基于多分辨率S變換的電壓閃變檢測

任祖華，王柏林

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098）

0 引言

非線性和沖擊性負(fù)荷的投入使用，不僅給電網(wǎng)帶來大量的高次諧波和間諧波，同時給電力系統(tǒng)造成明顯的電壓波動[1]，除了影響其他用電設(shè)備的正常運(yùn)行，還可能引起照明燈光的閃爍，即閃變。國內(nèi)外閃變儀測量電壓波動的主要方法有平方檢測法、整流檢測法和有效值檢測法[2]，這些方法對于穩(wěn)定的單一頻率成分的調(diào)幅波檢測較為準(zhǔn)確，而在處理時變的電壓波動信號時，可能會帶來誤差。大多數(shù)的電壓閃變的檢測和分析是通過準(zhǔn)確提取電壓波動信號，再對波動信號進(jìn)行頻譜分析得到所含的各種低頻諧波分量的頻率和幅值，信號的分析單純在時域或頻域展開。Hilbert變換方法是提取波動信號包絡(luò)的有效方法，但需要設(shè)計濾波器濾除高頻分量，且濾波器輸出的前一段數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，使得閃變包絡(luò)波形很短或很不完整[3]。小波變換法存在小波基函數(shù)不唯一的問題，合適的小波基不好選擇，且硬件實(shí)現(xiàn)起來比較困難，計算量也較大[4-5]。盲信號分離需要構(gòu)造一個嵌入矩陣作為盲信號分離的輸入信號，運(yùn)用二階盲辨識算法分離低頻分量，對分離后的各個分量利用峰值比較法來確定頻率，再利用包絡(luò)信號構(gòu)造一組超定方程求解各個頻率對應(yīng)的幅值，算法比較復(fù)雜[6]。

本文介紹一種基于S變換的時頻分析方法，對電壓閃變信號的局部特性進(jìn)行時域和頻域的二維聯(lián)合表示。利用S變換的時域、頻域特性，分析電壓閃變信號的頻率-時間、幅值-時間和幅值-頻率信息，進(jìn)一步通過調(diào)節(jié)高斯窗口的寬度實(shí)現(xiàn)其時頻譜的多分辨率分析，從而對電壓閃變頻率、幅值和閃變起止時刻進(jìn)行準(zhǔn)確測量。而且信號的S變換與其傅里葉譜直接相關(guān)，算法易于實(shí)現(xiàn)。

1 多分辨率S變換

1.1 S變換原理

S變換是Stockwell于1996年提出的，是介于短時傅里葉變換和小波變換之間的一種非平穩(wěn)信號分析方法，它具有局部時頻分析的性質(zhì)[7-8]。S變換的時頻譜分辨率與頻率有關(guān)，不但有多尺度聚焦性，而且與其傅里葉譜直接相關(guān)。

對于時變信號x（t），其傅里葉變換為：

將信號 x（t）乘以一個高斯窗口函數(shù) g（t），就得到信號的S變換：

由式（3）、（4）可見，高斯窗口的高度和寬度隨頻率而變化，克服了短時傅里葉變換窗口高度和寬度固定的缺陷。因此，通過S變換不僅可以獲得某一時刻的頻率信息，還可獲得在某一頻率上信號的幅值信息，即S變換具有良好的時頻特性[9-10]。

另外，由式（3）、（4）可知，改變參數(shù) α 的大小可以調(diào)節(jié)高斯窗口的寬度，從而改變S變換的時頻分辨率，如果頻率分辨率要求高，就選取較大的α值，反之亦然，從而使得S變換具有多分辨率的特性。

把（3）、（4）代入式（2），得到 x（t）的 S 變換：

由于S（τ，f）為一個復(fù)數(shù)矩陣，因此可表示為：

其中，A（τ，f）為S矩陣的幅值矩陣，即S模矩陣；φ（τ，f）為S矩陣的相位矩陣。A（τ，f）和φ（τ，f）的行向量分別為信號某一采樣時刻的幅值和相位隨頻率變化的分布，列向量分別為信號某一頻率處的幅值和相位隨時間變化的分布。

1.2 S變換的實(shí)現(xiàn)

對離散信號的S變換可以通過快速傅里葉變換（FFT）實(shí)現(xiàn)[11]。 對于采樣信號 x（kTs）（k=0，1，…，N-1，Ts為采樣時間，N為采樣點(diǎn)數(shù)），其離散傅里葉變換為：

其中，r、m、n 取值為 0、1、2、…、N-1。

為方便，記 x（kTs）為 x（k），）為 H（n），下面給出S變換的計算步驟：

a.由式（7）對離散時間信號 x（k）進(jìn)行 FFT 得到其離散傅里葉頻譜H（m）；

b.由式（9）計算對應(yīng)于離散頻率n的高斯函數(shù)G（m，n）；

c.根據(jù)卷積定理，由離散傅里葉頻譜H（m）得到 H（m+n），并計算出 B（m，n）=H（m+n）G（m，n）；

d.由式（8）計算 B（m，n）的反傅里葉變換得到矩陣S（n，r）對應(yīng)于離散頻率n的行。

e.重復(fù)步驟b—d計算出對應(yīng)于所有的離散頻率的矩陣 S（n，r）的所有行。

2 電壓閃變檢測

2.1 閃變信號模型

電壓閃變可看成是以工頻額定電壓為載波信號，被 0.05～35 Hz低頻調(diào)幅波信號調(diào)制的結(jié)果[12]，若考慮高次諧波成分，則閃變電壓u（t）可表示為：

其中，f0為基波頻率；mi、fi、φi為第 i個調(diào)幅波的相對幅值、頻率和相位；mhj、φhj為第j次諧波的相對幅值和相位。閃變測量就是要檢出波動信號的調(diào)幅波，即各閃變分量的頻率、幅值，以便進(jìn)一步計算閃變統(tǒng)計量和衡量閃變的嚴(yán)重程度。

2.2 電壓閃變信號的S變換

由1.1節(jié)可知，S變換的結(jié)果包含了頻率-時間、幅值-時間和幅值-頻率的信息，反映了信號的時頻特征，滿足了電壓閃變信號的波動幅值、調(diào)制頻率以及閃變起止時刻的分析要求。

圖1（a）為電壓波動信號的時域波形，包含基波和8 Hz的調(diào)幅波，調(diào)幅波幅值為基波的10%；圖1（b）為其S變換的三維曲線?？梢姡?時間（采樣點(diǎn)）曲線反映了電壓信號的時域信息，幅值-頻率曲線反映了其頻域信息，而頻率-時間（采樣點(diǎn)）曲線則反映了不同頻率分量的起止時間。圖1中幅值為標(biāo)幺值，后同。

圖1 電壓閃變信號及其S變換曲線圖Fig.1 Voltage flicker signal and its S-transform curves

2.2.1 閃變信號幅值、頻率與S矩陣之間的關(guān)系

由1.2節(jié)計算出的S矩陣的行代表頻率，列代表時間，即S模矩陣的行向量為信號某一頻率處的幅值隨時間變化的分布，列向量為信號某一采樣時刻的幅值隨頻率變化的分布。

因此，S矩陣的幅值-時間曲線對應(yīng)于電壓信號的時域采樣信息，可通過對S模矩陣按列求極大值獲得，則信號的時域包絡(luò)為：

幅值-頻率曲線反映了其頻域信息，可通過對S模矩陣按行求極大值獲得，則信號各頻率成分所對應(yīng)的幅值可由式（9）得到：

2.2.2 多分辨率分析

根據(jù)不相容原理（Heisenberg不等式），采用聯(lián)合的時頻表示，不能同時得到理想的時間分辨率和頻率分辨率，兩者是一對矛盾的量。即：對于能量有限的任意信號 s（t）或窗函數(shù) h（t），其時寬和帶寬的乘積總是滿足下面的不等式：

其中，Th和Bh分別為時寬和帶寬，Δtk和Δωk分別為時間分辨率和頻率分辨率[13]。

在電壓閃變檢測中，為了得到閃變的幅值包絡(luò)，需要高的時間分辨率；而為了檢測出調(diào)制頻率，則需要高的頻率分辨率，這二者是不能同時滿足的。由1.1節(jié)可知，改變參數(shù)α的大小可以調(diào)節(jié)高斯窗口的寬度，從而改變S變換的時頻分辨率。下面討論α的大小對時域和頻域分辨率的影響。

假設(shè)電壓波動信號為基波疊加8.8 Hz的閃變分量，分別取 α 的值為0.15、2、50和 500，分析 α 的大小對時間分辨率和頻率分辨率的影響。

圖2為α取值較小（分別取0.15和2）時所對應(yīng)的信號時域、頻域曲線，圖3為α取值較大（分別取50和500）時所對應(yīng)的信號時域、頻域曲線。可見，α取值較小可以得到較好的時域波形（電壓波動包絡(luò)），如圖 2（a）、（b）所示；然而信號頻率成分分辨不出，如圖 2（c）、（d）所示，無法檢出工頻和調(diào)制頻率。隨著α的增大，對頻率的分辨越來越清晰，如圖3（d）所示，當(dāng)α取值為500時就可準(zhǔn)確檢測出50 Hz的工頻以及工頻附近的8.8 Hz的調(diào)制頻率分量，但其時域波動無法體現(xiàn)，如圖 3（a）、（b）所示?？梢?，如果時間分辨率要求高，就選取較小的α值，反之，如果頻率分辨率要求高，就選取較大的α值。

圖2 α取值較小時所對應(yīng)的信號時域和頻域曲線Fig.2 Time domain curve and frequency domain curve when α is small

圖3 α取值較大時所對應(yīng)的信號時域和頻域曲線Fig.3 Time domain curve and frequency domain curve when α is large

由以上分析可知，可以通過改變窗函數(shù)的寬度實(shí)現(xiàn)S變換的多分辨率，即通過調(diào)節(jié)α的大小，來改變其時間分辨率和頻率分辨率。選取小的α值提高時間分辨率，獲得電壓閃變信號的波動幅值，選取大的α值提高頻率分辨率得到精確的調(diào)制頻率。

3 仿真結(jié)果

3.1 單一調(diào)制頻率的電壓閃變

假設(shè)電壓工頻信號頻率為50 Hz，相對幅值為1，采樣率為500 Hz，調(diào)幅波頻率為8.8 Hz，相對幅值為10%，調(diào)幅波發(fā)生的時間為2～5 s。

圖4是S模矩陣的幅值-時間曲線，即信號的時域幅值包絡(luò)，反映了10%的調(diào)制波引起的電壓波動，起止時間對應(yīng)第1000～2500個采樣點(diǎn)，為提高時域分辨率，此時α取0.25。圖5是波動信號的頻域特性曲線，為了清晰分辨出調(diào)制頻率，排除工頻信號的影響，這里通過對包絡(luò)信號（即圖4中的信號）進(jìn)行S變換，S模矩陣所對應(yīng)的幅值-頻率曲線反映了波動信號的各頻率成分（即閃變頻率），由圖5可見，可以明顯辨識出8.8 Hz的調(diào)制頻率，此時α取值為500。圖6是S模矩陣所對應(yīng)的頻率-時間曲線，可以看出8.8 Hz的頻率發(fā)生的時間區(qū)間大致對應(yīng)第1000～2500個采樣點(diǎn)（即2～5 s），此時α取為30。

圖4 電壓閃變信號的幅值包絡(luò)曲線（α=0.25）Fig.4 Amplitude envelope curve offlicker signal（α=0.25）

圖5 波動信號的頻域特性曲線（α=500）Fig.5 Frequency domain curve offluctuation signal（α=500）

圖6 閃變發(fā)生的時間（α=30）Fig.6 Occurrence time of flicker（α=30）

3.2 多調(diào)制頻率的電壓閃變

考慮含有高次諧波時，同時包含多個調(diào)制頻率的閃變信號，假設(shè)3次和5次諧波的相對幅值分別為0.1和0.05，多頻閃變各參數(shù)設(shè)置如表1所示，其中調(diào)幅波幅值為標(biāo)幺值。

圖7是包含高次諧波的多頻閃變信號曲線。圖8是S模矩陣的幅值-時間曲線，即信號的時域幅值包絡(luò)，可以看出在不同的時間區(qū)間分別存在3種頻率的電壓波動，調(diào)制波的幅值分別為0.024、0.039和0.064。圖9是多頻閃變波動信號的頻域特性曲線，為了提高頻率分辨率，需要取較大的α值，此處α取500，幅值-頻率曲線可以明顯地分辨出3種調(diào)制頻率（即閃變頻率）分別為5 Hz、8.8 Hz和20 Hz。圖10是S模矩陣所對應(yīng)的頻率-時間曲線，可以看出各個頻率發(fā)生的時間區(qū)間與表1中的起止時刻一致。

表1 多頻閃變信號仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of multi-frequency flicker signal

圖7 電壓閃變信號Fig.7 Voltage flicker signal

圖8 多頻閃變信號的幅值包絡(luò)曲線（α=0.04）Fig.8 Amplitude envelope curve of multi-frequency flicker signal（α=0.04）

圖9 多頻閃變波動信號的頻域特性曲線（α=500）Fig.9 Frequency domain curve of multi-frequency fluctuation signal（α=500）

圖10 多頻閃變發(fā)生的時間（α=20）Fig.10 Occurrence time of multi-frequency flicker（α=20）

3.3 調(diào)幅波幅值非平穩(wěn)的閃變信號

假設(shè)幅值非平穩(wěn)的調(diào)幅波信號為：

經(jīng)此調(diào)幅波調(diào)制的電壓波動信號如圖11所示。經(jīng)S變換之后，可以得到信號的時域包絡(luò)見圖12，閃變信號的頻域特性曲線見圖13，閃變發(fā)生的起止時刻見圖14?？梢?，對于非平穩(wěn)的調(diào)幅波信號，S變換也能準(zhǔn)確檢測：閃變頻率為10 Hz，調(diào)制波幅值變化見圖12，閃變發(fā)生的時間為0～2 s和4～6s。

圖11 含有非平穩(wěn)調(diào)幅波的電壓閃變信號Fig.11 Voltage flicker signal containing nonstationary amplitude modulation wave

圖12 閃變信號的幅值包絡(luò)曲線（α=-0.05）Fig.12 Amplitude envelope curve of flicker signal（α=-0.05）

圖13 閃變信號的頻域特性曲線（α=500）Fig.13 Frequency domain curve of fluctuation signal（α=500）

圖14 閃變發(fā)生的時間（α=30）Fig.14 Occurrence time of multi-frequency flicker（α=30）

4 結(jié)論

本文介紹了一種基于S變換的時頻分析方法，對電壓閃變信號的局部特性進(jìn)行時域和頻域的二維聯(lián)合表示，S變換的結(jié)果包含了頻率-時間、幅值-時間和幅值-頻率的信息，滿足電壓閃變信號中對波動幅值、調(diào)制頻率以及閃變發(fā)生的起止時刻的分析要求。本文研究了S變換中時間分辨率和頻率分辨率的不相容性，分析了高斯窗口的寬度對分辨率的影響，即調(diào)節(jié)α的大小可以使得S變換具有多分辨率的特性，實(shí)現(xiàn)了電壓閃變的準(zhǔn)確測量，仿真結(jié)果證明了算法的有效性。