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      均值不等式在物理中的應(yīng)用兩例

      2014-09-22 10:41李志邊
      理科考試研究·高中 2014年9期
      關(guān)鍵詞:最低點(diǎn)拉力公式

      李志邊

      不等式中有一個不僅常見而且非常重要的不等式:均值不等式.具體公式:a,b∈R+,a+b≥2ab,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).這個公式不僅在數(shù)學(xué)中非常重要,在物理中的應(yīng)用也非常廣泛.舉兩個例子說明.

      因此,兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5 m時,落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

      例2(2010年重慶理綜)小明站在水平地面上,手握不可伸長的輕繩一端,繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球,甩動手腕,使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時,繩突然斷掉,球飛離水平距離d后落地,如題2圖所示.已知握繩的手離地面高度為d,手與球之間的繩長為34d,重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力.(1)求繩斷時球的速度大小v1,和球落地時的速度大小v2.(2)問繩能承受的最大拉力多大?(3)改變繩長,使球重復(fù)上述運(yùn)動.若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉,要使球拋出的水平距離最大,繩長應(yīng)為多少?最大水平距離為多少?

      解析(1)設(shè)繩段后球飛行時間為t,由平拋運(yùn)動規(guī)律,有豎直方向14d=12gt2,水平方向d=v1t得v1=2gd,由機(jī)械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg(d-34d),得v2=52gd.(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T,這也是球受到繩的最大拉力大小.

      球做圓周運(yùn)動的半徑為R=34d,由圓周運(yùn)動向心力公式

      (3)設(shè)繩長為l,繩斷時球的速度大小為v3,繩承受的最大推力不變,有T-mg=mv23l,得v3=83gl繩斷后球做平拋運(yùn)動,豎直位移為d-l,水平位移為x,時間為t1,有d-l=12gt21,x=v3t1,得x=4l(d-l)3≤413(l+(d-l)2)2=233d,當(dāng)且僅當(dāng)l=d-l,即l=d2時,x有極大值,xmax=233d.

      審題的關(guān)鍵是對不同的過程進(jìn)行準(zhǔn)確分析,找到相應(yīng)的知識,對癥下藥,巧妙地選取運(yùn)動過程,使問題得到簡化,靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識,特別是簡單常用的數(shù)學(xué)模型,是解決極值問題和范圍等問題的有效工具.endprint

      不等式中有一個不僅常見而且非常重要的不等式:均值不等式.具體公式:a,b∈R+,a+b≥2ab,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).這個公式不僅在數(shù)學(xué)中非常重要,在物理中的應(yīng)用也非常廣泛.舉兩個例子說明.

      因此,兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5 m時,落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

      例2(2010年重慶理綜)小明站在水平地面上,手握不可伸長的輕繩一端,繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球,甩動手腕,使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時,繩突然斷掉,球飛離水平距離d后落地,如題2圖所示.已知握繩的手離地面高度為d,手與球之間的繩長為34d,重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力.(1)求繩斷時球的速度大小v1,和球落地時的速度大小v2.(2)問繩能承受的最大拉力多大?(3)改變繩長,使球重復(fù)上述運(yùn)動.若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉,要使球拋出的水平距離最大,繩長應(yīng)為多少?最大水平距離為多少?

      解析(1)設(shè)繩段后球飛行時間為t,由平拋運(yùn)動規(guī)律,有豎直方向14d=12gt2,水平方向d=v1t得v1=2gd,由機(jī)械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg(d-34d),得v2=52gd.(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T,這也是球受到繩的最大拉力大小.

      球做圓周運(yùn)動的半徑為R=34d,由圓周運(yùn)動向心力公式

      (3)設(shè)繩長為l,繩斷時球的速度大小為v3,繩承受的最大推力不變,有T-mg=mv23l,得v3=83gl繩斷后球做平拋運(yùn)動,豎直位移為d-l,水平位移為x,時間為t1,有d-l=12gt21,x=v3t1,得x=4l(d-l)3≤413(l+(d-l)2)2=233d,當(dāng)且僅當(dāng)l=d-l,即l=d2時,x有極大值,xmax=233d.

      審題的關(guān)鍵是對不同的過程進(jìn)行準(zhǔn)確分析,找到相應(yīng)的知識,對癥下藥,巧妙地選取運(yùn)動過程,使問題得到簡化,靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識,特別是簡單常用的數(shù)學(xué)模型,是解決極值問題和范圍等問題的有效工具.endprint

      不等式中有一個不僅常見而且非常重要的不等式:均值不等式.具體公式:a,b∈R+,a+b≥2ab,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).這個公式不僅在數(shù)學(xué)中非常重要,在物理中的應(yīng)用也非常廣泛.舉兩個例子說明.

      因此,兩人的看法均不正確.當(dāng)繩長越接近1.5 m時,落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

      例2(2010年重慶理綜)小明站在水平地面上,手握不可伸長的輕繩一端,繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球,甩動手腕,使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時,繩突然斷掉,球飛離水平距離d后落地,如題2圖所示.已知握繩的手離地面高度為d,手與球之間的繩長為34d,重力加速度為g.忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力.(1)求繩斷時球的速度大小v1,和球落地時的速度大小v2.(2)問繩能承受的最大拉力多大?(3)改變繩長,使球重復(fù)上述運(yùn)動.若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時斷掉,要使球拋出的水平距離最大,繩長應(yīng)為多少?最大水平距離為多少?

      解析(1)設(shè)繩段后球飛行時間為t,由平拋運(yùn)動規(guī)律,有豎直方向14d=12gt2,水平方向d=v1t得v1=2gd,由機(jī)械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg(d-34d),得v2=52gd.(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T,這也是球受到繩的最大拉力大小.

      球做圓周運(yùn)動的半徑為R=34d,由圓周運(yùn)動向心力公式

      (3)設(shè)繩長為l,繩斷時球的速度大小為v3,繩承受的最大推力不變,有T-mg=mv23l,得v3=83gl繩斷后球做平拋運(yùn)動,豎直位移為d-l,水平位移為x,時間為t1,有d-l=12gt21,x=v3t1,得x=4l(d-l)3≤413(l+(d-l)2)2=233d,當(dāng)且僅當(dāng)l=d-l,即l=d2時,x有極大值,xmax=233d.

      審題的關(guān)鍵是對不同的過程進(jìn)行準(zhǔn)確分析,找到相應(yīng)的知識,對癥下藥,巧妙地選取運(yùn)動過程,使問題得到簡化,靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識,特別是簡單常用的數(shù)學(xué)模型,是解決極值問題和范圍等問題的有效工具.endprint

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