分?jǐn)?shù)階微積分在滑模控制中的應(yīng)用特性

宋申民，鄧立為，陳興林

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150086；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

分?jǐn)?shù)階微積分在滑?？刂浦械膽?yīng)用特性

宋申民1，鄧立為1，陳興林2

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱 150086；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子的信息記憶與遺傳特性，從分?jǐn)?shù)階滑模趨近律與分?jǐn)?shù)階滑?？刂坡蓛煞矫妫瑢?duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子在滑?？刂评碚撝械膽?yīng)用特性進(jìn)行了研究。首先，從傳統(tǒng)滑?？刂评碚摰膸追N趨近律入手，引出分?jǐn)?shù)階滑模趨近律并分析其收斂特性。其次，針對(duì)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鳌Ｗ詈?，對(duì)比數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的良好性能，與傳統(tǒng)滑模趨近律和傳統(tǒng)滑?？刂坡上啾?，分?jǐn)?shù)階滑模趨近律具有較好的平滑特性，分?jǐn)?shù)階滑模控制律具有更好的抗干擾性與強(qiáng)魯棒性。

分?jǐn)?shù)階滑?？刂?；分?jǐn)?shù)階滑模趨近律；分?jǐn)?shù)階微積分；航天器姿態(tài)

分?jǐn)?shù)階微積分是研究任意階微分和積分的理論，是傳統(tǒng)意義上整數(shù)階微分和積分向非整數(shù)階的推廣與延伸。與傳統(tǒng)微積分相比，分?jǐn)?shù)階微積分增加了微分與積分兩個(gè)自由度的可變性，從而給控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)了新的靈活性。近年來(lái)，利用分?jǐn)?shù)階微積分算子的記憶與遺傳特性，在傳統(tǒng)滑?？刂评碚撝幸敕?jǐn)?shù)階微積分算子而產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)階滑?？刂圃诟鱾€(gè)領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]針對(duì)兩自由度機(jī)械臂系統(tǒng)與雙槽水槽系統(tǒng)設(shè)計(jì)了模糊分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?。文獻(xiàn)[2]針對(duì)具有不確定性的一類動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階終端滑?？刂破?，但文中系統(tǒng)模型及不確定性部分的范數(shù)具有一定的特殊性。文獻(xiàn)[3]研究了分?jǐn)?shù)階滑模控制中滑模面吸引域的充分條件問(wèn)題，文中給出了與穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)階趨近律對(duì)應(yīng)的整數(shù)階趨近律也是穩(wěn)定的。文獻(xiàn)[4]研究了一類具有不確定性的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階滑模觀測(cè)器問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]針對(duì)永磁同步電機(jī)的位置控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鳌Ｎ墨I(xiàn)[6]針對(duì)永磁同步電機(jī)的速度控制問(wèn)題設(shè)計(jì)了參數(shù)自整定的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?。文獻(xiàn)[7]針對(duì)四旋翼飛行器模型，研究了具有分?jǐn)?shù)階趨近律特性的積分滑?？刂茊?wèn)題。文獻(xiàn)[8-10]則針對(duì)不同形式的混沌類系統(tǒng)利用滑模控制理論進(jìn)行了一系列的研究。上述文獻(xiàn)雖然涉及了分?jǐn)?shù)階趨近律問(wèn)題以及分?jǐn)?shù)階滑模控制等問(wèn)題，但是還未有文獻(xiàn)專門針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分在滑模控制中的應(yīng)用特性進(jìn)行研究。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分在滑?？刂评碚撝械膽?yīng)用問(wèn)題，在傳統(tǒng)滑模趨近律的基礎(chǔ)上分析了分?jǐn)?shù)階滑模趨近律的收斂性。針對(duì)航天器姿態(tài)控制模型，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鳎⒔o出了與其對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)的滑?？刂破?。最后，以航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)模型為控制對(duì)象，分別利用分?jǐn)?shù)階滑模趨近律與分?jǐn)?shù)階滑?？刂坡山Y(jié)合設(shè)計(jì)了4組不同形式的控制器進(jìn)行了對(duì)比仿真驗(yàn)證。

1 基礎(chǔ)理論

分?jǐn)?shù)階微積分理論研究已經(jīng)有300多年的歷史。在過(guò)去幾十年里，這一理論問(wèn)題僅僅是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了一定的研究，而在最近十幾年里，分?jǐn)?shù)階微積分理論已經(jīng)應(yīng)用到工程、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。在分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展過(guò)程中，研究學(xué)者們給出了多種定義，其定義的合理性與科學(xué)性已經(jīng)在實(shí)踐中得到了檢驗(yàn)。Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分初始條件的定義與整數(shù)階微積分的相一致，近年來(lái)在工程應(yīng)用中得到了廣泛的研究。

定義1[11-12]連續(xù)可積函數(shù) f(t)的Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分統(tǒng)一定義為：

引理 1[2]假設(shè) x =0是式(2)分?jǐn)?shù)階非自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，

式中， f (x ,t)滿足 Lipschitz條件。假設(shè)存在一個(gè)Lyapunov函數(shù) V(t, x (t))滿足如下條件：

式中 a1、a2和 a3是正常數(shù)。則有系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的。

引理2[13]一個(gè)給定的連續(xù)系統(tǒng)= f(x)，f(0) =0， x ∈Rn，如果存在一個(gè)連續(xù)的正定函數(shù)V :Rn→R，a ∈R+， β∈ (0,1)，并且存在原點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域 U0?Rn使得不等式(4)成立，

那么原點(diǎn)就是一個(gè)平衡點(diǎn)，可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)。

2 分?jǐn)?shù)階滑模趨近律

到達(dá)階段作為滑?？刂频囊粋€(gè)重要組成部分，其本質(zhì)屬于連續(xù)控制，基本要求是使系統(tǒng)狀態(tài)能夠到達(dá)滑模面。在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，常常是希望趨近速度盡可能的快，并盡可能的保證在到達(dá)時(shí)s˙不宜過(guò)大，以免引起較大的沖擊，減少系統(tǒng)的抖振。本節(jié)在幾種常見的趨近律的基礎(chǔ)上給出一種分?jǐn)?shù)階滑模趨近律。

2.1 傳統(tǒng)滑模趨近律

① 等速趨近律 狀態(tài)點(diǎn)以常量 ε＞ 0的趨近速度到達(dá)切換面，其表達(dá)式為：

式中，符號(hào)sign(·)在文中均表示各列向量的符號(hào)函數(shù)組成的列向量。利用式(5)可以解出：

② 指數(shù)趨近律 狀態(tài)點(diǎn)以指數(shù)變化規(guī)律的趨近速度到達(dá)切換面，主要特點(diǎn)表現(xiàn)在離切換面越遠(yuǎn)的狀態(tài)點(diǎn)趨近速度越快，其表達(dá)式為：

根據(jù)s的符號(hào)變化，可以解出s的表達(dá)式為：

式中 s0是系統(tǒng)初始狀態(tài) t= 0時(shí)切換函數(shù) s(x (t))的值。

③ 冪次趨近律 狀態(tài)點(diǎn)以冪次規(guī)律的形式到達(dá)切換面，該規(guī)律主要特點(diǎn)體現(xiàn)在能夠使系統(tǒng)的狀態(tài)點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，而且有效消除了慣性引起的抖振，其表達(dá)式為：

可以積分得到s的表達(dá)式為：

2.2 分?jǐn)?shù)階滑模趨近律

與傳統(tǒng)由微分方程構(gòu)成的趨近律不同，分?jǐn)?shù)階趨近律由分?jǐn)?shù)階微分方程構(gòu)成，通過(guò)調(diào)解系數(shù)k以及微分階次α可以改變系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)的速度以及s˙的值，其表達(dá)式為：

證明：選取Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分定義式(1)，則有

對(duì)式(12)進(jìn)行求一階微分，并利用式(11)和式(13)可以得到：

利用 sign(D1-α(- ks ign(s) )) =-ks ign(s)[13]，可得：

因此，可以得到 V˙ ≤0 ?DαV≤0 ，根據(jù)引理1則有系統(tǒng)(11)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

文獻(xiàn)[3]以定理的形式說(shuō)明了系統(tǒng)(11)的平衡點(diǎn)是全局吸引的。文獻(xiàn)[12]研究了Caputo型分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題，文中以范例形式說(shuō)明了形如式(11)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。本文受到文獻(xiàn)[3, 7, 12]的啟發(fā)，將形如式(11)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)作為分?jǐn)?shù)階滑模趨近律，與傳統(tǒng)趨近律進(jìn)行對(duì)比分析。

3 分?jǐn)?shù)階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

航天器姿態(tài)控制控制系統(tǒng)具有一定的耦合性，能夠代表一大類系統(tǒng)，并可以對(duì)比說(shuō)明分?jǐn)?shù)階滑模控制的優(yōu)點(diǎn)所在，所以本節(jié)以航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)為控制對(duì)象，設(shè)計(jì)相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階滑模控制器。

3.1 航天器姿態(tài)控制模型

考慮航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[14]：

式中， ω=[ω1ω2ω3]T∈R3定義為航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系，表示在航天器本體坐標(biāo)系上的姿態(tài)角速度矢量； J ∈R3×3為航天器的對(duì)稱正定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；u =[u1u2u3]T∈R3是作用在航天器上的三軸控制力矩矢量； d=[d1d2d3]T∈R3表示的是外干擾力矩，并存在已知常數(shù) dmax＞ 0使得不等式＜dmax成立[14]；σ表示的是本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的修正的羅德里格參數(shù)描述；矩陣 G (σ)的定義為：

對(duì)于 ?ξ= ［ξ1ξ2ξ3］T∈R3，而符號(hào) ξ×表示如下的反對(duì)稱矩陣：

航天器姿態(tài)控制問(wèn)題描述：針對(duì)由(16)組成的航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，對(duì)于給定的初始姿態(tài)σ以及初始角速度ω，設(shè)計(jì)控制器u，使得當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的姿態(tài)信息 σ →0以及角速度信息 ω→ 0。

3.2 分?jǐn)?shù)階滑模控制器

選取分?jǐn)?shù)階滑模面為：

利用等效控制原理可以得到等效控制部分：

選取分?jǐn)?shù)階趨近律(9)與傳統(tǒng)趨近律結(jié)合組成變結(jié)構(gòu)控制部分：

為滿足穩(wěn)定性要求，可以推導(dǎo)得到控制律為：

證明：選取Lyapunov函數(shù)為

對(duì)式(18)求導(dǎo)，利用式(16)和式(21)可以得到：

利用式(15)的結(jié)果，求取Lyapunov函數(shù)(22)的導(dǎo)數(shù)：

說(shuō)明 2 控制律中符號(hào)函數(shù)會(huì)引起系統(tǒng)控制力矩的抖振，為避免此問(wèn)題利用飽和函數(shù)對(duì)符號(hào)函數(shù)進(jìn)行替換，其定義為

說(shuō)明3 為了對(duì)比分析分?jǐn)?shù)階滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，利用傳統(tǒng)滑?？刂评碚撆c等效控制思想設(shè)計(jì)如下的傳統(tǒng)滑模面與控制律：

4 仿真分析

4.1 仿真參數(shù)設(shè)定

為了驗(yàn)證本文提出的分?jǐn)?shù)階趨近律及分?jǐn)?shù)階滑?？刂频挠行裕肕ATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。分?jǐn)?shù)階微積分算子Dασ的數(shù)值仿真實(shí)現(xiàn)可以有多種方法，本文利用文獻(xiàn)[16]中的分?jǐn)?shù)階控制工具箱FOMCON 進(jìn)行仿真，在仿真中設(shè)置為改進(jìn)型Oustaloup濾波算法模式，在頻段（0.01 rad/s，100 rad/s）內(nèi)采用2階算法進(jìn)行近似。

控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中雖然沒(méi)有考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性和外干擾力矩，但仍然具有很好的魯棒性和抗干擾性。為了說(shuō)明這兩種特性，仿真中控制器中選用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，而控制對(duì)象的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選用 J′；擾動(dòng)力矩則選擇了與航天實(shí)際工程中不符合的較大值，這樣選擇的主要原因是為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器具有較好的抗干擾性。本文主要研究分?jǐn)?shù)階滑模趨近律及分?jǐn)?shù)階滑模的特性，所以假設(shè)仿真中執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有理想特性，即不考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的幅值限制要求，從而在仿真結(jié)果中并未給出控制力矩曲線。航天器參數(shù)選取為：

航天器初始姿態(tài)信息及初始角速度信息為：

擾動(dòng)力矩為：

指數(shù)趨近律在傳統(tǒng)滑模控制應(yīng)用最多，因而在傳統(tǒng)趨近律中選擇指數(shù)趨近律。為了對(duì)比說(shuō)明分?jǐn)?shù)階趨近律與分?jǐn)?shù)階滑?？刂频膬?yōu)勢(shì)所在，對(duì)前文所提出來(lái)的趨近律及滑?？刂七M(jìn)行組合，得到如下4組滑模面和控制器。

滑模+指數(shù)趨近律：

滑模+分?jǐn)?shù)階趨近律：

分?jǐn)?shù)階滑模+指數(shù)趨近律：

分?jǐn)?shù)階滑模+分?jǐn)?shù)階趨近律：

控制器參數(shù)選取如下：

4.2 仿真結(jié)果分析

利用4.1所提出的4組組合控制算法，采用上述仿真參數(shù)，得到如下仿真結(jié)果：圖1~圖4分別是4個(gè)組合控制器作用下的航天器姿態(tài)信息、角速度信息以及滑模面系統(tǒng)曲線。

圖1 控制器 u1作用下的系統(tǒng)狀態(tài)及滑模面Fig.1 System state and sliding mode surface in controlleru1

圖2 控制器 u2作用下的系統(tǒng)狀態(tài)及滑模面Fig.2 System state and sliding mode surface in controlleru2

圖3 控制器 u3作用下的系統(tǒng)狀態(tài)及滑模面Fig.3 System state and sliding mode surface in controlleru3

圖4 控制器 u4作用下的系統(tǒng)狀態(tài)及滑模面Fig.4 System state and sliding mode surface in controlleru4

4組組合控制器都是由滑?？刂?或分?jǐn)?shù)階滑模)與滑模趨近律(或分?jǐn)?shù)階趨近律)交叉組成，控制器 u1和控制器 u2與控制器 u3和控制器 u4的主要區(qū)別在于趨近律的不同，從其仿真結(jié)果圖1和圖2、圖3和圖4對(duì)比可知，分?jǐn)?shù)階趨近律的主要特性表現(xiàn)在能夠柔化系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡，減少姿態(tài)σ及角速度ω的超調(diào)量?？刂破?u1和控制器 u3與控制器 u2和控制器 u4的主要區(qū)別在于是否是分?jǐn)?shù)階滑?？刂?，從其仿真結(jié)果圖1和圖3與圖2和圖4對(duì)比可知，分?jǐn)?shù)階滑?？刂频闹饕匦员憩F(xiàn)在良好的抗干擾性、強(qiáng)魯棒性、控制高精度性。最后，從由分?jǐn)?shù)階滑?？刂婆c分?jǐn)?shù)階滑模趨近律組成的控制器 u4及其仿真結(jié)果圖4中可以看出，該控制器具有良好的平滑特性，減少了暫態(tài)過(guò)程中的超調(diào)量；與此同時(shí)也提高了系統(tǒng)的姿態(tài)控制精度與角速度控制精度，具有良好的綜合控制性能。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子在滑?？刂浦械膽?yīng)用研究入手，以幾種傳統(tǒng)滑模趨近律為基礎(chǔ)引出分?jǐn)?shù)階滑模趨近律，以此研究了分?jǐn)?shù)階微積分在滑?？刂浦汹吔A段所起的作用，仿真結(jié)果表明分?jǐn)?shù)階趨近律與其他傳統(tǒng)趨近律相比具有一定的平滑特性，也就是通過(guò)調(diào)節(jié)微分階次α可以減小到達(dá)滑模面時(shí)s˙的值，以避免引起較大的沖擊。另一方面，以航天器姿態(tài)控制為研究對(duì)象，給出了基于傳統(tǒng)趨近律的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破骱突诜?jǐn)?shù)階趨近律的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?，分?jǐn)?shù)階滑模控制器能夠提高系統(tǒng)的綜合控制精度，也具有比傳統(tǒng)滑模控制更好的抗干擾性和魯棒性。

本文主要研究了分?jǐn)?shù)階微積分算子在滑?？刂频内吔魏突６沃兴鸬淖饔?，但是文中沒(méi)有考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的限幅要求，設(shè)計(jì)具有控制輸入飽和限制的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鲗⒃诤教炱骺刂浦芯哂兄卮蟮墓こ虘?yīng)用意義。另外一方面，分?jǐn)?shù)階趨近律的平滑特性，也就是可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)趨近律的微分階次α，從而調(diào)節(jié)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)s˙的大小，這僅僅在仿真中體現(xiàn)，研究分?jǐn)?shù)階趨近律的作用機(jī)理，推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階趨近律與到達(dá)滑模面時(shí)s˙的具體關(guān)系表達(dá)式，具有重要的意義。以上兩點(diǎn)是以后研究工作的重點(diǎn)。

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Application characteristics of fractional calculus in sliding mode control

SONG Shen-min1, DENG Li-wei1, CHEN Xing-lin2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150086, China; 2. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In view of the information memory and genetic characteristics of fractional calculus operator, the application characteristics of fractional calculus operator in sliding mode control theory were studied from two aspects: i.e. the allotted fractional order sliding mode reaching law and the fractional order sliding mode control law. Firstly, a fractional order sliding mode reaching law was deduced based on several reaching laws of conventional sliding mode control theory, and then the convergence characteristics of this law was proved. Secondly, a fractional order sliding mode control was designed for spacecraft attitude control system. Finally, numerical simulations and comparative analysis were conducted to validate the exceptional performance of the proposed controller, which show that, compared with the traditional reaching laws and traditional sliding mode control law, the fractional reaching law has good smoothness characteristics, and the fractional sliding mode control law has better anti-interference and strong robustness.

fractional order sliding mode control; fractional order reaching law; fractional calculus; spacecraft attitude

宋申民（1968—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)楹教炱鬈壍罊C(jī)動(dòng)與姿態(tài)控制、非線性魯棒控制與智能控制、先進(jìn)濾波方法與組合導(dǎo)航等。Email：songshenmin@hit.edu.cn

1005-6734(2014)04-0439-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.04.004

V448.25

A

2014-02-13；

2014-05-15

國(guó)家自然科學(xué)基金（61174037）；國(guó)家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項(xiàng)目（61021002）；國(guó)家“973”計(jì)劃（2012CB821205）