解析幾何有妙用最佳選址易確定

華瑞芬

在日常生活和生產技術中，我們常常會遇到一些最佳選址的問題.對于此類問題，同學們往往是望而生畏，不知從何入手.此時如果能夠靈活運用解析幾何知識，最佳選址還是容易確定的.下面舉例分析，希望對同學們能夠有所啟迪.

1利用直線確定最佳選址

例1如圖1所示，兩個生物制藥廠A、B座落于通江運河河岸的同側，工廠A、B距離河岸分別為4km、2km，它們之間的距離為6km.現(xiàn)要在運河的工廠這側選一點C，擬在該處建一個貨物運輸中轉站，并建造直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸，使得直線輸送帶的總長最小，如圖2建立直角坐標系.

（1）如果要求貨物傳輸中轉站C距離河岸為akm（a為一個給定的數(shù)，0≤a≤2），求C點設在何處時，直線輸送帶總長s最小，并給出s關于a的表達式.

（2）在0≤a≤2的范圍內，a取何值時直線輸送帶總長最小，并求出這個最小值.

圖1圖2

解析（1）如圖2所示，作直線l：y=a（0≤a≤2），作B點關于直線l的對稱點B′，連AB′交直線l于D點，D點即為最佳選址點.

因為直線輸送帶總長s=a+AC+CB=a+AC+CB′≥AB′+a.

根據(jù)題意可知A（0，4）、B（42，2）、B′（42，2a–2），則直線輸送帶總長最小為：

s=a+AB′=

a+（42-0）2+（2a-2-4）2=

a+4a2-24a+68.①

此時C點取在D點處，因直線AB′的方程為：

y-4=4-（2a-2）0-42x.②

直線l的方程為：y=a.③

聯(lián)立②、③可求出D點坐標（22+223-a，a），故當C點坐標為（22+223-a，a）時，直線輸送帶總長最小為：

s=a+4a2-24a+68.

（2）當a是不定值時，由①兩邊平方，得

3a2+（2s–24）a+68–s2=0.④

因a是實數(shù)，所以方程④的判別式Δ=（2s–24）2–4×3（68–s2）≥0，即s2–6s–15≥0，解之得：s≤3-26或s≥3+26.因s≥0，則s≤3-26<0，不合題意，所以s≥3+26.

此時由④可得：a=24-2s2×3=9-263，又0<9-263<2，所以a=9-263符合題意，據(jù)此可知直線輸送帶的總長最小為s=3+26（km）.

評注對于此類最佳選址問題，根據(jù)對稱性原理容易確定：當兩定點在某直線同側時，可在直線上求一點，使其到兩定點的距離之和最??；若兩定點在某直線異側時，可在直線上求一點，使其到兩定點的距離之差最大.

例2一河流同側有兩個村莊A、B，兩村莊計劃在河上建一座水電站供兩村使用.已知A、B兩村到河邊的垂直距離分別為300米和700米，且兩村相距500米，問水電站P建在何處，送電到兩村的電線用料最短？

圖3

解析以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，建立直角坐標系，則點A（0，300）、B（x，700）.設點B在y軸上的射影為H，則x=|BH|=AB2-AH2=5002-4002米=300米，故點B（300，700），如圖3所示.顯然P點落在A′B上時，|PA|+|PB|最小.

設點A關于x軸的對稱點為A′（0，-300），則直線A′B的斜率為k=700+300300=103，直線A′B的方程為：y=103x-300.

令y=0，得x=90，得點P（90，0），故水電站建在河邊P（90，0）處，如圖3所示.

點評本題若求點P（x，0）到A、B的距離和|PA|+|PB|=x2+300+（x-300）2+7002的最小值，運算量將非常大，無疑也就增大了解題的難度.利用問題的已知條件，建立恰當?shù)摹爸本€模型”求解可以極大地簡化解題過程.

2利用圓確定最佳選址

例3如圖4所示，l1、l2是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北與東西走向的街道，連接M、N兩地之間的鐵路線是圓心在l2上的一段圓弧.若點M在點O正北方向，且|MO|=3km，點N到l1、l2的距離分別為4km、5km.

（1）建立適當坐標系，求鐵路線所在圓弧的方程；

（2）若該市的某中學準備在點O正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于26km，求該校址距點O的最近距離（校址可視為一個點）.

圖4

解析（1）分別以l2、l1為x軸、y軸建立如圖4所示的直角坐標系.根據(jù)題意可得：M（0，3）、N（4，5）.故kMN=5-34-0=12，MN的中點為（2，4），所以線段MN的垂直平分線方程為：y–4=-2（x–2）.令y=0，可得x=4.

故圓心A的坐標為（4，0），半徑r=（4-0）2+（0-3）2=5.

所以⊙A的方程為：（x–4）2+y2=25，所以弧MN的方程為：（x–4）2+y2=25（0≤x≤4，3≤y≤5）.

（2）設校址選在B（a，0）（a>4），則（x-a）2+y2≥26，對0≤x≤4恒成立，即（x-a）2+25-（x-4）2≥26恒成立，整理得（8–2a）x+a2–17≥0，對0≤x≤4恒成立.

令f（x）=（8–2a）x+a2–17，因為a>4，

所以8–2a<0.

所以f（x）在[0，4]上為減函數(shù)，

所以要使上式恒成立，當且僅當a>4，

f（4）≥0，，即a>4，

（8-2a）×4+a2-17≥0，解之得：a≥5，即學校選址應在距O點最近5km的地方.

評注要想順利求解本題，除了要能夠正確地建立直角坐標系外，還應注意所求方程中的x、y有取值范圍限制，否則就容易出錯.

3利用拋物線確定最佳選址

例4某地政府為科技興市，欲將如圖5所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū).已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應該如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積S最大？并求出最大的用地面積（精確到01km2）.

圖5

解析以O為原點，OA所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標系，則C點坐標為（4，2）.依題意可設拋物線方程為y2=2px（p>0）.

因為C（4，2）在拋物線上，所以22=2p·4，解之得：p=12.

故曲線段OC的方程為：y2=x（0≤x≤4）.

設P（x，x）（0≤x≤4）是曲線段OC上的任一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4–x.

所以S=|PQ|·|PN|=（2+x）（4–x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

當x∈（0，49）時，S′>0，故此時S是x的增函數(shù)；當x∈（49，4）時，S′<0，故此時S是x的減函數(shù).

所以當x=49時，S取得最大值，此時|PQ|=2+x=83，|PN|=4–x=329，S=83×329=25627≈95.

因為x=0時，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為329km、寬為83km的矩形時，工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積約為95km2.

評注本題通過求導求函數(shù)的最值，運用導數(shù)法求函數(shù)的最值以及運用導數(shù)的知識解決有關的實際問題，是近年來的命題趨勢.

4利用橢圓確定最佳選址

例5如圖6所示，A村在B地正北3km處，C村與B地相距4km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8km，現(xiàn)要在公路旁建造一個變電房M，分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

圖6

解析因為|MB|+|MC|=8，|BC|=4<8，

所以M在以B、C為焦點的橢圓上，建立如圖6所示的直角坐標系，則A、B、C各點坐標為A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M點的軌跡方程為x216+y212=1，e=ca=12，右準線l為x=a2c=8.

過M作MN⊥l于N，則|MN|=2|MC|，根據(jù)題意求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即變電房M應建在A村的正東方向且距A村2（3+1）km處.

評注本題考查了橢圓的第一定義和第二定義，將求|MA|+2|MC|的最小值轉化為求|MA|+|MN|的最小值是求解本題的關鍵.

5利用雙曲線確定最佳選址

例6如圖7所示，一村民在P處有一堆肥料，現(xiàn)要將這堆肥料沿道路PA或PB運送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.問能否在田地中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿PB送肥較近？如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出方程.

圖7

解析由條件ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近；第二類沿PB送肥較近；第三類沿PA和PB送肥一樣近，即臨界點，故臨界線為第三類點的軌跡，即所求的曲線軌跡.

設M為界線上任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根據(jù)雙曲線的定義可知，M點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的一支，以AB所在的直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標系.

在△APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求軌跡方程為x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中確定一條界線，界線方程是雙曲線x2625-y23750=1在矩形ABCD內的一段圓弧.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的定義的應用，側重考查同學們轉化問題的數(shù)學思想，利用所學知識解決實際問題的能力.

圖8

例7在某城市的局部地圖中如圖8所示，曲線MN為海岸線，直線l為一條南北方向的鐵路線，O為城市中心，小島A、B為海上的兩個旅游景點.今測得城市中心O與鐵路線相距15km，A在O的正東方向與O相距60km，B在O的北偏東60°方向與O相距603km，且海岸線MN上的任意點到A的距離都是到鐵路線距離的兩倍.

（1）寫出海岸線MN所在的曲線方程；

（2）能否在海岸線MN上找一處Q建一座碼頭，使游客從Q出發(fā)游覽A、B兩個景點的往返路程S最?。咳裟苷页?，試求出往返路程的最小值.

解析（1）如圖8所示，以O為坐標原點，以OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A（60，0）、B（90，303），l的方程為x=15.

設曲線MN上的任意點P的坐標為（x，y），P到l的距離為d，依題意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸線MN所在的曲線方程為x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲線為雙曲線的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的雙曲線實半軸a=30，半焦距c=60.設點C為雙曲線的左焦點，連BC、QC，則C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因為|BC|+|AB|-2a為定值，且B、C在MN的異側，BC與MN必有交點記為Q′，

所以能找出一處Q′，使往返的路程S最小.

又因為|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一處Q′，使游客從Q′出發(fā)游覽A、B兩個景點的往返路程S最小，最小值為607km.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的兩個定義，側重考查大家轉化問題的數(shù)學思想.建立坐標系是否適當是影響本題計算的關鍵，而利用|QC|-|QA|=2a來轉化|QA|+|QB|+|AB|的計算是本題的難點，也是本題的核心.

評注要想順利求解本題，除了要能夠正確地建立直角坐標系外，還應注意所求方程中的x、y有取值范圍限制，否則就容易出錯.

3利用拋物線確定最佳選址

例4某地政府為科技興市，欲將如圖5所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū).已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應該如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積S最大？并求出最大的用地面積（精確到01km2）.

圖5

解析以O為原點，OA所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標系，則C點坐標為（4，2）.依題意可設拋物線方程為y2=2px（p>0）.

因為C（4，2）在拋物線上，所以22=2p·4，解之得：p=12.

故曲線段OC的方程為：y2=x（0≤x≤4）.

設P（x，x）（0≤x≤4）是曲線段OC上的任一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4–x.

所以S=|PQ|·|PN|=（2+x）（4–x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

當x∈（0，49）時，S′>0，故此時S是x的增函數(shù)；當x∈（49，4）時，S′<0，故此時S是x的減函數(shù).

所以當x=49時，S取得最大值，此時|PQ|=2+x=83，|PN|=4–x=329，S=83×329=25627≈95.

因為x=0時，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為329km、寬為83km的矩形時，工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積約為95km2.

評注本題通過求導求函數(shù)的最值，運用導數(shù)法求函數(shù)的最值以及運用導數(shù)的知識解決有關的實際問題，是近年來的命題趨勢.

4利用橢圓確定最佳選址

例5如圖6所示，A村在B地正北3km處，C村與B地相距4km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8km，現(xiàn)要在公路旁建造一個變電房M，分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

圖6

解析因為|MB|+|MC|=8，|BC|=4<8，

所以M在以B、C為焦點的橢圓上，建立如圖6所示的直角坐標系，則A、B、C各點坐標為A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M點的軌跡方程為x216+y212=1，e=ca=12，右準線l為x=a2c=8.

過M作MN⊥l于N，則|MN|=2|MC|，根據(jù)題意求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即變電房M應建在A村的正東方向且距A村2（3+1）km處.

評注本題考查了橢圓的第一定義和第二定義，將求|MA|+2|MC|的最小值轉化為求|MA|+|MN|的最小值是求解本題的關鍵.

5利用雙曲線確定最佳選址

例6如圖7所示，一村民在P處有一堆肥料，現(xiàn)要將這堆肥料沿道路PA或PB運送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.問能否在田地中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿PB送肥較近？如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出方程.

圖7

解析由條件ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近；第二類沿PB送肥較近；第三類沿PA和PB送肥一樣近，即臨界點，故臨界線為第三類點的軌跡，即所求的曲線軌跡.

設M為界線上任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根據(jù)雙曲線的定義可知，M點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的一支，以AB所在的直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標系.

在△APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求軌跡方程為x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中確定一條界線，界線方程是雙曲線x2625-y23750=1在矩形ABCD內的一段圓弧.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的定義的應用，側重考查同學們轉化問題的數(shù)學思想，利用所學知識解決實際問題的能力.

圖8

例7在某城市的局部地圖中如圖8所示，曲線MN為海岸線，直線l為一條南北方向的鐵路線，O為城市中心，小島A、B為海上的兩個旅游景點.今測得城市中心O與鐵路線相距15km，A在O的正東方向與O相距60km，B在O的北偏東60°方向與O相距603km，且海岸線MN上的任意點到A的距離都是到鐵路線距離的兩倍.

（1）寫出海岸線MN所在的曲線方程；

（2）能否在海岸線MN上找一處Q建一座碼頭，使游客從Q出發(fā)游覽A、B兩個景點的往返路程S最小？若能找出，試求出往返路程的最小值.

解析（1）如圖8所示，以O為坐標原點，以OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A（60，0）、B（90，303），l的方程為x=15.

設曲線MN上的任意點P的坐標為（x，y），P到l的距離為d，依題意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸線MN所在的曲線方程為x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲線為雙曲線的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的雙曲線實半軸a=30，半焦距c=60.設點C為雙曲線的左焦點，連BC、QC，則C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因為|BC|+|AB|-2a為定值，且B、C在MN的異側，BC與MN必有交點記為Q′，

所以能找出一處Q′，使往返的路程S最小.

又因為|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一處Q′，使游客從Q′出發(fā)游覽A、B兩個景點的往返路程S最小，最小值為607km.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的兩個定義，側重考查大家轉化問題的數(shù)學思想.建立坐標系是否適當是影響本題計算的關鍵，而利用|QC|-|QA|=2a來轉化|QA|+|QB|+|AB|的計算是本題的難點，也是本題的核心.

評注要想順利求解本題，除了要能夠正確地建立直角坐標系外，還應注意所求方程中的x、y有取值范圍限制，否則就容易出錯.

3利用拋物線確定最佳選址

例4某地政府為科技興市，欲將如圖5所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū).已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段，如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應該如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積S最大？并求出最大的用地面積（精確到01km2）.

圖5

解析以O為原點，OA所在直線為y軸建立如圖5所示的直角坐標系，則C點坐標為（4，2）.依題意可設拋物線方程為y2=2px（p>0）.

因為C（4，2）在拋物線上，所以22=2p·4，解之得：p=12.

故曲線段OC的方程為：y2=x（0≤x≤4）.

設P（x，x）（0≤x≤4）是曲線段OC上的任一點，則在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4–x.

所以S=|PQ|·|PN|=（2+x）（4–x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

當x∈（0，49）時，S′>0，故此時S是x的增函數(shù)；當x∈（49，4）時，S′<0，故此時S是x的減函數(shù).

所以當x=49時，S取得最大值，此時|PQ|=2+x=83，|PN|=4–x=329，S=83×329=25627≈95.

因為x=0時，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長為329km、寬為83km的矩形時，工業(yè)園區(qū)的面積最大，最大面積約為95km2.

評注本題通過求導求函數(shù)的最值，運用導數(shù)法求函數(shù)的最值以及運用導數(shù)的知識解決有關的實際問題，是近年來的命題趨勢.

4利用橢圓確定最佳選址

例5如圖6所示，A村在B地正北3km處，C村與B地相距4km，且在B地的正東方向，已知公路PQ上任一點到B、C的距離之和都為8km，現(xiàn)要在公路旁建造一個變電房M，分別向A村、C村送電，但C村有一村辦工廠，用電須用專用線路，不得與民用混線用電，因此向C村要架兩條線路分別給村民和工廠送電，要使得所用電線最短，變電房M應建在A村的什么方位？并求出M到A村的距離.

圖6

解析因為|MB|+|MC|=8，|BC|=4<8，

所以M在以B、C為焦點的橢圓上，建立如圖6所示的直角坐標系，則A、B、C各點坐標為A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M點的軌跡方程為x216+y212=1，e=ca=12，右準線l為x=a2c=8.

過M作MN⊥l于N，則|MN|=2|MC|，根據(jù)題意求|MA|+2|MC|的最小值，即為求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即變電房M應建在A村的正東方向且距A村2（3+1）km處.

評注本題考查了橢圓的第一定義和第二定義，將求|MA|+2|MC|的最小值轉化為求|MA|+|MN|的最小值是求解本題的關鍵.

5利用雙曲線確定最佳選址

例6如圖7所示，一村民在P處有一堆肥料，現(xiàn)要將這堆肥料沿道路PA或PB運送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.問能否在田地中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路PA送肥較近，而另一側的點則沿PB送肥較近？如果能，請說出這條界線是一條什么曲線，并求出方程.

圖7

解析由條件ABCD中的點可分為三類：第一類沿PA送肥較近；第二類沿PB送肥較近；第三類沿PA和PB送肥一樣近，即臨界點，故臨界線為第三類點的軌跡，即所求的曲線軌跡.

設M為界線上任一點，則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根據(jù)雙曲線的定義可知，M點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的一支，以AB所在的直線為x軸，AB中垂線為y軸，建立直角坐標系.

在△APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求軌跡方程為x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中確定一條界線，界線方程是雙曲線x2625-y23750=1在矩形ABCD內的一段圓弧.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的定義的應用，側重考查同學們轉化問題的數(shù)學思想，利用所學知識解決實際問題的能力.

圖8

例7在某城市的局部地圖中如圖8所示，曲線MN為海岸線，直線l為一條南北方向的鐵路線，O為城市中心，小島A、B為海上的兩個旅游景點.今測得城市中心O與鐵路線相距15km，A在O的正東方向與O相距60km，B在O的北偏東60°方向與O相距603km，且海岸線MN上的任意點到A的距離都是到鐵路線距離的兩倍.

（1）寫出海岸線MN所在的曲線方程；

（2）能否在海岸線MN上找一處Q建一座碼頭，使游客從Q出發(fā)游覽A、B兩個景點的往返路程S最??？若能找出，試求出往返路程的最小值.

解析（1）如圖8所示，以O為坐標原點，以OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A（60，0）、B（90，303），l的方程為x=15.

設曲線MN上的任意點P的坐標為（x，y），P到l的距離為d，依題意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸線MN所在的曲線方程為x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲線為雙曲線的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的雙曲線實半軸a=30，半焦距c=60.設點C為雙曲線的左焦點，連BC、QC，則C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因為|BC|+|AB|-2a為定值，且B、C在MN的異側，BC與MN必有交點記為Q′，

所以能找出一處Q′，使往返的路程S最小.

又因為|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一處Q′，使游客從Q′出發(fā)游覽A、B兩個景點的往返路程S最小，最小值為607km.

點評本題以實際問題為背景，考查雙曲線的兩個定義，側重考查大家轉化問題的數(shù)學思想.建立坐標系是否適當是影響本題計算的關鍵，而利用|QC|-|QA|=2a來轉化|QA|+|QB|+|AB|的計算是本題的難點，也是本題的核心.