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    采樣率及數(shù)值積分算法對(duì)數(shù)字化電能計(jì)量誤差影響分析*

    2014-09-26 08:21:52穆小星段梅梅
    計(jì)量技術(shù) 2014年12期
    關(guān)鍵詞:數(shù)值積分計(jì)算誤差電能表

    穆小星 張 健 段梅梅

    (1.江蘇省電力公司電力科學(xué)研究院,南京 211103;2.國(guó)家電網(wǎng)公司電能計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 211103)

    0 引言

    數(shù)字化變電站電能計(jì)量系統(tǒng)有一次電子式互感器、合并單元及后端數(shù)字化電能表組成。數(shù)字化電能表相當(dāng)于傳統(tǒng)模擬電能表把前端模擬信號(hào)處理及A/D轉(zhuǎn)換器部分植人電子互感器或合并單元中,而僅留下數(shù)字處理部分。其計(jì)量電能的原理就是不斷讀取合并單元輸出電壓、電流采樣值報(bào)文,然后解析出相應(yīng)電壓、電流采樣值,再通過(guò)相應(yīng)功率算法計(jì)算電能,同時(shí)輸出相應(yīng)電能脈沖。電子式互感器或合并單元的采樣率及數(shù)字化電能表自身采用的數(shù)值積分算法是變電站電能計(jì)量系統(tǒng)中數(shù)字系統(tǒng)計(jì)量誤差主要來(lái)源。數(shù)字化電能表計(jì)算有功功率時(shí)可看作是對(duì)信號(hào)周期內(nèi)的電壓、電流采樣點(diǎn)乘積積分后的平均值,電能則可以看作是對(duì)功率的累積和。本文對(duì)功率三種典型數(shù)值積分算法及不同采樣率條件下誤差進(jìn)行分析,并通過(guò)驗(yàn)證系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比,以了解數(shù)字化電能計(jì)量誤差來(lái)源。

    1 數(shù)值積分算法分析

    1.1 功率計(jì)算數(shù)學(xué)模型

    本文在分析過(guò)程中電壓、電流模型采用式(1)所示的一次暫態(tài)信號(hào)模型[1]:

    式中,IPsc為一次電流對(duì)稱(chēng)分量方均根值(暫態(tài)的一次短路電流);UPsc為對(duì)應(yīng)于IPsc的一次電壓方均根值;f為基波頻率;τ 為一次時(shí)間常數(shù);φ為一次相移;t為時(shí)間瞬時(shí)值;uPres(t)/iPres(t)為一次剩余電壓/電流,包含直流諧波及次諧波。

    為簡(jiǎn)化分析,取uPres(t)=iPres(t)=0,由式(1)得到:

    式(2)離散化后得到[2]:

    τ=,離散化后為τ=。

    測(cè)量對(duì)象的瞬時(shí)功率為:p(t)=uP(t)×iP(t),有功功率,即平均功率為:

    1.2 點(diǎn)積和積分算法分析

    根據(jù)式(4)點(diǎn)積和計(jì)算有功功率數(shù)學(xué)模型為:

    式中,p(tk)=u(tk)×i(tk),P為p(t)在區(qū)間[0,T](信號(hào)周期整數(shù)倍)上的積分平均值,即有功功率。

    點(diǎn)積和算法的計(jì)算誤差分析可借用復(fù)化梯形公式的算法誤差分析,其誤差數(shù)學(xué)表達(dá)式為[3]:

    式中,p″(η)為p(t)在[0,T]的2 階導(dǎo)數(shù)值;T為點(diǎn)積和算法采用的時(shí)間周期;N為積分區(qū)間采樣點(diǎn)數(shù)。由于實(shí)際電網(wǎng)波形的復(fù)雜性,對(duì)功率函數(shù)求導(dǎo)并不容易,在此采用“事后估計(jì)誤差法”[3]進(jìn)行計(jì)算誤差分析。設(shè)定式(6)中N為偶數(shù),采用“事后估計(jì)誤差法”估算點(diǎn)積和算法的相對(duì)誤差,則可用下式表達(dá)其誤差:

    式中,Pn、P2n分別為將區(qū)間[0,T]進(jìn)行n 和2n 等分時(shí)利用點(diǎn)積和計(jì)算得到的功率的積分值。

    1.3 復(fù)化SimPson 積分算法分析

    復(fù)化SimPson 求積算法是高階的數(shù)值積分算法,由復(fù)化SimPson 求積公式[3,5]可得:

    式中:tk+1/2==u(tk)×i(tk),tk∈[a,b];Pn為p(t)在區(qū)間[a,b]上的復(fù)化SimPson 算法積分值。當(dāng)[a,b]取[0,T](信號(hào)周期整數(shù)倍)時(shí),則有功功率。

    復(fù)化SimPson 積分算法的計(jì)算誤差可表示為[3]:

    式中,T為復(fù)化SimPson 積分算法采用的積分周期;p(4)(η)為p(t)在[0,T]的4 階導(dǎo)數(shù)值。

    采用“事后估計(jì)誤差法”評(píng)估誤差,則復(fù)化SimPson 積分算法引起的計(jì)算誤差大小約為:

    式中:Pn、P2n分別為將區(qū)間[0,T]進(jìn)行n 和2n 等分時(shí),利用復(fù)化SimPson 積分公式得到的積分結(jié)果。

    1.4 復(fù)化Cotes積分算法分析

    復(fù)化Cotes求積算法也屬于高階的數(shù)值積分算法,同理,若將功率函數(shù)p(t)在區(qū)間[a,b]上進(jìn)行積分,把[a,b]分為n 等分,取間隔點(diǎn)tk=a +kh(k=0,1,…,n),h=。在每個(gè)小區(qū)間[tk,tk+1]上通過(guò)復(fù)化Cotes求積公式[3~9]可得:

    式中:tk+1/4=tk+、tk+1/2=tk+、tk+3/4=tk+h;p(tk)=u(tk)×i(tk),tk∈[a,b];Pn為p(t)在區(qū)間[a,b]上的復(fù)化Cotes算法積分值。當(dāng)[a,b]取[0,T](信號(hào)周期整數(shù)倍)時(shí),則有功功率P≈。

    復(fù)化Cotes積分算法的計(jì)算誤差可用式(12)表達(dá)[3]:

    式中,T為復(fù)化Cotes積分算法采用的積分周期;p(6)(η)為p(t)在[0,T]的6 階導(dǎo)數(shù)值。

    采用“事后估計(jì)誤差法”評(píng)估誤差,則復(fù)化Cotes積分算法引起的計(jì)算誤差約為:

    式中,Pn、P2n分別為將區(qū)間[0,T]進(jìn)行n 和2n 等分時(shí),用復(fù)化Cotes積分公式計(jì)算的值。

    2 不同算法及不同采樣率對(duì)數(shù)字化電能誤差影響分析

    通過(guò)MATLAB計(jì)算軟件編制相應(yīng)計(jì)算模塊、對(duì)暫態(tài)波形條件下采用上述三種算法的“電能表”誤差進(jìn)行仿真,取IPse=1000A,UPse=220 ×103V,分別設(shè)置4kHz、9.6kHz、10kHz、12.8kHz四種典型采樣率進(jìn)行仿真并采用“事后估計(jì)誤差法”進(jìn)行誤差分析,三種算法仿真參數(shù)分別設(shè)置如下:

    1)點(diǎn)積和算法:取n=(4000,9600,10000,12800)、φ=π/2;

    2)復(fù)化SimPson 算法:取n=(2000,4800,5000,6400)、T=1s、h=T/n,a=0、b=1,φ=π/2;

    3)復(fù)化Cotes算法:取n=(1000,2400,2500,3200)、T=1s、h=T/n、a=0、b=1,φ=π/2。

    通過(guò)仿真計(jì)算模塊得到三種算法的理論計(jì)算誤差,見(jiàn)表1 和圖1。

    表1 不同采樣頻率下算法仿真誤差

    圖1 不同采樣率下數(shù)值積分算法的誤差

    圖2 數(shù)字化電能表誤差測(cè)試原理框圖

    從表1 及圖1 示可以看出,在相同的采樣頻率下,采用點(diǎn)積和算法誤差最大,采用Cotes積分算法時(shí)誤差最??;在同一算法條件下,4kHz采樣頻率對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差最大,12.8kHz的采樣頻率對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差最小。

    為證明理論誤差分析的正確性,同時(shí)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)對(duì)各數(shù)值積分算法的誤差進(jìn)行驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見(jiàn)圖2。本驗(yàn)證系統(tǒng)中的IEC61850 協(xié)議轉(zhuǎn)換模塊利用實(shí)時(shí)性高的FPGA處理器作為主控芯片,將PC機(jī)下載的單個(gè)周期的離散電壓、電流值根據(jù)IEC618509-2 協(xié)議格式打包,并按照嚴(yán)格的時(shí)序向被測(cè)“數(shù)字化電能表”進(jìn)行數(shù)據(jù)包的循環(huán)發(fā)送,同時(shí)設(shè)計(jì)了誤差計(jì)算模塊,誤差計(jì)算通過(guò)電能脈沖法。為了減小脈沖影響,本文設(shè)計(jì)的脈沖采集模塊采用FPGA作為主控芯片,其程序具有并行運(yùn)行的優(yōu)勢(shì),可以減小因程序執(zhí)行延時(shí)造成的誤差,從而保證數(shù)字化電能表誤差測(cè)試結(jié)果的可靠性。

    通過(guò)上述驗(yàn)證系統(tǒng),在PC上位機(jī),仿真模塊對(duì)一個(gè)周波的暫態(tài)電壓、電流進(jìn)行數(shù)值采樣、離散,并通過(guò)串口發(fā)往IEC61850 協(xié)議發(fā)包仿真裝置,按照不同的采樣率,每秒發(fā)送與采樣率相同的數(shù)據(jù)包數(shù),即對(duì)于50Hz的基頻電壓、基頻電流波形按采樣率為4kHz、9.6kHz、10kHz、12.8kHz時(shí),每秒分別發(fā)送4k、9.6k、10k、12.8k 數(shù)量數(shù)據(jù)包給“點(diǎn)積和”、“復(fù)化SimPson 算法”、“復(fù)化Cotes算法”三個(gè)“數(shù)字化電能表”,計(jì)算的電能分別為E1、E2、E3,與通過(guò)原始波形直接變換、計(jì)算出的電能量E進(jìn)行比較,計(jì)算各自相對(duì)誤差:

    用上述公式計(jì)算得到的其誤差結(jié)果見(jiàn)表2。

    表2 不同采樣頻率下算法的實(shí)驗(yàn)誤差

    比較表1、表2 可以看到數(shù)值積分算法理論誤差和實(shí)驗(yàn)誤差結(jié)果一致。

    3 結(jié)語(yǔ)

    采用不同采樣率及數(shù)值積分算法對(duì)數(shù)字化電能計(jì)量將產(chǎn)生不同的誤差。從前面的分析中可以得到:

    1)在同一采樣頻率條件下,電能計(jì)算采用復(fù)化SimPson、復(fù)化Cotes算法要比采用簡(jiǎn)單的點(diǎn)積和算法誤差小。復(fù)化SimPson 算法的計(jì)算誤差約為點(diǎn)積和算法誤差的65.5%~66.7%左右,復(fù)化Cotes算法的計(jì)算誤差約為點(diǎn)積和算法誤差的61.15%~61.88%左右。而復(fù)化SimPson 算法的計(jì)算誤差約為復(fù)化Cotes算法誤差的93.33%左右??梢缘贸霾捎酶唠A的數(shù)值積分算法能有效的降低數(shù)字化電能表計(jì)算誤差。

    2)當(dāng)采樣率從4kHz提高到12.8kHz時(shí),誤差降低效果明顯,尤其對(duì)簡(jiǎn)單的點(diǎn)積和算法。對(duì)每種算法,12.8kHz采樣率對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差約為4kHz采樣率時(shí)的30.881%。但考慮到數(shù)字化電能表硬件條件和經(jīng)濟(jì)條件的限制,如果采用高采樣率、高階積分算法可能會(huì)降低數(shù)字化電能表的穩(wěn)定性和可靠性,故可采用高采樣率、一階代數(shù)精度的點(diǎn)積和算法或采用正常采樣率、高階數(shù)值積分算法來(lái)確定電能表計(jì)量方案。

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