數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張芝華

摘要：數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的橋梁，是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想呢？我們可以通過實(shí)例來建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）09-0244-02

高等數(shù)學(xué)是高校經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課程，教學(xué)中一個(gè)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型則是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，我認(rèn)為可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法等方面入手，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)有效的方法。下面通過實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講解。

例1：計(jì)算復(fù)利息問題。

設(shè)本金為A0，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和A為：A=A0（1+r）'.

如果每期結(jié)算m次，t期本利和Am為：Am=A0（1+■）m.

在現(xiàn)實(shí)世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算，m→∞，得到下面的極限：■A0（1+■）m.

這個(gè)式子反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物生長(zhǎng)或消失的數(shù)量規(guī)律，因此，它不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的極限。為了使問題簡(jiǎn)化起見，在上式中，令n=■，則當(dāng)m→∞時(shí)n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，問題歸結(jié)為求極限：■（1+■）n.

這個(gè)極限就是我們高等數(shù)學(xué)中講得重要極限，可以證明：■（1+■）n=e.

例2：養(yǎng)魚問題：某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng) 萬尾，乙種魚放養(yǎng)x萬尾，收獲時(shí)，兩種魚的收獲量分別為 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)（α>β>0）。

解：設(shè)產(chǎn)魚總量為z，則z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由題設(shè)α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲、乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù)。通過上例的分析我們看到利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，來解決實(shí)際問題。

例3：廣告問題。設(shè)某產(chǎn)品銷售單價(jià)為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設(shè)產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費(fèi)A有關(guān)系式x=200■，求使產(chǎn)品經(jīng)營利潤(rùn)最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數(shù)為R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元），又L''=

-■A■<0知A*為最優(yōu)的廣告投入，使利潤(rùn)最大。

通過上例的分析我們看到利用極值可以求利潤(rùn)最大問題，來解決實(shí)際問題。

例4：人口問題。Maltlhus于18世紀(jì)末在研究了人口統(tǒng)計(jì)資料后，提出在人口的自然增長(zhǎng)過程中，單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口總數(shù)成正比。記時(shí)刻t的人口數(shù)量為N（t），考慮 t到t+Δt時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)率量，根據(jù)Maltlhus理論，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r為比例系數(shù)，而增長(zhǎng)量與Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解為N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的一階微分方程■=rx的模型，來解決實(shí)際問題。endprint

摘要：數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的橋梁，是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想呢？我們可以通過實(shí)例來建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）09-0244-02

高等數(shù)學(xué)是高校經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課程，教學(xué)中一個(gè)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型則是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，我認(rèn)為可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法等方面入手，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)有效的方法。下面通過實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講解。

例1：計(jì)算復(fù)利息問題。

設(shè)本金為A0，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和A為：A=A0（1+r）'.

如果每期結(jié)算m次，t期本利和Am為：Am=A0（1+■）m.

在現(xiàn)實(shí)世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算，m→∞，得到下面的極限：■A0（1+■）m.

這個(gè)式子反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物生長(zhǎng)或消失的數(shù)量規(guī)律，因此，它不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的極限。為了使問題簡(jiǎn)化起見，在上式中，令n=■，則當(dāng)m→∞時(shí)n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，問題歸結(jié)為求極限：■（1+■）n.

這個(gè)極限就是我們高等數(shù)學(xué)中講得重要極限，可以證明：■（1+■）n=e.

例2：養(yǎng)魚問題：某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng) 萬尾，乙種魚放養(yǎng)x萬尾，收獲時(shí)，兩種魚的收獲量分別為 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)（α>β>0）。

解：設(shè)產(chǎn)魚總量為z，則z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由題設(shè)α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲、乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù)。通過上例的分析我們看到利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，來解決實(shí)際問題。

例3：廣告問題。設(shè)某產(chǎn)品銷售單價(jià)為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設(shè)產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費(fèi)A有關(guān)系式x=200■，求使產(chǎn)品經(jīng)營利潤(rùn)最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數(shù)為R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元），又L''=

-■A■<0知A*為最優(yōu)的廣告投入，使利潤(rùn)最大。

通過上例的分析我們看到利用極值可以求利潤(rùn)最大問題，來解決實(shí)際問題。

例4：人口問題。Maltlhus于18世紀(jì)末在研究了人口統(tǒng)計(jì)資料后，提出在人口的自然增長(zhǎng)過程中，單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口總數(shù)成正比。記時(shí)刻t的人口數(shù)量為N（t），考慮 t到t+Δt時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)率量，根據(jù)Maltlhus理論，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r為比例系數(shù)，而增長(zhǎng)量與Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解為N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的一階微分方程■=rx的模型，來解決實(shí)際問題。endprint

摘要：數(shù)學(xué)模型是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的橋梁，是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想呢？我們可以通過實(shí)例來建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；學(xué)生

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）09-0244-02

高等數(shù)學(xué)是高校經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課程，教學(xué)中一個(gè)重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)學(xué)模型則是溝通實(shí)際問題與數(shù)學(xué)工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程，實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的過程。如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，我認(rèn)為可以從分析處理教材、組織教學(xué)內(nèi)容、選擇教學(xué)方法等方面入手，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)造能力，這是一個(gè)有效的方法。下面通過實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)建模講解。

例1：計(jì)算復(fù)利息問題。

設(shè)本金為A0，利率為r，期數(shù)為t，如果每期結(jié)算一次，則本利和A為：A=A0（1+r）'.

如果每期結(jié)算m次，t期本利和Am為：Am=A0（1+■）m.

在現(xiàn)實(shí)世界中有許多事物是屬于這種模型的，而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算，m→∞，得到下面的極限：■A0（1+■）m.

這個(gè)式子反映了現(xiàn)實(shí)世界中一些事物生長(zhǎng)或消失的數(shù)量規(guī)律，因此，它不僅在數(shù)學(xué)理論上，而且在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的極限。為了使問題簡(jiǎn)化起見，在上式中，令n=■，則當(dāng)m→∞時(shí)n→∞，可得：■A0（1+■）mt=A0■（1+■）nrt=A0■1+■nrt

因此，問題歸結(jié)為求極限：■（1+■）n.

這個(gè)極限就是我們高等數(shù)學(xué)中講得重要極限，可以證明：■（1+■）n=e.

例2：養(yǎng)魚問題：某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng) 萬尾，乙種魚放養(yǎng)x萬尾，收獲時(shí)，兩種魚的收獲量分別為 （3-αx-βy）x和（4-βx-2αy）y，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)（α>β>0）。

解：設(shè)產(chǎn)魚總量為z，則z=3x+4y-αx2-2ay2-2βxy由極值的必要條件得方程組：

■=3-2αx-2βy=0■=4-4αy-2βy=0

得唯一解：x=■ y=■

由A=■=-2α，B=■-2β，C=■=-4α，得到B2-AC=4β2-8α2=-4（2α2-β2）.

由題設(shè)α>β>0，故B2-AC<0，且A<0，故z在（x，y）處有極大值，即有最大值。

x與y分別為甲、乙兩種魚的放養(yǎng)數(shù)。通過上例的分析我們看到利用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，來解決實(shí)際問題。

例3：廣告問題。設(shè)某產(chǎn)品銷售單價(jià)為5萬元，可變成本為每單位3.75萬元。又設(shè)產(chǎn)品經(jīng)廣告宣傳后能全部售出，且銷量與廣告費(fèi)A有關(guān)系式x=200■，求使產(chǎn)品經(jīng)營利潤(rùn)最大的廣告投入。

解：依題意總收益函數(shù)為R=xP=5×200■=1000■.C（x）=3.75x+C（0）=3.75×200■=750■.于是利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=1000■-750■-C（0）-A=250■-A-C（0）.

令L'=■-1=0的A*=1252=15625（萬元），又L''=

-■A■<0知A*為最優(yōu)的廣告投入，使利潤(rùn)最大。

通過上例的分析我們看到利用極值可以求利潤(rùn)最大問題，來解決實(shí)際問題。

例4：人口問題。Maltlhus于18世紀(jì)末在研究了人口統(tǒng)計(jì)資料后，提出在人口的自然增長(zhǎng)過程中，單位時(shí)間內(nèi)人口增長(zhǎng)量與人口總數(shù)成正比。記時(shí)刻t的人口數(shù)量為N（t），考慮 t到t+Δt時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)率量，根據(jù)Maltlhus理論，有N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，其中r為比例系數(shù)，而增長(zhǎng)量與Δt成正比，在上式中令 Δt→0，有■=rN，？圯■=rN，N（t0）=N0r>0容易求得解為N（t）=N0（t）e■.

此模型用于短期人口估算有很好的近似程度。上例用了高等數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的一階微分方程■=rx的模型，來解決實(shí)際問題。endprint