不確定環(huán)境多目標(biāo)投資組合模型及求解算法探究

錢淑渠, 韓燕飛,李曉麗

（安順學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,貴州 安順 561000）

不確定環(huán)境多目標(biāo)投資組合模型及求解算法探究

錢淑渠, 韓燕飛,李曉麗

（安順學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,貴州 安順 561000）

考慮投資市場(chǎng)的隨機(jī)動(dòng)態(tài)屬性，以Markowitz均值-方差模型為基礎(chǔ)，建立了一種不確定環(huán)境多目標(biāo)投資組合模型，模型中以天為時(shí)間單位，通過預(yù)先設(shè)定的采樣周期計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻的收益率和方差而獲得時(shí)變的投資組合模型。利用一種動(dòng)態(tài)多目標(biāo)免疫優(yōu)化算法對(duì)模型進(jìn)行實(shí)證分析，選取深滬300中的23種資產(chǎn)(2009年1-2月份)的實(shí)際日交易數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：算法能跟蹤不同時(shí)刻的收益-風(fēng)險(xiǎn)Pareto有效面，且采樣周期的選取對(duì)相同風(fēng)險(xiǎn)下的收益具有一定的影響，此結(jié)論對(duì)投資組合理論的進(jìn)一步研究具有一定價(jià)值。

投資組合模型；多目標(biāo)優(yōu)化；免疫算法；Pareto有效面

不確定投資組合問題即在瞬息萬變的投資市場(chǎng)環(huán)境，如何實(shí)時(shí)分配有限資金，使投資收益(Return)最大、風(fēng)險(xiǎn)(Risk)最小。早在1952年，Markowitz提出了一種靜態(tài)的均值-方差模型(M-V)[1]，該模型使得投資風(fēng)險(xiǎn)首次被量化，奠定了投資組合理論的研究基礎(chǔ)。繼后，大量靜態(tài)投資組合模型及其相應(yīng)的求解算法被提出：Chen等[2]基于直觀模糊優(yōu)化方法提出了M-V非對(duì)稱模糊選擇模型，并利用matlab軟件求解；Huang等[3]引入一種股票scoring機(jī)制利用模糊函數(shù)計(jì)算股票得分，進(jìn)而對(duì)投資組合資產(chǎn)進(jìn)行排序選擇，獲得一種新的模糊組合模型，并用遺傳算法對(duì)模型求解，研究了算法求解模型的有效性；Kawakami等[4]以信息率為目標(biāo)函數(shù)研究了遺傳算法對(duì)M-V模型求解的有效性; Mishra等研究了多目標(biāo)進(jìn)化算法在金融投資領(lǐng)域中的應(yīng)用，并以股票投資組合問題為實(shí)例研究的算法求解的實(shí)用性；Anagnostopoulos等研究了5種著名的多目標(biāo)進(jìn)化算法(MOEAS, NPGA2,NSGAII,SPEA2,e-MOEA)對(duì)約束M-V模型的求解的優(yōu)越性。其他參見文獻(xiàn)[5]。

實(shí)際上，投資市場(chǎng)的不確定屬性決定了投資組合問題屬一類不確定環(huán)境問題，已有的模型均在理想市場(chǎng)環(huán)境下獲得的一種靜態(tài)優(yōu)化模型，不能較真實(shí)的反應(yīng)現(xiàn)實(shí)中的不確定投資環(huán)境，且投資者往往不僅對(duì)某一種投資組合感興趣，而希望得到不同時(shí)刻的一系列風(fēng)險(xiǎn)-收益的投資組合，此決定了投資組合模型是一類不確定多目標(biāo)優(yōu)化問題，不同風(fēng)險(xiǎn)-收益點(diǎn)對(duì)構(gòu)成多目標(biāo)問題的pareto有效面，已有的數(shù)學(xué)規(guī)劃法均將多目標(biāo)問題化為單目標(biāo)問題求解，經(jīng)過選擇不同權(quán)重系數(shù)而獲得pareo有效面，算法計(jì)算量較大，為了克服此缺點(diǎn)，故需要設(shè)計(jì)更高級(jí)的優(yōu)化算法。近來，大量的學(xué)者論證了遺傳算法對(duì)投資組合模型求解的有效性, 但遺傳算法固有的局部收斂特征使得其不適應(yīng)求解該類復(fù)雜NP-hard問題，而免疫算法其群體多樣特性、強(qiáng)探索和開采能力使得其適合投資組合問題的求解，該領(lǐng)域的相關(guān)研究在國(guó)內(nèi)外還極為罕見，本研究組近年在該領(lǐng)域已做了部分初步探究，獲得部分成果[6-7]。故文中在Markowitz的M-V模型的基礎(chǔ)上，建立不確定多目標(biāo)投資組合模型 (DMPM)并利用本研究小組已設(shè)計(jì)的不確定多目標(biāo)免疫優(yōu)化算法 (DMIOA)[8]對(duì)模型求解。數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，選取深滬300的23中股票從2009年1月5日至2009年2月3日3周內(nèi)日收益率進(jìn)行實(shí)證分析，實(shí)驗(yàn)表明模型的合理性及算法的優(yōu)越性。

1 不確定多目標(biāo)投資組合模型

1.1 收益風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)

對(duì)于不確定投資組合問題，取采樣周期為p天，估計(jì)t∈Z+時(shí)刻的收益和風(fēng)險(xiǎn)，如圖1所示。

圖1 風(fēng)險(xiǎn)和收益的采樣方法示意圖Fig.1 The sample method of risk and return

設(shè)市場(chǎng)有n種可交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，資產(chǎn)i在t時(shí)刻之前 p天的收益率分別為

第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)t時(shí)刻的方差

第ik兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)t時(shí)刻的協(xié)方差

設(shè)Xi為第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比率，則資產(chǎn)i在t時(shí)刻前p天的收益分別為

則p天風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益

相應(yīng)的方差為

1.2 約束條件

因?yàn)閄為t時(shí)刻投資比率，故為了滿足投資者的預(yù)算需求，有

一般情況下考慮不允許賣空，則有

投資者在投資的過程中還會(huì)考慮到每一種資產(chǎn)的最大和最小投資比率，以便分散投資，即有

式(8)(9)(10)即為Markowitz的均值-方差模型，在此引入投資比率的約束(11)。

由式(8)～式(11)構(gòu)成一種約束不確定多目標(biāo)投資組合模型(DMPM)。

2 實(shí)證分析

根據(jù)所建立的不確定多目標(biāo)投資組合模型，投資管理者往往希望快速獲得不確定市場(chǎng)環(huán)境下分布較好的風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面以供其按自己的偏好作出不同時(shí)刻的最優(yōu)決策，故為了將模型用于實(shí)際，獲取2009年1月5日至2009年2月3日發(fā)布的深滬300的23種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（深發(fā)展A，深能源A，中興通訊，長(zhǎng)城電腦，深圳機(jī)場(chǎng)， TCL集團(tuán)，美的電器等）3周內(nèi)的日收益率(如表1)進(jìn)行實(shí)證分析，由于篇幅的限制，在此僅列出4個(gè)時(shí)刻的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

選取本研究小組已設(shè)計(jì)的算法DMIOA[13]對(duì)所建立的不確定多目標(biāo)投資組合模型進(jìn)行求解，算法中參數(shù)λ = 0.03，β =2.5，m0= 5，算法的初始群規(guī)模N = 80，指定算法所獲Pareto解集的最大規(guī)模N0= 80，算法最大迭代數(shù) G = 200。

模型DMPM中參數(shù)a1= 0.5,b1= 0.75，以2009年1月5日為初始天，根據(jù)式(1)依次獲得1月16日(t=1)，1月19日(t=2)，2月3日(t=8)期望收益率及資產(chǎn)間的方差協(xié)方差矩陣，應(yīng)用算法DMIOA所獲不同采樣周期下不同時(shí)刻Pareto有效面為圖2～圖5。

特別指出，DMIOA中環(huán)境識(shí)別依據(jù)下式確定環(huán)境t是否存在相似環(huán)境

表1 選取深滬23種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)3周內(nèi)日收益率Tab.1 Return rate of 23 assets of Shenzhen and Shanghai stock

表2 不同時(shí)刻23種資產(chǎn)的平均收益率Tab. 2 Average return of 23 assets in difference time

圖2～圖5為取不同采樣周期所獲得t由1～4時(shí)刻的風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面。首先，對(duì)于同一采樣周期，從不同時(shí)刻所獲Pareto有效面分析，由圖2獲知，當(dāng)采樣周期p=5天時(shí)，算法在4個(gè)時(shí)刻均能獲得有效的Pareto有效面，在t=2和t=3兩個(gè)時(shí)刻算法所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面范圍非常窄，當(dāng)兩時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)分別大于0.6×10-3和0.85×10-3時(shí)，不能獲得風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面，特別在t=3時(shí)相對(duì)于其他時(shí)刻在相同的風(fēng)險(xiǎn)下所獲的收益非常低，此由表2可以看出，此時(shí)刻資產(chǎn)的平均收益率較低，影響了資產(chǎn)的總投資收益，表2中t=1、2兩時(shí)刻資產(chǎn)平均收益率較高，對(duì)應(yīng)于圖2中此兩時(shí)刻所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面分布范圍非常廣，此能給投資者更多的選擇余地，此表明算法能根據(jù)時(shí)間的變化跟蹤不同時(shí)刻的Pareto有效面；同樣由圖3～圖5獲相似結(jié)論。

圖2 采樣周期p=5時(shí)DMIOA在1～4時(shí)刻所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面Fig.2 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=5 form 1 to 4 time

圖3 采樣周期p=10時(shí)DMIOA在1～4時(shí)刻所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面Fig.3 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=10 form 1 to 4 time

圖4 采樣周期p=15時(shí)DMIOA在1～4時(shí)刻所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面Fig.4 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=15 form 1 to 4 time

圖5 采樣周期p=20時(shí)DMIOA在1～4時(shí)刻所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面Fig.5 The Pareto-optimal front of risk-return obtained by DMIOA with p=20 form 1 to 4 time

其次，從不同采樣周期分析，由圖2～5獲知，對(duì)于同一時(shí)間，采樣周期不同，所獲的Pareto有效面不盡相同，由所有圖獲知，對(duì)于t=1、2、3、4時(shí)，采樣周期p=10天時(shí)所獲Pareto有效面較好，對(duì)于同一風(fēng)險(xiǎn)下所獲的收益較大(如當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)為0.8×10-3時(shí)，采樣周期p=10天在t=1時(shí)所獲收益大于0.035，在t=2、3、4時(shí)所獲收益均大于0.025，而其他采樣周期下在t=1時(shí)收益均小于0.35，在t=2、3、4時(shí)收益或小于0.025或比0.025稍大)，且Pareto有效面分布較均勻，而其他采樣周期下稍差，此表明投資組合的收益預(yù)測(cè)受采樣周期的選取影響。

綜上，算法DMIOA在不同時(shí)刻均能獲得相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面，當(dāng)取不同采樣周期時(shí)所獲Pareto有效面效果不盡相同，由實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)取采樣周期p=10時(shí)在不同時(shí)刻所獲風(fēng)險(xiǎn)-收益Pareto有效面較好，對(duì)于相同的風(fēng)險(xiǎn)下所獲收益較大。

3 結(jié) 論

文中考慮實(shí)際市場(chǎng)投資環(huán)境，建立一種不確定多目標(biāo)投資組合模型，并用利用不確定多目標(biāo)免疫優(yōu)化算法對(duì)模型求解，選取23種投資資產(chǎn)歷史數(shù)據(jù)仿真分析，表明不確定投資組合模型較靜態(tài)投資模型更能體現(xiàn)實(shí)際投資市場(chǎng)，有利于進(jìn)一步指導(dǎo)投資者如何選擇恰當(dāng)?shù)耐顿Y市場(chǎng)環(huán)境，提高投資效益，對(duì)投資組合理論研究提供了新的研究方向。接下來還需進(jìn)一步考慮其他市場(chǎng)環(huán)境，建立更合理的不確定投資組合模型及其求解算法的研究工作。

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Study of uncertain environment multi-objective portfolio model and solving algorithm

QIAN Shu-qu, HAN Yan-fei, LI Xiao-li
（School of Mathematics and Physics Science, Anshun University, Anshun 561000,China）

A uncertain multi-objective portfolio model that based on Markovits mean-variance model is proposed,which considers the time-changing nature of the problem emerges from the fact that market conditions and asset performance change continuously, the model unit of time in days, the return rate and variance are obtained by predetermined sampling period. the existing immune optimization algorithm for dynamic multi-objective empirical is used to analysis the performance of the model, Selecting the actual data of 1-2 months transaction of the 23 kinds of assets of Shanghai and Shenzhen 300 in 2009, results show that: the algorithm can track the dynamic Pareto efficient frontier, and the return is effected by the sampling period, the conclusion of the experience has a certain reference value for further theory research of portfolio.

portfolio model; multi-objective optimization; immune algorithm; Pareto efficient frontier

TN911.2

A

1674-6236(2014)14-0013-04

2014-03-17 稿件編號(hào)：201403172

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目資助(黔科合J字[2012]2002號(hào))；安順學(xué)院SRT項(xiàng)目資助(2013SRT03)

錢淑渠(1978—)，男，安徽樅陽人，碩士，副教授。研究方向:智能優(yōu)化算法、數(shù)學(xué)建模。