利用暫態(tài)波形伸縮變換的諧振接地系統(tǒng)故障選線方法

郭謀發(fā)，鄭新桃，楊耿杰，高 偉，繆希仁

（福州大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，福建 福州 350116）

0 引言

諧振接地系統(tǒng)具有提高系統(tǒng)的供電可靠性、降低雷擊損害事故率、抗通信設(shè)備電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于中壓配電網(wǎng)。由于諧振接地系統(tǒng)發(fā)生單相接地故障的情況復(fù)雜多變、故障電流較微弱，且常伴有間歇性電弧，其接地選線問題仍未得到很好解決[1-7]。

利用比故障信號穩(wěn)態(tài)量大若干倍的故障信號暫態(tài)量進(jìn)行選線保護(hù)是近年來該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[8-10]；所采用的信號量主要有零序電流、零序電壓、行波及相電流[11]等；特征量主要有能量、突變量、幅值、極性及波形等；各線路的故障暫態(tài)零序電流波形中同時包含了極性、幅值等信息。利用諧振接地系統(tǒng)發(fā)生單相接地故障后，非故障線路間的暫態(tài)零序電流波形相似，而故障線路與非故障線路暫態(tài)零序電流波形差別較大的特點(diǎn)，對暫態(tài)零序電流波形或其特征頻帶做相關(guān)分析或灰色關(guān)聯(lián)分析，進(jìn)而確定接地故障線路，是一個很好的選線思路[12-14]。 文獻(xiàn)[15]直接對故障后各線路首個周期的暫態(tài)零序電流做兩兩相關(guān)分析；文獻(xiàn)[16]將故障后各線路零序電流第1個周期的采樣數(shù)據(jù)減去故障前一個周期對應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)，得到暫態(tài)零序電流故障分量，并對其做兩兩相關(guān)分析，利用綜合相似度矩陣進(jìn)行故障選線；文獻(xiàn)[17]提出一種改進(jìn)的灰色關(guān)聯(lián)分析算法，能自動濾除噪聲的干擾，增大故障線路零序電流波形和非故障線路零序電流波形間的差異性，提高了選線裕度。

各非故障線路的暫態(tài)零序電流大小主要與線路的零序分布電容相關(guān)，若采用歐氏距離、曼哈頓距離等方法直接對波形進(jìn)行相似性分析，暫態(tài)零序電流幅值的不同會降低非故障線路零序電流波形間的相似度，基于此提出一種波形伸縮變換方法，采用2條線路對地等效電容的比值對暫態(tài)零序電流波形進(jìn)行伸縮變換，以提高非故障線路的暫態(tài)零序電流波形間的相似度及選線裕度。對各線路伸縮變換后的故障暫態(tài)零序電流波形作分段線性化處理及分段相平面變換，計算各線路每段故障暫態(tài)零序電流波形所有相點(diǎn)到確定點(diǎn)的歐氏距離，形成包含暫態(tài)零序電流波形幅值和極性信息的特征矩陣，用模糊K均值聚類（FKM）對特征矩陣進(jìn)行聚類，選出故障線路。

1 諧振接地系統(tǒng)單相接地故障電流分析

設(shè)第k條線路為故障線路，則諧振接地系統(tǒng)發(fā)生單相接地時的零序網(wǎng)絡(luò)等效電路如圖1所示。圖中，u0為故障點(diǎn)零序電源；R0為零序接地電阻；L0為消弧線圈零序電感；C1、…、Ck－1、Ck+1、…、CN為非故障線路的零序分布電容；Ck為故障線路的零序分布電容；uC為各饋線對地零序分布電容兩端的電壓；i1、i2、…、iN為各饋線零序電流；iL為流過消弧線圈的電流。

圖1 零序網(wǎng)絡(luò)等效電路Fig.1 Equivalent circuit of zero-sequence network

由圖1可知各饋線的零序電流為：

由式（1）可知，非故障線路暫態(tài)零序電流ij受同一零序電壓uC的作用，變化趨勢一致，其區(qū)別僅在于對地電容Cj的不同，因此非故障線路間暫態(tài)零序電流波形是相似的，其相似程度與各暫態(tài)零序電流的幅值及極性有關(guān)。由式（2）可知，故障線路暫態(tài)零序電流由暫態(tài)容性電流和暫態(tài)感性電流合成，二者的比例隨故障時刻的不同而變化[18]。當(dāng)接地故障發(fā)生在相電壓過峰值時，暫態(tài)零序電流主要是高頻電容電流；當(dāng)接地故障發(fā)生在相電壓過零點(diǎn)時，暫態(tài)零序電流主要是低頻感性電流；故障線路與非故障線路暫態(tài)零序電流相互間波形差異較大。

2 波形伸縮變換法選線原理

2.1 暫態(tài)零序電流波形的伸縮變換

由式（1）可得：

由式（3）可知，若把第j條線路的故障暫態(tài)零序電流除以其對地等效電容Cj，則非故障線路間暫態(tài)零序電流波形的相似性將提高。各線路對地等效電容Cj難以獲取，引入伸縮變換系數(shù)對暫態(tài)零序電流波形進(jìn)行變換。以第b條線路作為參考線路，定義第j條線路的伸縮變換倍數(shù)pj為：

其中，ij、ib為線路j和線路b的故障暫態(tài)零序電流?？紤]到暫態(tài)零序電流波形具有非線性非平穩(wěn)特征，采用穩(wěn)態(tài)時的ij和ib求pj。為減少噪聲等因素的影響，用故障后第q個1/4周期采樣數(shù)據(jù)的平均倍數(shù)求pj，暫態(tài)過程可能持續(xù)1～2個周期，q的取值應(yīng)大于8。假設(shè)采樣頻率為20 kHz，則用故障后零序電流的第100（q－1）+1個采樣點(diǎn)到第100q個采樣點(diǎn)的平均伸縮變換倍數(shù)求pj，如式（5）所示。

下面考慮第b條線路即參考線路為故障線路及非故障線路2種情況，分析伸縮變換處理對各線路暫態(tài)零序電流波形的影響。

a.參考線路為非故障線路（b≠k）。

由式（3）和式（4）可得：

結(jié)合式（1）、式（4）和式（6）可得非故障線路暫態(tài)零序電流經(jīng)伸縮變換后的表達(dá)式為：

結(jié)合式（2）和式（4）可得，故障線路暫態(tài)零序電流經(jīng)伸縮變換后的表達(dá)式為：

在參考線路為非故障線路的情況下，由式（7）可知，經(jīng)伸縮變換處理后，各非故障線路暫態(tài)零序電流具有相同的表達(dá)式，伸縮變換處理提高了非故障線路間暫態(tài)零序電流波形的相似性。比較式（7）和式（8）可知，經(jīng)伸縮變換處理后，故障線路和非故障線路暫態(tài)零序電流波形間的差異仍較大。

b.參考線路為故障線路（b=k）。

由式（6）知，各非故障線路等效對地電容可用某非故障線路（編號a，a≠b）等效對地電容Ca表示：

其中，λj為比例系數(shù)。

據(jù)式（1）、式（9）可得：

令 pa=ia/ib，則由式（2）、式（10）可得：

由式（10）、式（11）可知：

參考線路為故障線路時，故障線路暫態(tài)零序電流波形保持不變。由式（12）可知，經(jīng)伸縮變換處理后，各非故障線路的暫態(tài)零序電流表達(dá)式相同，具有較強(qiáng)的相似性，伸縮變換處理提高了非故障線路暫態(tài)零序電流波形間的相似性；比較式（2）和式（12）可知，經(jīng)伸縮變換處理后，故障線路和非故障線路暫態(tài)零序電流波形的差異仍較大。

2.2 基于相平面分析的特征矩陣構(gòu)造方法

相平面分析是時域波形特征提取的有效方法，在電弧故障檢測、電能質(zhì)量擾動分類及接地故障類型分類[19]等領(lǐng)域得到應(yīng)用。相平面是以時間序列x（t）為橫軸，時間序列的導(dǎo)數(shù) x˙（t）為縱軸所構(gòu)成的平面，它以另一種形態(tài)表征原始波形。如圖2所示，以正弦函數(shù) y=Assinx（As為幅值，x?[0，2π]）為例，當(dāng)As=1、x從0增大到π時，其相平面軌跡如曲線1所示，相軌跡從點(diǎn)A沿實(shí)線到點(diǎn)B，分布在第Ⅰ、Ⅳ象限；當(dāng)As=1、x從π增大到2π時，其相平面軌跡如曲線2所示，相軌跡從點(diǎn)B沿虛線到點(diǎn)A，分布在第Ⅱ、Ⅲ象限；當(dāng)As=1.5、x從0增大到π時，其相平面軌跡如曲線3所示，相軌跡從點(diǎn)C沿實(shí)線到點(diǎn)D，分布在第Ⅰ、Ⅳ象限。由此可知，對于一個周期內(nèi)某一段特定的正弦波，其相平面軌跡是唯一的，且正弦波的幅值越大，其相軌跡偏離原點(diǎn)的距離也越大。

圖2 正弦波相平面軌跡示意圖Fig.2 Schematic diagram of sine wave trajectory on phase-plane

i′j（n）為伸縮變換后第 j條線路的暫態(tài)零序電流波形的離散時間序列，n為采樣點(diǎn)號，其對應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可由式（13）求取。

其中，F(xiàn)[i′j（n）]為 i′j（n）的導(dǎo)數(shù)；Δt為采樣步長。

由式（13）可知，F(xiàn)[i′j（n）]只與當(dāng)前采樣值 i′j（n）和上一次采樣值 i′j（n-1）有關(guān)，而與其他采樣值無關(guān)，易受到隨機(jī)干擾和噪聲的影響。將變換后的暫態(tài)零序電流在時域上等分為N1段，采用最小二乘估計法擬合[20]對各段進(jìn)行線性化處理，得到N1個直線段，那么零序電流波形在某直線段范圍內(nèi)的點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) F[i′j（n）]均用該直線段的斜率來表示。

因故障暫態(tài)零序電流第1個半周波（首半波）的暫態(tài)過程明顯，包含了極性、幅值等信息，可求取其時域特征矩陣用于選線。設(shè)暫態(tài)零序電流首半波的采樣點(diǎn)數(shù)為Ks，將各線路變換后的暫態(tài)零序電流i′j平均分成 N2（N1=gN2，g≥2，g 為整數(shù)）段，則每個分段上采樣點(diǎn)的個數(shù)為Ks/N2。逐段作相平面變換，并對每一段相平面圖上的點(diǎn)按式（14）進(jìn)行歸一化處理，使相平面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)都落在區(qū)間[－1，1]。

其中，i′jm（n） 表示 i′j的第 m 個分段（m=1，2，…，N2；n=1，2，…，Ks/N2）；表示各分段中的最大值。

為綜合利用故障暫態(tài)零序電流的幅值和極性信息進(jìn)行接地選線，計算每一段伸縮變換后的暫態(tài)零序電流波形的相軌跡到相平面確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，如式（15）所示。

其中，rm為第m段相平面軌跡到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離。

由圖2可知，正弦波在相平面上的軌跡為橢圓，具有軸對稱關(guān)系。計算曲線1和曲線2到原點(diǎn)的歐氏距離，會得到相同的距離值，無法區(qū)分正弦波的正負(fù)半周；但計算曲線1和曲線2到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，則可以分辨曲線1和曲線2的差異。如果直接計算曲線 y=sin x（x?[0，2π]）以及 y=－sin x（x ?[0，2π]）的相軌跡到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，也會得到相同的距離值，不能正確區(qū)別2條曲線；將曲線分成多段，分別計算每段相點(diǎn)到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，則由算得的多個歐氏距離值可分辨兩曲線的差異?？紤]到單相接地時，故障線路與非故障線路暫態(tài)零序電流波形間的相軌跡關(guān)系與曲線1和曲線2間的相軌跡關(guān)系相類似，因此采用分段相平面變換，計算每一段波形的相軌跡到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，用于判別故障線路和非故障線路的暫態(tài)零序電流波形。

將rm作為暫態(tài)零序電流某一時間段波形的局部特征量，則任意一條線路的暫態(tài)零序電流波形的全局特征量可表示為：

則N條線路的全局特征量構(gòu)成一個N×N2的特征矩陣 S，如式（17）所示。

其中，sji表示第j條線路的第i段相軌跡到確定點(diǎn)（-1，0）的歐氏距離。

為增強(qiáng)可比性，對特征矩陣S中的元素按列做歸一化處理，得到：

2.3 模糊K均值聚類選線

模糊K均值聚類是一種基于模糊劃分的聚類方法。該算法需要輸入待分類的H個向量xj（j=1，2，…，H）的K組分類的初始模糊隸屬度矩陣U（1）：

其中，uij表示第j個向量屬于第i類的隸屬度，uij?[0，1]且。設(shè) vi為第 i類初始聚類中心向量，則初始聚類中心矩陣為：

確定目標(biāo)函數(shù) JM（U，V），有：

其中，M的值與最終分類的模糊程度有關(guān)，為使JM的最終分類達(dá)到局部最優(yōu)，取M=2，利用拉格朗日乘數(shù)法證明可得：

其中，h為迭代次數(shù)計數(shù)器。

模糊K均值聚類通過以下步驟來確定聚類中心矩陣V和隸屬度矩陣U：

a.確定分類數(shù)K，令h=0，隨機(jī)給出初始隸屬度矩陣 U（1）；

b.據(jù)式（23）計算初始分類的聚類中心向量 V（1）；

c.據(jù)式（22）計算隸屬度矩陣 U（h+1）；

d.給定收斂條件Δ（本文取0.0001），如果2次迭代計算所得的隸屬度矩陣差值小于Δ，則迭代結(jié)束，否則返回步驟b繼續(xù)迭代，直至達(dá)到收斂條件或到達(dá)預(yù)定迭代次數(shù)為止。

在接地選線工程應(yīng)用中，利用模糊K均值聚類將各線路故障暫態(tài)零序電流波形的特征矩陣S分成2類，可得隸屬度矩陣：

其中，uij為第 j條線路屬于第 i（i=1，2）類的隸屬度。由隸屬度矩陣U可確定隸屬于第1類的線路和隸屬于第2類的線路，被單獨(dú)分為一類的線路即為故障線路。

2.4 接地選線流程

接地選線流程如圖3所示。以零序電壓是否越限作為啟動接地選線的依據(jù)，若發(fā)生單相接地，則對故障暫態(tài)零序電流的首半波做伸縮變換；對變換后的波形按時間等分，求各段波形的相平面軌跡，計算每一段波形對應(yīng)的相點(diǎn)到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，形成特征矩陣S并對其按列做歸一化處理；采用模糊K均值聚類將特征矩陣S分為2類，由于非故障線路的暫態(tài)零序電流波形較為相似而被歸為一類，故障線路暫態(tài)零序電流波形則被單獨(dú)歸為另一類，實(shí)現(xiàn)選線。

圖3 接地選線流程圖Fig.3 Flowchart of faulty line detection

3 選線方法的仿真驗(yàn)證

利用ATP搭建一個含6條出線的諧振接地系統(tǒng)模型，見圖4。圖中，Rf為接地電阻；架空線路的正序參數(shù)為ro1=0.17 Ω/km，lo1=1.21 mH/km，co1=0.009 7 μF/km；架空線路的零序參數(shù)為 ro0=0.23 Ω/km，lo0=5.478 mH/km，co0=0.008 μF/km；電纜線路的正序參數(shù)為 rc1=0.27 Ω/km，lc1=0.255mH/km，cc1=0.339μF/km；電纜線路的零序參數(shù)為rc0=2.7 Ω/km，lc0=1.019mH/km，cc0=0.28 μF/km。 系統(tǒng)總電容電流IC=3ωC∑UN=36A＞20A（ω為基波角頻率；UN為額定相電壓；C∑為系統(tǒng)中所有線路的單相對地電容之和），應(yīng)裝設(shè)消弧線圈。取消弧線圈的過補(bǔ)償度為 5%，則電感 L=1/1.05×UN/（ωIC）=0.49 H；消弧線圈的有功損耗大約為感性損耗的2.5%～5%，取 3%，則電阻 RL=0.03 ωL=4.58（Ω）。

圖4 諧振接地系統(tǒng)仿真模型Fig.4 Simulation model of resonance-grounding system

以L3距離母線5 km處發(fā)生故障合閘角為60°、接地電阻為100 Ω的單相接地故障為例，說明選線過程。采樣頻率為20 kHz，故障線路和其中2條非故障線路的暫態(tài)零序電流首半波波形如圖5（a）所示。選取L4作為參考線路，各線路暫態(tài)零序電流按變換系數(shù) pk=ik/i4做伸縮變換，變換后波形如圖 5（b）所示。由圖5可知，經(jīng)伸縮變換后，非故障線路暫態(tài)零序電流波形間的相似度得到提高，故障線路與非故障線路波形間的相似度變化較小。

將伸縮變換所得的故障暫態(tài)零序電流首半波分為N1=20段，做分段線性化，用各直線段的斜率表示暫態(tài)零序電流波形在該直線段范圍內(nèi)的點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，得其相平面軌跡；取N2=10，將相平面軌跡分為10段并對各段做歸一化處理。求取各線路每段暫態(tài)零序電流的相軌跡點(diǎn)到確定點(diǎn)（－1，0）的歐氏距離，形成特征矩陣S，對S按列歸一化處理可得：

圖5 故障暫態(tài)零序電流波形Fig.5 Fault zero-sequence transient current waveforms

對S進(jìn)行模糊K均值聚類，得隸屬度矩陣U：

隸屬度矩陣U的行對應(yīng)故障狀態(tài)，第1—6列分別對應(yīng)第1—6條線路，U中每一列值最大的元素所在的行即為該線路對應(yīng)的狀態(tài)（如下劃線所示）。由隸屬度矩陣U可知，L3屬于一類，其他線路屬于另一類，L3被單獨(dú)歸為一類，由此可判定L3為接地線路。

若不對各線路故障暫態(tài)零序電流波形做伸縮變換，其他步驟不變，則特征矩陣S′和隸屬度矩陣U′分別為：

由隸屬度矩陣U′也可正確判定L3接地，但通過比較二者的特征矩陣和隸屬度矩陣可以知道，對暫態(tài)零序電流波形進(jìn)行伸縮變換能夠提高選線裕度。

不同線路在不同接地電阻、不同故障點(diǎn)和不同故障合閘角情況下發(fā)生單相接地故障的選線結(jié)果見表1。表中，Xf為故障點(diǎn)到母線的距離；Rf為接地電阻；θ為故障合閘角。

表1 故障選線結(jié)果Tab.1 Results of faulty line detection

4 選線方法的適應(yīng)性

4.1 電弧故障

單相接地初期多表現(xiàn)為間歇性電弧故障，采用mayr電弧模型進(jìn)行電弧故障仿真。線路L3在距母線5 km處發(fā)生電弧接地故障的選線結(jié)果見表2。

表2 線路L3發(fā)生電弧故障時的選線結(jié)果Tab.2 Results of faulty line detection for arc fault of L3

4.2 不同時間窗

線路L4在距離母線2 km處發(fā)生故障合閘角為90°、接地電阻為3 kΩ的單相接地故障，選用不同的暫態(tài)零序電流時間窗，選線結(jié)果見表3。

表3 線路L4在不同時間窗下故障選線結(jié)果Tab.3 Results of faulty line detection with differenttime window sizes for L4

4.3 疊加噪聲

工程應(yīng)用中，需考慮外界隨機(jī)噪聲干擾對選線方法的影響。疊加信噪比為20 dB的高斯白噪聲干擾，線路L6在3種典型接地故障情況下的選線結(jié)果見表4。由表4可見，該選線算法具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

表4 線路L6在疊加噪聲情況下的選線結(jié)果Tab.4 Results of faulty line detection with noises for L6

4.4 采樣不同步

接地故障發(fā)生后選線裝置對各線路零序電流的采樣可能存在不同步?？紤]線路L3、L4滯后線路L1、L28個采樣點(diǎn)；線路 L5、L6滯后線路 L1、L214個采樣點(diǎn)，線路L3末端發(fā)生接地電阻為3 kΩ的單相接地故障，其選線結(jié)果見表5。

表5 采樣不同步情況下的選線結(jié)果Tab.5 Results of faulty line detection with asynchronous sampling

5 結(jié)論

對伸縮變換后的故障暫態(tài)零序電流波形進(jìn)行分段相平面分析，進(jìn)而構(gòu)造各線路暫態(tài)零序電流波形的特征矩陣，對特征矩陣做模糊K均值聚類，選出故障線路。得到的主要結(jié)論如下。

a.波形伸縮變換可提高非故障線路暫態(tài)零序電流波形間的相似度及選線裕度?；诜侄蜗嗥矫娣治鏊鶚?gòu)造的特征矩陣可綜合表征暫態(tài)零序電流波形的幅值和極性信息。

b.對特征矩陣做模糊K均值聚類，可在不設(shè)置閾值的情況下選出故障線路。但對于母線故障，需增加檢測其進(jìn)線的故障暫態(tài)零序電流。

c.所提選線方法適用于噪聲干擾、電弧故障、采樣不同步、不同時間窗等工程應(yīng)用中可能存在的影響因素。