑲嵌雪花片在地面上的滾動軌跡.把雪花片（如圖1所示）的側(cè)邊涂上顏料，在水平地面上滾動起來，顏料就在地面上留下兩條對稱的軌跡.仔細(xì)觀察，這兩條軌跡具有周期性，即某一特征曲線段周期重復(fù).那么這個(gè)周期性軌跡是否具有解析表達(dá)式，周期長度與哪些幾何（物理）量有關(guān)？

圖1

由立體幾何知識可知

由圖2可知OH＝OKsinβ，2OK＝O1K＋O2K.由（1）、（2）兩式計(jì)算得到質(zhì)心縱坐標(biāo)為

圖2

鑲嵌雪花片的滾動可以分解為質(zhì)心的平動和饒質(zhì)心的三維轉(zhuǎn)動.三維轉(zhuǎn)動又可以分解為饒3個(gè)方向轉(zhuǎn)動的疊加.取一個(gè)在質(zhì)心的正交坐標(biāo)系O x y z，第1次繞z軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的坐標(biāo)軸變?yōu)镺 x′y′z′.第2次的轉(zhuǎn)動方向只能選x′軸方向或y′方向，轉(zhuǎn)動后的坐標(biāo)軸變?yōu)镺 x″y″z″，第3次轉(zhuǎn)動方向不能與第2次重合，所以總的轉(zhuǎn)軸方向組合只有以下4種：z x′y″，z x′z″，z y′x″，z y′z″.最常用的歐拉轉(zhuǎn)動對應(yīng)最后一種，而本文中的轉(zhuǎn)動對應(yīng)第3種，這也是處理這個(gè)滾動模型的最重要的突破口.起始時(shí)刻圓心連線O1O2與地面平行，選為x軸方向，垂直地面向上為z軸方向，與x軸和z軸都垂直的是y軸方向；繞質(zhì)心O的轉(zhuǎn)動分解為3個(gè)轉(zhuǎn)動的疊加，第1個(gè)轉(zhuǎn)動是繞z軸轉(zhuǎn)動φ角度，第2個(gè)轉(zhuǎn)動是繞y′軸轉(zhuǎn)動-β角度，第3個(gè)轉(zhuǎn)動是繞x″軸轉(zhuǎn)動-ψ角度.借用歐拉角的名義，稱φ角為進(jìn)動角，β角為章動角，ψ角為自轉(zhuǎn)角.設(shè)R（n，φ）表示繞n（單位矢量）方向轉(zhuǎn)動φ角度的轉(zhuǎn)動矩陣，具體形式為

其中（n1，n2，n3）是單位矢量n的3個(gè)分量.設(shè)依次轉(zhuǎn)動后3組正交單位矢量分別為（i，j，k），（i′，j′，k′），（i″，j″，k″），那么滾動后體系上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為其中（x0，y0，z0）是質(zhì)心坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)的坐標(biāo).

體系滾動后A1、A2與地面接觸，即相對地面坐標(biāo)的第3分量始終為0，計(jì)算得到自轉(zhuǎn)角ψ滿足的條件為

體系做純滾動的必要條件是A1、A2相對地面的速度為0，計(jì)算得到進(jìn)動角φ所滿足的微分方程和質(zhì)心坐標(biāo)xc、yc所滿足的微分方程為

令s＝sinθ1，c＝cosθ1，計(jì)算得到進(jìn)動角φ的表達(dá)式為

知道了進(jìn)動角φ、章動角β、自轉(zhuǎn)角ψ以及質(zhì)心坐標(biāo)（xc，yc，zc）的解析表達(dá)式，就能把兩條對稱軌跡的解析表達(dá)式求出來.不過，為了表示簡潔、方便與實(shí)驗(yàn)對比，我們?nèi)≈芷谲壽E頂點(diǎn)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，以頂點(diǎn)處的切線及其垂線為坐標(biāo)軸，經(jīng)過坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)，在新的坐標(biāo)軸下兩條軌跡的部分軌跡解析表達(dá)式為

因?yàn)檠┗ㄆ姓磧擅?，所以完整的一個(gè)周期軌跡的周期長度（兩點(diǎn)距離）是L＝其中R是雪花片（看作圓盤）的半徑.

圖3

這樣，綜合利用中學(xué)的立體幾何，大學(xué)的轉(zhuǎn)動矩陣，質(zhì)心平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，有理分式的不定積分等數(shù)學(xué)物理知識，得到了鑲嵌雪花片在水平地面做純滾動時(shí)，與地面接觸點(diǎn)形成的兩條周期性軌跡的解析表達(dá)式，得到了周期長度的解析表達(dá)式.這個(gè)模型，可以作為玩具中的物理一個(gè)經(jīng)典例子.