基于貝塔分布的風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間估計(jì)

劉興杰，謝春雨

（華北電力大學(xué) 電力工程系，河北 保定 071003）

0 引言

近年來，隨著《風(fēng)電開發(fā)建設(shè)管理暫行辦法》等相關(guān)法律法規(guī)的不斷完善，我國的風(fēng)電得到了快速的發(fā)展。2012年，中國（不包括臺灣地區(qū)）累計(jì)安裝風(fēng)電機(jī)組53764臺，裝機(jī)容量75324.2 MW，同比增長20.8%[1]。隨著風(fēng)電大規(guī)模的并網(wǎng)，風(fēng)電本身具有的波動(dòng)性、間歇性和隨機(jī)性不但會導(dǎo)致互聯(lián)系統(tǒng)的潮流發(fā)生改變，給系統(tǒng)造成反調(diào)峰[2]，增加額外的備用電源，同時(shí)也會影響風(fēng)電穿透功率極限[3]，進(jìn)而影響風(fēng)電行業(yè)自身的發(fā)展。精確的風(fēng)電功率預(yù)測是解決上述問題的好辦法。然而，目前確定性風(fēng)電功率點(diǎn)預(yù)測依然存在著較大誤差，且其預(yù)測結(jié)果無法反映風(fēng)電功率波動(dòng)特性。相比之下，波動(dòng)區(qū)間預(yù)測則包含更多的信息，有利于決策者更好地認(rèn)識未來變化可能存在的不確定性和面臨的風(fēng)險(xiǎn)[4]，因此有必要對風(fēng)電功率預(yù)測誤差分布規(guī)律進(jìn)行研究和對未來風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間進(jìn)行預(yù)測。

目前國內(nèi)對風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間預(yù)測的相關(guān)研究還比較少。文獻(xiàn)[5]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對風(fēng)電預(yù)測誤差帶進(jìn)行了計(jì)算，得出誤差基本上符合正態(tài)分布。文獻(xiàn)[6]在正態(tài)分布模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)概率密度函數(shù)以及最小二乘法的相關(guān)理論提出了一種描述預(yù)測誤差的正態(tài)優(yōu)化分布模型。文獻(xiàn)[7]采用非參數(shù)核密度估計(jì)方法求取功率預(yù)測誤差分布的概率密度函數(shù)并計(jì)算了功率預(yù)測的置信區(qū)間。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于分位點(diǎn)回歸的理論，對風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間進(jìn)行了預(yù)測。國外對風(fēng)電功率不確定性研究比較早。文獻(xiàn)[9-10]分別利用柯西函數(shù)和高斯函數(shù)對風(fēng)電功率預(yù)測誤差分布進(jìn)行了擬合。文獻(xiàn)[11]利用核密度估計(jì)技術(shù)，得到完整的預(yù)測概率密度函數(shù)，用于預(yù)測風(fēng)電短期預(yù)報(bào)。文獻(xiàn)[12]利用粒子機(jī)和貝葉斯估計(jì)，以GP模型建立預(yù)測模型，用于風(fēng)電功率預(yù)測。文獻(xiàn)[13]采用ANN得到不確定方法，將相關(guān)置信水平下的不確定性信息應(yīng)用至電網(wǎng)調(diào)度，并采用Chebyshev不等式對短期風(fēng)電功率預(yù)測誤差分布進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[14]在機(jī)組優(yōu)化組合研究中，利用正態(tài)分布對風(fēng)電功率預(yù)測誤差進(jìn)行建模分析。文獻(xiàn)[15]在對預(yù)測功率分區(qū)間討論的基礎(chǔ)上，利用標(biāo)準(zhǔn)貝塔分布對歸一化后的風(fēng)電實(shí)測出力波動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了研究，但并未對功率預(yù)測誤差頻率分布進(jìn)行分析，且標(biāo)準(zhǔn)貝塔分布的自變量取值范圍有一定的局限性，不適合對風(fēng)電功率預(yù)測誤差分布進(jìn)行擬合。本文通過分析發(fā)現(xiàn)風(fēng)電功率預(yù)測誤差概率分布并非完全對稱的正態(tài)分布，而成偏態(tài)分布，且風(fēng)電功率預(yù)測誤差頻數(shù)分布隨預(yù)測功率水平的變化而呈現(xiàn)不同的波動(dòng)性，所以如果缺乏對預(yù)測誤差頻率分布的偏態(tài)性和隨功率預(yù)測水平的變化而呈現(xiàn)不同波動(dòng)性的考慮，則會對擬合結(jié)果的精度產(chǎn)生較大影響。

基于此，本文在風(fēng)電預(yù)測功率區(qū)間合理劃分的基礎(chǔ)上，利用參數(shù)優(yōu)化后的非標(biāo)準(zhǔn)貝塔分布對功率預(yù)測誤差頻率分布進(jìn)行擬合，進(jìn)而對風(fēng)電功率的波動(dòng)區(qū)間進(jìn)行了估計(jì)，便于系統(tǒng)運(yùn)行人員更好地認(rèn)識未來可能存在的不確定性，做出合理決策。最后以內(nèi)蒙古某風(fēng)電場的歷史數(shù)據(jù)為例對該優(yōu)化模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 風(fēng)電功率預(yù)測誤差概率分布特性分析

1.1 風(fēng)電功率預(yù)測誤差

本文以內(nèi)蒙古某風(fēng)電場2012年5—8月份實(shí)際數(shù)據(jù)和基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)功率預(yù)測方法所得到的未來10min的預(yù)測數(shù)據(jù)為例進(jìn)行預(yù)測誤差分析。實(shí)際運(yùn)行中風(fēng)電機(jī)組實(shí)際出力值和預(yù)測值并不完全相符，且該不相符由于風(fēng)電出力預(yù)測模型精度、風(fēng)電場地理環(huán)境[16]、風(fēng)電功率預(yù)測時(shí)間間隔[17]等因素不同而呈現(xiàn)預(yù)測值大于、小于或者滯后于實(shí)際值的程度不同。圖1為內(nèi)蒙古某風(fēng)電場5月1日風(fēng)電實(shí)測功率和未來10min的預(yù)測功率，從圖中可以看出實(shí)測功率和預(yù)測功率并不完全相符。

圖1 風(fēng)電預(yù)測功率和實(shí)測功率Fig.1 Forecasted and measured wind power

本文為便于對功率預(yù)測誤差進(jìn)行分析，對實(shí)測功率和預(yù)測功率進(jìn)行了歸一化處理，即：

其中，Pm為風(fēng)電場實(shí)際功率；Pp為風(fēng)電場預(yù)測功率；PN為風(fēng)電場額定功率，該內(nèi)蒙古風(fēng)電場額定功率為99 MW；P′m為歸一化后風(fēng)電場實(shí)際功率；P′p為歸一化后風(fēng)電場預(yù)測功率。取預(yù)測誤差d為：

1.2 預(yù)測功率區(qū)間分段

為了更細(xì)化研究預(yù)測誤差的分布特性，本文在MATLAB環(huán)境下，利用內(nèi)蒙古某風(fēng)電場2012年5—7月風(fēng)電歷史數(shù)據(jù)，得出了不同預(yù)測功率區(qū)段下的預(yù)測誤差頻數(shù)分布，如圖2所示，圖中預(yù)測誤差為標(biāo)幺值，后同。

圖2 預(yù)測誤差頻數(shù)分布Fig.2 Frequency distribution of forecast error

從圖中可以看出，不同預(yù)測功率區(qū)段下預(yù)測誤差的波動(dòng)情況差別很大，當(dāng)預(yù)測功率較小時(shí)，預(yù)測誤差頻數(shù)分布相對集中，而隨著預(yù)測功率的增大預(yù)測誤差頻數(shù)分布越來越分散。

預(yù)測功率區(qū)間越細(xì)化，越能體現(xiàn)誤差分布規(guī)律，但當(dāng)數(shù)據(jù)總體量一定時(shí)，預(yù)測功率區(qū)間越細(xì)化，各樣本的數(shù)據(jù)量就越少，使得某些區(qū)間樣本數(shù)量不足以較好地反映出預(yù)測誤差統(tǒng)計(jì)規(guī)律。結(jié)合參考文獻(xiàn)[19-20]的研究結(jié)果，本文將功率預(yù)測分為[0，0.1PN）、[0.1PN，0.2PN）、[0.2PN，0.4PN）、[0.4PN，PN]4 個(gè)區(qū)段進(jìn)行探究。

1.3 預(yù)測誤差概率分布的偏態(tài)性

預(yù)測誤差雖不可避免，但依然可以建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型對其規(guī)律進(jìn)行擬合分析，如文獻(xiàn)[5-6，14]都對預(yù)測誤差采取正態(tài)分布模型進(jìn)行擬合。圖3為在MATLAB環(huán)境中所做4個(gè)預(yù)測功率區(qū)段上的預(yù)測誤差樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)概率圖，圖中曲線①—④和曲線⑤—⑧分別表示樣本數(shù)據(jù)1—4和正態(tài)分布數(shù)據(jù)1—4。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，所得4個(gè)區(qū)間預(yù)測誤差樣本數(shù)據(jù)和正態(tài)分布數(shù)據(jù)并不完全重合（如果樣本數(shù)據(jù)分布符合正態(tài)分布，則樣本數(shù)據(jù)應(yīng)與正態(tài)分布數(shù)據(jù)重合且顯示為直線），由此可見風(fēng)電功率預(yù)測誤差并不完全服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)不同程度的正偏或負(fù)偏分布，所以如果所建模型能夠充分考慮這種偏態(tài)分布，則風(fēng)電功率預(yù)測區(qū)間估計(jì)的精度會進(jìn)一步提高。

圖3 風(fēng)電功率預(yù)測誤差正態(tài)概率圖Fig.3 Normal probability of wind power forecast error

2 貝塔分布

基于第1節(jié)功率預(yù)測誤差概率分布特性分析，同時(shí)由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布自變量取值范圍為[0，1]，不適合對取值范圍為[-1，1]的風(fēng)電功率預(yù)測誤差進(jìn)行擬合，所以本文選擇非標(biāo)準(zhǔn)貝塔分布對風(fēng)電功率預(yù)測誤差概率分布進(jìn)行擬合。

2.1 非標(biāo)準(zhǔn)貝塔分布密度函數(shù)

設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：

其中，μx和σx分別為x的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 貝塔分布的優(yōu)點(diǎn)

貝塔分布密度函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)如下：

a.函數(shù)簡單，只有2個(gè)參數(shù)γ、η；

b.貝塔分布密度函數(shù)形狀由參數(shù)γ、η來控制，即只要選擇適當(dāng)?shù)摩煤挺?，貝塔分布可以對多種不同形狀的頻率分布圖形進(jìn)行擬合，體現(xiàn)出良好的適應(yīng)性和普適性；

c.貝塔分布密度函數(shù)是一個(gè)有界函數(shù)，上、下界分別為 a、b。

3 模型優(yōu)化

3.1 模型參數(shù)優(yōu)化

由第2節(jié)分析可知，貝塔分布的位置和形狀由上、下邊界a、b和形狀參數(shù)γ、η確定，為進(jìn)一步提高貝塔分布的擬合精度，本文通過迭代法對其上下邊界值和形狀參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，步驟如下。

a.設(shè)預(yù)測誤差樣本數(shù)據(jù)為 di（i=1，2，…，n），計(jì)算預(yù)測誤差樣本均值d和方差S2d。

b.對預(yù)測誤差樣本 di排序，令 y1=dmin，yn=dmax，y1≤y2≤…≤yn，其中dmin和dmax分別為樣本數(shù)據(jù)的最小值和最大值。

c.計(jì)算上、下邊界a和b的初始值：

其中，F(xiàn)（n，i）=（1-i/n）n。

d.計(jì)算形狀參數(shù)γ、η的初始值：

計(jì)算邊界b的新估計(jì)值：

f.計(jì)算邊界a的新估計(jì)值：

其中，Acc為預(yù)定精度，本文取0.0000001。

3.2 置信區(qū)間的求取

由第3.1節(jié)迭代結(jié)束后所得貝塔分布函數(shù)自變量新的上下邊界和形態(tài)參數(shù)估計(jì)值可得參數(shù)優(yōu)化后的預(yù)測誤差概率密度函數(shù)，對其進(jìn)行積分從而得分布函數(shù)F（di）。

本文采用估計(jì)區(qū)間最狹原則求得對應(yīng)置信水平下的置信區(qū)間，即：

其中，1-a為對應(yīng)置信水平。

4 實(shí)例分析

4.1 預(yù)測誤差概率分布擬合和波動(dòng)區(qū)間估計(jì)

為驗(yàn)證所建模型的有效性，本文引用正態(tài)分布模型和參數(shù)優(yōu)化前的貝塔分布模型進(jìn)行對比分析。在MATLAB環(huán)境下，利用參數(shù)優(yōu)化后的貝塔分布模型進(jìn)行擬合，當(dāng)預(yù)測功率區(qū)段為[0，0.1PN）時(shí)，經(jīng)過4次迭代后，求得優(yōu)化貝塔分布相關(guān)參數(shù)分別為，同時(shí)利用正態(tài)分布模型和參數(shù)優(yōu)化前的貝塔分布模型對預(yù)測誤差概率分布進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖4所示。同理可以依次求得其他區(qū)段的擬合曲線，圖5為[0.1PN，0.2PN）區(qū)段功率預(yù)測誤差擬合曲線。

根據(jù)參數(shù)優(yōu)化貝塔分布模型所得各區(qū)段概率密度函數(shù)，對2012年8月1日前139個(gè)時(shí)段，依據(jù)第3.2節(jié)公式對置信水平為90%的風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖6所示。

同時(shí)，分別利用正態(tài)分布和參數(shù)優(yōu)化前貝塔分布模型，對置信水平為90%的風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖4 [0，0.1PN）區(qū)段功率預(yù)測誤差擬合曲線Fig.4 Fitting curves of forecast error for power segment[0，0.1PN）

圖5 [0.1PN，0.2PN）區(qū)段功率預(yù)測誤差擬合曲線Fig.5 Fitting curves of forecast error for power segment[0.1PN，0.2PN）

圖6 90%置信水平下優(yōu)化貝塔分布功率波動(dòng)區(qū)間Fig.6 Power interval estimated with optimized beta distribution model at confidence level of 90%

圖7 90%置信水平下正態(tài)分布功率波動(dòng)區(qū)間Fig.7 Power interval estimated with normal distribution model at confidence level of 90%

圖8 90%置信水平下貝塔分布功率波動(dòng)區(qū)間Fig.8 Power interval estimated with beta distribution model at confidence level of 90%

4.2 模型結(jié)果對比

為分析優(yōu)化貝塔分布模型的有效性，本文利用預(yù)測區(qū)間覆蓋率PICP（Prediction Interval Coverage Probability）δPICP、平均帶寬和分辨能力 σΔP系數(shù)對 3個(gè)模型的預(yù)測精度進(jìn)行對比分析。

若第i個(gè)實(shí)際出力值位于對應(yīng)置信水平下的預(yù)測置信區(qū)間內(nèi)，則取ci=1，否則取ci=0。δPICP≥（1-a）%時(shí)模型是有效的，否則模型需要改進(jìn)。

平均寬帶反映了波動(dòng)區(qū)間寬窄的具體情況，在同一置信水平下，平均寬帶越小則說明所建模型越好。

分辨能力系數(shù)能夠?qū)λＰ偷乃谜`差情況進(jìn)行分析，其值越大說明估計(jì)結(jié)果越好，其表達(dá)式如式（13）所示：

經(jīng)過計(jì)算，在置信水平均為90%情況下，各指標(biāo)結(jié)果如表1所示。

表1 模型指標(biāo)對比結(jié)果Table 1 Comparison of indexes among different models

從表1可知，在置信區(qū)間相同的情況下，3個(gè)模型的預(yù)測區(qū)間覆蓋率相同，而優(yōu)化貝塔分布模型的平均帶寬要小于正態(tài)分布和貝塔分布模型，同時(shí)優(yōu)化貝塔分布模型的分辨能力系數(shù)要高于其他2個(gè)模型?？梢妳?shù)優(yōu)化貝塔分布模型要優(yōu)于正態(tài)分布和貝塔分布模型。但從圖中也可以看出，優(yōu)化貝塔分布和另外2個(gè)模型在處理拐點(diǎn)處的波動(dòng)區(qū)間估計(jì)效果并不理想，仍需對模型做進(jìn)一步改進(jìn)。

5 結(jié)論

在電力系統(tǒng)運(yùn)行中，面對風(fēng)電功率較強(qiáng)的波動(dòng)性和間歇性問題，更好地把握風(fēng)電功率的波動(dòng)規(guī)律能夠?yàn)檫\(yùn)行人員的決策提供有效的依據(jù)。本文結(jié)合功率預(yù)測區(qū)間分段方法，利用參數(shù)優(yōu)化后的非標(biāo)準(zhǔn)貝塔分布對風(fēng)電功率預(yù)測誤差概率分布進(jìn)行了擬合，并利用所得分布函數(shù)對風(fēng)電功率預(yù)測的波動(dòng)區(qū)間進(jìn)行了估計(jì)。通過對功率預(yù)測誤差分布特性分析和實(shí)例驗(yàn)證可以得出以下結(jié)論：

a.不同風(fēng)電預(yù)測功率區(qū)段下，功率預(yù)測誤差概率分布擬合曲線不同；

b.本文所建立的模型考慮了風(fēng)電功率預(yù)測誤差概率分布的偏態(tài)性，相較于正態(tài)分布模型能更好地?cái)M合預(yù)測誤差概率分布，得到與實(shí)際分布一致的擬合函數(shù)；

c.通過對內(nèi)蒙古某風(fēng)電場算例分析，相對于正態(tài)分布模型及未優(yōu)化貝塔分布模型，本文所建優(yōu)化貝塔分布模型能夠更有效地提供風(fēng)電功率波動(dòng)區(qū)間分析結(jié)果，這對電網(wǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行以及提高風(fēng)電場預(yù)測精度具有積極意義。