求解二維半線性微分方程多解問題的間斷Galerkin有限元方法*

楊 婧

（湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410128）

求解二維半線性微分方程多解問題的間斷Galerkin有限元方法*

楊 婧

（湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410128）

結(jié)合間斷Galerkin有限元和插值系數(shù)有限元方法計(jì)算二維半線性多解問題，并通過數(shù)值例子證實(shí)了方法的有效性.

半線性微分方程；多解；間斷Galerkin有限元；插值系數(shù)有限元

在科學(xué)和工程計(jì)算中半線性微分方程非常常見，它們往往有多個(gè)甚至無窮多個(gè)解.對(duì)于這些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解，尤其是非穩(wěn)定解，用數(shù)值方法進(jìn)行求解，是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的重要課題.陳傳淼等［1］提出了一種用于計(jì)算多解的搜索延拓法，理論上能計(jì)算出任意高M(jìn)orse指標(biāo)的解，但實(shí)際上，當(dāng)Morse指標(biāo)很大時(shí)，解的圖形中含有很多陡峭的峰，數(shù)值解容易振蕩.

近三十年來，在橢圓方程、對(duì)流擴(kuò)散方程、Hamilton方程、Maxwell方程等問題上取得卓越成效的間斷有限元方法［2，3］，在解決含有振蕩現(xiàn)象的問題中發(fā)揮著巨大的作用.間斷有限元方法既能保持傳統(tǒng)有限元方法的優(yōu)勢(shì)，又能克服其不適于間斷問題的缺點(diǎn)，對(duì)于求解含邊界峰和內(nèi)部峰的解是一個(gè)有效的方法［4］，所以本文結(jié)合插值系數(shù)有限元，采用間斷有限元方法計(jì)算半線性微分方程多解問題.

1 半線性橢圓問題的間斷有限元

我們?cè)趨^(qū)域Ω＝（0，π）×（0，π）上討論以下Dirichlet問題

令q＝▽u，可將方程（1）改寫為

取試探函數(shù)v∈L2（Ω），r∈L2（Ω）2，分別與方程（2）中的前兩個(gè)方程相乘，然后在每個(gè)單元上進(jìn)行分部積分，可得（2）的弱解形式

其中nk是邊界上的外法向向量.

記s（k）為對(duì)Ω剖分成的矩形網(wǎng)格T上的雙線性分片多項(xiàng)式空間，定義有限元空間MN＝｛q∈L2（Ω）2：q｜k∈s（k）2，?k∈T｝，VN＝｛u∈L2（Ω）：u｜k∈s（k），?k∈T｝，則有限元解qN∈MN，uN∈VN滿足弱解形式，且對(duì)任意的v∈VN，r∈MN有其中G為五對(duì)角塊陣，D為對(duì)角塊陣，U為未知向量.

2 數(shù)值例子

我們用前面敘述的間斷有限元和插值系數(shù)有限元方法實(shí)際計(jì)算半線性問題（1），最終轉(zhuǎn)化為用牛頓法求解一個(gè)非線性方程組（5），故有必要討論初值的選取.

圖1 λ11對(duì)應(yīng)的解，N＝32

圖2 λ22對(duì)應(yīng)的解，N＝32

圖3 λ12對(duì)應(yīng)的解，N＝32

圖4 λ21對(duì)應(yīng)的解，N＝32

從圖中可以看出，間斷有限元處理多解問題仍能體現(xiàn)出它的優(yōu)點(diǎn)，它所計(jì)算出來的解沒有任何振蕩.但間斷有限元的缺點(diǎn)是計(jì)算量偏大，故可以考慮采用并行算法進(jìn)行運(yùn)算.

［1］陳傳淼，謝資清.非線性微分方程多解計(jì)算的搜索延拓法［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

［2］Cockburn B，Shu C.The local discontinuous Galerkin method for time－dependent convection－diffusion systems［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，1998，（6）：2440－2463.

［3］張作政.對(duì)流擴(kuò)散方程間斷有限元方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)指［J］.長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，（2）：1－2.

［4］Xie Z，Zhang Z，Zhang Z.A numerical study of uniformsuperconvergence of LDGmethod for solving singularly perturbed problems［J］. Journal of Computational Mathematics，2009，（2－3）：280－289.

［5］Xie Z，Chen C.The interpolated coefficient FEM and its application in computing the multiple solutions of semilinear elliptic problems［J］.International Journal of Numerical Analysis and Modeling，2005，（1）：97－106.

（責(zé)任編校：晴川）

The DG M ethod for Solving M ultip le Solutions of Two－dimensional Sem ilinear Differential Equations

YANG Jing
（College of Science，Hunan Agricultural University，Changsha Hunan 410128，China）

In this paper，discontinuous Galerkin finite elementmethod and interpolated coefficient finite elementmethod are combined to solve two－dimensional semilinear problem with multiple solutions.Numerical results are presented to show the efficiency of the method.

semilinear differential equation；mutiple solutions；DGFEM；ICFEM

O241.81

A

1008－4681（2014）05－0001－02

2014－07－09

湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)青年科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)：12QN28）資助項(xiàng)目.

楊婧（1982－），女，湖南長(zhǎng)沙人，湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師，碩士.研究方向：微分方程數(shù)值解.