引導(dǎo)學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)

李軍

當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中普遍存在著重“形式”輕“本質(zhì)”的現(xiàn)象，較少引導(dǎo)學(xué)生思考和探究數(shù)學(xué)知識的本源，這不能不引起重視。下面以《用數(shù)對確定位置》一課為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

筆者聽過該內(nèi)容的課堂教學(xué)，幾乎都是一種模式。首先從座位表引入，座位表中講臺位于最下方，這樣學(xué)生從前往后數(shù)正好對應(yīng)著座位表中從下往上的方向，與坐標(biāo)系中的縱軸方向一致。然后在教師的引導(dǎo)和要求下，采用統(tǒng)一的說法即第幾列第幾行（或第幾組第幾個）來描述位置。接著教師提問：“第3列第2行能否更簡單地表示？”于是學(xué)生開始了各種創(chuàng)造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教師會組織大家小組討論體會“數(shù)對用逗號隔開，外加一個括號”的合理性和優(yōu)越性。

筆者認(rèn)為，教師的提問有些牽強(qiáng)，缺少必要的解釋和說明，僅憑3和2怎么能確定位置呢？“從左往右數(shù)第3列，從下往上數(shù)第2行”與“3，2”提供的信息量并不對稱。問題同樣缺少探索性，為了簡潔必然要舍棄一些內(nèi)容，而3和2是必須留下的，所以意義不大。

【思考】

課堂教學(xué)應(yīng)給學(xué)生提供自主建構(gòu)的機(jī)會，而學(xué)生自主建構(gòu)的關(guān)鍵是提高對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識，即讓學(xué)生能夠觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。但在上述教學(xué)中，教師更多的是主動給予，學(xué)生被動接受。

首先，教師在不斷追問中引出數(shù)對，這一過程中學(xué)生是被動的。學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)“上下左右”等方位詞時，如果說：“小明在第3個。”教師一定會追問：“是從左數(shù)第3個，還是從右數(shù)第3個？”讓學(xué)生明白描述位置時方向的重要性。而用數(shù)對表示位置這種方法簡潔嗎？從學(xué)生思維的角度看，未必。對初學(xué)者來說，首先要克服習(xí)慣性思維，如先看列再看行，要從左往右，從下往上看。其次，許多規(guī)定如坐標(biāo)軸的方向，數(shù)對的書寫形式等對學(xué)生而言知道并記住這些規(guī)定就足夠了。其實，用數(shù)對的形式表示位置關(guān)鍵不是強(qiáng)調(diào)簡潔性，而是強(qiáng)調(diào)這種表示方法的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性。

既然數(shù)對的形式不是知識的本質(zhì)，那么什么是確定位置的本質(zhì)？學(xué)生自主建構(gòu)的點在哪里呢？

用數(shù)對確定位置的本質(zhì)是一個數(shù)對對應(yīng)著平面上唯一的一個點，最重要的是對“原點（參照點）、方向、單位”的感悟和體會，這就是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的平面直角坐標(biāo)系的三要素。在自然語言里，其本身就包含著參照點、方向、單位等要素，而從自然語言描述到用數(shù)對描述的前提是建立平面坐標(biāo)系，目的只是使得這些要素和數(shù)實現(xiàn)分離。這二者之間更多的是聯(lián)系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐標(biāo)系，而是在用自然語言描述位置時就可以對這些要素進(jìn)行體會。

數(shù)對確定位置，重點不在數(shù)對本身，而在于要實現(xiàn)用數(shù)對確定位置究竟需要確定哪些要素，這正好與笛卡爾思考的“如何實現(xiàn)點與數(shù)的對應(yīng)”這個問題一致。把建立坐標(biāo)系替換成制定規(guī)則，從規(guī)則中分解出坐標(biāo)系的要素讓學(xué)生體會，在最重要、最本質(zhì)的問題上做文章，讓學(xué)生經(jīng)歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識。

【踐行】

無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數(shù)與點之間的一一對應(yīng)性是用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。小學(xué)階段所學(xué)的“用數(shù)對確定位置”是用有序數(shù)對來刻畫二維空間中某點的位置，即在二維直角坐標(biāo)系（平面直角坐標(biāo)系）中研究點的位置是如何用數(shù)對來描述的，它也具備坐標(biāo)系的三要素。在唯一確定的直角坐標(biāo)系下，一個有序數(shù)對就與平面上的某一個點建立了一一對應(yīng)關(guān)系。

因此，課堂教學(xué)中所有的學(xué)習(xí)活動都需要以這種一一對應(yīng)關(guān)系為前提和基礎(chǔ)，有了數(shù)與點的一一對應(yīng)，就便于溝通、交流和表達(dá)了。在教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)“砸金蛋”游戲情境，通過讓生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根據(jù)生A的描述找出金蛋的位置。情境圖從一排金蛋（一維空間）到多排金蛋（二維空間），學(xué)生描述從“文字描述”到后來的兩人商量合作只用“兩個數(shù)”來表示金蛋的位置。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)旨在讓學(xué)生先建構(gòu)一維上的規(guī)定，再建構(gòu)二維上的規(guī)定，從用文字描述到用兩個數(shù)描述，重在讓學(xué)生經(jīng)歷空間結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，通過學(xué)生間的自定標(biāo)準(zhǔn)來描述對應(yīng)的位置，在此過程中初步體會和感悟兩人規(guī)定的必要性和合理性。沒有花費更多的時間去讓學(xué)生創(chuàng)造“數(shù)對”來描述位置，不去關(guān)注用兩個數(shù)表示位置的外在形式。

隨后，讓學(xué)生用自己的規(guī)定來描述教室里同學(xué)的位置，在交流的過程中發(fā)現(xiàn)同一個數(shù)對竟然能表示幾個學(xué)生，或者同一個學(xué)生可以用幾個數(shù)對來表示，讓學(xué)生在矛盾沖突中感受到統(tǒng)一規(guī)定的必要性和合理性，從而確定了用數(shù)對表示平面圖上點的位置的順序（先列再行）和方向（從左往右、從下往上）。

在規(guī)定了數(shù)對確定位置的順序和方向后，通過比較兩個點（1，5）（如下圖1和圖2）所在的位置，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，還會出現(xiàn)同一個數(shù)對表示的點不同，或者同一個點不是同一個數(shù)對表示，從而進(jìn)一步引發(fā)了學(xué)生的思考：用數(shù)對確定位置，除了規(guī)定順序和方向外，還要規(guī)定圖中的原點（參照點）（0，0）。這樣的教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，并體會到數(shù)學(xué)規(guī)定的必要性和合理性，讓學(xué)生經(jīng)歷了整個類似平面坐標(biāo)系的形成過程，感悟到用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。

最后，也可以引入學(xué)生常見的魔方，讓學(xué)生明白有時用兩個數(shù)表示一個點的位置是不行的。從而使學(xué)生的認(rèn)知由最初的一維空間向三維空間過渡，使得學(xué)生的思維有進(jìn)一步拓展。

雅思貝爾斯指出：“全部教育的關(guān)鍵在于選擇完美的教育內(nèi)容和盡可能使學(xué)生之‘思不誤入歧途，而是導(dǎo)向事物的本源?！标P(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，給學(xué)生一個有“根”的數(shù)學(xué)，以“再發(fā)現(xiàn)”的方式讓數(shù)學(xué)思想、方法、精神根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有助于促進(jìn)教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的根本性改變，使得學(xué)生有機(jī)會通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識、技能、方法及思想，在探究發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，從而發(fā)展成為一個“具有數(shù)學(xué)思想和精神”的人。

（作者單位：江蘇省泰州市許莊中心小學(xué)）

當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中普遍存在著重“形式”輕“本質(zhì)”的現(xiàn)象，較少引導(dǎo)學(xué)生思考和探究數(shù)學(xué)知識的本源，這不能不引起重視。下面以《用數(shù)對確定位置》一課為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

筆者聽過該內(nèi)容的課堂教學(xué)，幾乎都是一種模式。首先從座位表引入，座位表中講臺位于最下方，這樣學(xué)生從前往后數(shù)正好對應(yīng)著座位表中從下往上的方向，與坐標(biāo)系中的縱軸方向一致。然后在教師的引導(dǎo)和要求下，采用統(tǒng)一的說法即第幾列第幾行（或第幾組第幾個）來描述位置。接著教師提問：“第3列第2行能否更簡單地表示？”于是學(xué)生開始了各種創(chuàng)造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教師會組織大家小組討論體會“數(shù)對用逗號隔開，外加一個括號”的合理性和優(yōu)越性。

筆者認(rèn)為，教師的提問有些牽強(qiáng)，缺少必要的解釋和說明，僅憑3和2怎么能確定位置呢？“從左往右數(shù)第3列，從下往上數(shù)第2行”與“3，2”提供的信息量并不對稱。問題同樣缺少探索性，為了簡潔必然要舍棄一些內(nèi)容，而3和2是必須留下的，所以意義不大。

【思考】

課堂教學(xué)應(yīng)給學(xué)生提供自主建構(gòu)的機(jī)會，而學(xué)生自主建構(gòu)的關(guān)鍵是提高對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識，即讓學(xué)生能夠觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。但在上述教學(xué)中，教師更多的是主動給予，學(xué)生被動接受。

首先，教師在不斷追問中引出數(shù)對，這一過程中學(xué)生是被動的。學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)“上下左右”等方位詞時，如果說：“小明在第3個。”教師一定會追問：“是從左數(shù)第3個，還是從右數(shù)第3個？”讓學(xué)生明白描述位置時方向的重要性。而用數(shù)對表示位置這種方法簡潔嗎？從學(xué)生思維的角度看，未必。對初學(xué)者來說，首先要克服習(xí)慣性思維，如先看列再看行，要從左往右，從下往上看。其次，許多規(guī)定如坐標(biāo)軸的方向，數(shù)對的書寫形式等對學(xué)生而言知道并記住這些規(guī)定就足夠了。其實，用數(shù)對的形式表示位置關(guān)鍵不是強(qiáng)調(diào)簡潔性，而是強(qiáng)調(diào)這種表示方法的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性。

既然數(shù)對的形式不是知識的本質(zhì)，那么什么是確定位置的本質(zhì)？學(xué)生自主建構(gòu)的點在哪里呢？

用數(shù)對確定位置的本質(zhì)是一個數(shù)對對應(yīng)著平面上唯一的一個點，最重要的是對“原點（參照點）、方向、單位”的感悟和體會，這就是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的平面直角坐標(biāo)系的三要素。在自然語言里，其本身就包含著參照點、方向、單位等要素，而從自然語言描述到用數(shù)對描述的前提是建立平面坐標(biāo)系，目的只是使得這些要素和數(shù)實現(xiàn)分離。這二者之間更多的是聯(lián)系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐標(biāo)系，而是在用自然語言描述位置時就可以對這些要素進(jìn)行體會。

數(shù)對確定位置，重點不在數(shù)對本身，而在于要實現(xiàn)用數(shù)對確定位置究竟需要確定哪些要素，這正好與笛卡爾思考的“如何實現(xiàn)點與數(shù)的對應(yīng)”這個問題一致。把建立坐標(biāo)系替換成制定規(guī)則，從規(guī)則中分解出坐標(biāo)系的要素讓學(xué)生體會，在最重要、最本質(zhì)的問題上做文章，讓學(xué)生經(jīng)歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識。

【踐行】

無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數(shù)與點之間的一一對應(yīng)性是用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。小學(xué)階段所學(xué)的“用數(shù)對確定位置”是用有序數(shù)對來刻畫二維空間中某點的位置，即在二維直角坐標(biāo)系（平面直角坐標(biāo)系）中研究點的位置是如何用數(shù)對來描述的，它也具備坐標(biāo)系的三要素。在唯一確定的直角坐標(biāo)系下，一個有序數(shù)對就與平面上的某一個點建立了一一對應(yīng)關(guān)系。

因此，課堂教學(xué)中所有的學(xué)習(xí)活動都需要以這種一一對應(yīng)關(guān)系為前提和基礎(chǔ)，有了數(shù)與點的一一對應(yīng)，就便于溝通、交流和表達(dá)了。在教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)“砸金蛋”游戲情境，通過讓生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根據(jù)生A的描述找出金蛋的位置。情境圖從一排金蛋（一維空間）到多排金蛋（二維空間），學(xué)生描述從“文字描述”到后來的兩人商量合作只用“兩個數(shù)”來表示金蛋的位置。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)旨在讓學(xué)生先建構(gòu)一維上的規(guī)定，再建構(gòu)二維上的規(guī)定，從用文字描述到用兩個數(shù)描述，重在讓學(xué)生經(jīng)歷空間結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，通過學(xué)生間的自定標(biāo)準(zhǔn)來描述對應(yīng)的位置，在此過程中初步體會和感悟兩人規(guī)定的必要性和合理性。沒有花費更多的時間去讓學(xué)生創(chuàng)造“數(shù)對”來描述位置，不去關(guān)注用兩個數(shù)表示位置的外在形式。

隨后，讓學(xué)生用自己的規(guī)定來描述教室里同學(xué)的位置，在交流的過程中發(fā)現(xiàn)同一個數(shù)對竟然能表示幾個學(xué)生，或者同一個學(xué)生可以用幾個數(shù)對來表示，讓學(xué)生在矛盾沖突中感受到統(tǒng)一規(guī)定的必要性和合理性，從而確定了用數(shù)對表示平面圖上點的位置的順序（先列再行）和方向（從左往右、從下往上）。

在規(guī)定了數(shù)對確定位置的順序和方向后，通過比較兩個點（1，5）（如下圖1和圖2）所在的位置，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，還會出現(xiàn)同一個數(shù)對表示的點不同，或者同一個點不是同一個數(shù)對表示，從而進(jìn)一步引發(fā)了學(xué)生的思考：用數(shù)對確定位置，除了規(guī)定順序和方向外，還要規(guī)定圖中的原點（參照點）（0，0）。這樣的教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，并體會到數(shù)學(xué)規(guī)定的必要性和合理性，讓學(xué)生經(jīng)歷了整個類似平面坐標(biāo)系的形成過程，感悟到用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。

最后，也可以引入學(xué)生常見的魔方，讓學(xué)生明白有時用兩個數(shù)表示一個點的位置是不行的。從而使學(xué)生的認(rèn)知由最初的一維空間向三維空間過渡，使得學(xué)生的思維有進(jìn)一步拓展。

雅思貝爾斯指出：“全部教育的關(guān)鍵在于選擇完美的教育內(nèi)容和盡可能使學(xué)生之‘思不誤入歧途，而是導(dǎo)向事物的本源?！标P(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，給學(xué)生一個有“根”的數(shù)學(xué)，以“再發(fā)現(xiàn)”的方式讓數(shù)學(xué)思想、方法、精神根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有助于促進(jìn)教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的根本性改變，使得學(xué)生有機(jī)會通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識、技能、方法及思想，在探究發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，從而發(fā)展成為一個“具有數(shù)學(xué)思想和精神”的人。

（作者單位：江蘇省泰州市許莊中心小學(xué)）

當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中普遍存在著重“形式”輕“本質(zhì)”的現(xiàn)象，較少引導(dǎo)學(xué)生思考和探究數(shù)學(xué)知識的本源，這不能不引起重視。下面以《用數(shù)對確定位置》一課為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

筆者聽過該內(nèi)容的課堂教學(xué)，幾乎都是一種模式。首先從座位表引入，座位表中講臺位于最下方，這樣學(xué)生從前往后數(shù)正好對應(yīng)著座位表中從下往上的方向，與坐標(biāo)系中的縱軸方向一致。然后在教師的引導(dǎo)和要求下，采用統(tǒng)一的說法即第幾列第幾行（或第幾組第幾個）來描述位置。接著教師提問：“第3列第2行能否更簡單地表示？”于是學(xué)生開始了各種創(chuàng)造：3-2，3.2，3（2），等等。最后教師會組織大家小組討論體會“數(shù)對用逗號隔開，外加一個括號”的合理性和優(yōu)越性。

筆者認(rèn)為，教師的提問有些牽強(qiáng)，缺少必要的解釋和說明，僅憑3和2怎么能確定位置呢？“從左往右數(shù)第3列，從下往上數(shù)第2行”與“3，2”提供的信息量并不對稱。問題同樣缺少探索性，為了簡潔必然要舍棄一些內(nèi)容，而3和2是必須留下的，所以意義不大。

【思考】

課堂教學(xué)應(yīng)給學(xué)生提供自主建構(gòu)的機(jī)會，而學(xué)生自主建構(gòu)的關(guān)鍵是提高對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)及規(guī)律的理性認(rèn)識，即讓學(xué)生能夠觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)。但在上述教學(xué)中，教師更多的是主動給予，學(xué)生被動接受。

首先，教師在不斷追問中引出數(shù)對，這一過程中學(xué)生是被動的。學(xué)生在低年級學(xué)習(xí)“上下左右”等方位詞時，如果說：“小明在第3個。”教師一定會追問：“是從左數(shù)第3個，還是從右數(shù)第3個？”讓學(xué)生明白描述位置時方向的重要性。而用數(shù)對表示位置這種方法簡潔嗎？從學(xué)生思維的角度看，未必。對初學(xué)者來說，首先要克服習(xí)慣性思維，如先看列再看行，要從左往右，從下往上看。其次，許多規(guī)定如坐標(biāo)軸的方向，數(shù)對的書寫形式等對學(xué)生而言知道并記住這些規(guī)定就足夠了。其實，用數(shù)對的形式表示位置關(guān)鍵不是強(qiáng)調(diào)簡潔性，而是強(qiáng)調(diào)這種表示方法的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性。

既然數(shù)對的形式不是知識的本質(zhì)，那么什么是確定位置的本質(zhì)？學(xué)生自主建構(gòu)的點在哪里呢？

用數(shù)對確定位置的本質(zhì)是一個數(shù)對對應(yīng)著平面上唯一的一個點，最重要的是對“原點（參照點）、方向、單位”的感悟和體會，這就是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的平面直角坐標(biāo)系的三要素。在自然語言里，其本身就包含著參照點、方向、單位等要素，而從自然語言描述到用數(shù)對描述的前提是建立平面坐標(biāo)系，目的只是使得這些要素和數(shù)實現(xiàn)分離。這二者之間更多的是聯(lián)系，而不能厚此薄彼，所以不必非得建立形式化的坐標(biāo)系，而是在用自然語言描述位置時就可以對這些要素進(jìn)行體會。

數(shù)對確定位置，重點不在數(shù)對本身，而在于要實現(xiàn)用數(shù)對確定位置究竟需要確定哪些要素，這正好與笛卡爾思考的“如何實現(xiàn)點與數(shù)的對應(yīng)”這個問題一致。把建立坐標(biāo)系替換成制定規(guī)則，從規(guī)則中分解出坐標(biāo)系的要素讓學(xué)生體會，在最重要、最本質(zhì)的問題上做文章，讓學(xué)生經(jīng)歷著類似笛卡爾那樣的思考，這才是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識。

【踐行】

無論是一維空間、二維空間還是三維空間，數(shù)與點之間的一一對應(yīng)性是用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。小學(xué)階段所學(xué)的“用數(shù)對確定位置”是用有序數(shù)對來刻畫二維空間中某點的位置，即在二維直角坐標(biāo)系（平面直角坐標(biāo)系）中研究點的位置是如何用數(shù)對來描述的，它也具備坐標(biāo)系的三要素。在唯一確定的直角坐標(biāo)系下，一個有序數(shù)對就與平面上的某一個點建立了一一對應(yīng)關(guān)系。

因此，課堂教學(xué)中所有的學(xué)習(xí)活動都需要以這種一一對應(yīng)關(guān)系為前提和基礎(chǔ)，有了數(shù)與點的一一對應(yīng)，就便于溝通、交流和表達(dá)了。在教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)“砸金蛋”游戲情境，通過讓生A（看屏幕）描述金蛋的位置，生B（不看屏幕）根據(jù)生A的描述找出金蛋的位置。情境圖從一排金蛋（一維空間）到多排金蛋（二維空間），學(xué)生描述從“文字描述”到后來的兩人商量合作只用“兩個數(shù)”來表示金蛋的位置。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)旨在讓學(xué)生先建構(gòu)一維上的規(guī)定，再建構(gòu)二維上的規(guī)定，從用文字描述到用兩個數(shù)描述，重在讓學(xué)生經(jīng)歷空間結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，通過學(xué)生間的自定標(biāo)準(zhǔn)來描述對應(yīng)的位置，在此過程中初步體會和感悟兩人規(guī)定的必要性和合理性。沒有花費更多的時間去讓學(xué)生創(chuàng)造“數(shù)對”來描述位置，不去關(guān)注用兩個數(shù)表示位置的外在形式。

隨后，讓學(xué)生用自己的規(guī)定來描述教室里同學(xué)的位置，在交流的過程中發(fā)現(xiàn)同一個數(shù)對竟然能表示幾個學(xué)生，或者同一個學(xué)生可以用幾個數(shù)對來表示，讓學(xué)生在矛盾沖突中感受到統(tǒng)一規(guī)定的必要性和合理性，從而確定了用數(shù)對表示平面圖上點的位置的順序（先列再行）和方向（從左往右、從下往上）。

在規(guī)定了數(shù)對確定位置的順序和方向后，通過比較兩個點（1，5）（如下圖1和圖2）所在的位置，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，還會出現(xiàn)同一個數(shù)對表示的點不同，或者同一個點不是同一個數(shù)對表示，從而進(jìn)一步引發(fā)了學(xué)生的思考：用數(shù)對確定位置，除了規(guī)定順序和方向外，還要規(guī)定圖中的原點（參照點）（0，0）。這樣的教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化、抽象化的過程，并體會到數(shù)學(xué)規(guī)定的必要性和合理性，讓學(xué)生經(jīng)歷了整個類似平面坐標(biāo)系的形成過程，感悟到用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。

最后，也可以引入學(xué)生常見的魔方，讓學(xué)生明白有時用兩個數(shù)表示一個點的位置是不行的。從而使學(xué)生的認(rèn)知由最初的一維空間向三維空間過渡，使得學(xué)生的思維有進(jìn)一步拓展。

雅思貝爾斯指出：“全部教育的關(guān)鍵在于選擇完美的教育內(nèi)容和盡可能使學(xué)生之‘思不誤入歧途，而是導(dǎo)向事物的本源?！标P(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，給學(xué)生一個有“根”的數(shù)學(xué)，以“再發(fā)現(xiàn)”的方式讓數(shù)學(xué)思想、方法、精神根植于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有助于促進(jìn)教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式的根本性改變，使得學(xué)生有機(jī)會通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得新的數(shù)學(xué)知識、技能、方法及思想，在探究發(fā)現(xiàn)的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，從而發(fā)展成為一個“具有數(shù)學(xué)思想和精神”的人。

（作者單位：江蘇省泰州市許莊中心小學(xué)）