圓錐曲線中點弦問題解法探究

鄒艷

直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，這類問題一般有以下幾種類型：（1）求中點弦所在的直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）弦長為定值時，弦的中點坐標(biāo)問題等.其解法有點差法、待定系數(shù)法、參數(shù)法以及中心對稱變換法等，但最常用的方法為點差法和待定系數(shù)法.

一、求中點弦所在直線方程問題

【例1】已知一直線與橢圓x214+y212=1交于A、B兩點，弦AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），求直線AB的方程.

解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

設(shè)直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直線AB的方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（點差法）：設(shè)直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B兩點在橢圓上，

則x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直線方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（參數(shù)法）：設(shè)直線AB的參數(shù)方程為x=1+tcosα

y=1+tsinα（t為參數(shù)），代入橢圓方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直線AB的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得所求直線方程為x+2y-3=0.

二、求中點弦中點的軌跡方程問題

【例2】過雙曲線x2136-y219=1上一點P（-6，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程.

解法一（點差法）：設(shè)弦PQ中點M（x，y），弦端點P（x1，y1），Q（x2，y2），

則有x21-4y21=36

x22-4y22=36，兩式相減得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因為 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化簡可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心對稱變換法）：設(shè)弦中點M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因為Q在雙曲線上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中點M的軌跡方程為（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.本題所給出的兩種方法，都是找動點（x，y）與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于x，y的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程.

一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關(guān)鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系，而更優(yōu)的解法則是點差法，因為點差法方法簡單，結(jié)構(gòu)精巧，應(yīng)用特征明顯，利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題興趣.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）endprint

直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，這類問題一般有以下幾種類型：（1）求中點弦所在的直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）弦長為定值時，弦的中點坐標(biāo)問題等.其解法有點差法、待定系數(shù)法、參數(shù)法以及中心對稱變換法等，但最常用的方法為點差法和待定系數(shù)法.

一、求中點弦所在直線方程問題

【例1】已知一直線與橢圓x214+y212=1交于A、B兩點，弦AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），求直線AB的方程.

解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

設(shè)直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直線AB的方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（點差法）：設(shè)直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B兩點在橢圓上，

則x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直線方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（參數(shù)法）：設(shè)直線AB的參數(shù)方程為x=1+tcosα

y=1+tsinα（t為參數(shù)），代入橢圓方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直線AB的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得所求直線方程為x+2y-3=0.

二、求中點弦中點的軌跡方程問題

【例2】過雙曲線x2136-y219=1上一點P（-6，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程.

解法一（點差法）：設(shè)弦PQ中點M（x，y），弦端點P（x1，y1），Q（x2，y2），

則有x21-4y21=36

x22-4y22=36，兩式相減得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因為 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化簡可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心對稱變換法）：設(shè)弦中點M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因為Q在雙曲線上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中點M的軌跡方程為（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.本題所給出的兩種方法，都是找動點（x，y）與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于x，y的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程.

一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關(guān)鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系，而更優(yōu)的解法則是點差法，因為點差法方法簡單，結(jié)構(gòu)精巧，應(yīng)用特征明顯，利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題興趣.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）endprint

直線與圓錐曲線相交所得弦的中點問題是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，這類問題一般有以下幾種類型：（1）求中點弦所在的直線方程問題；（2）求弦中點的軌跡方程問題；（3）弦長為定值時，弦的中點坐標(biāo)問題等.其解法有點差法、待定系數(shù)法、參數(shù)法以及中心對稱變換法等，但最常用的方法為點差法和待定系數(shù)法.

一、求中點弦所在直線方程問題

【例1】已知一直線與橢圓x214+y212=1交于A、B兩點，弦AB的中點坐標(biāo)為M（1，1），求直線AB的方程.

解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

設(shè)直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直線AB的方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（點差法）：設(shè)直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B兩點在橢圓上，

則x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直線方程為：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（參數(shù)法）：設(shè)直線AB的參數(shù)方程為x=1+tcosα

y=1+tsinα（t為參數(shù)），代入橢圓方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M(jìn)（1，1）是AB的中點，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直線AB的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得所求直線方程為x+2y-3=0.

二、求中點弦中點的軌跡方程問題

【例2】過雙曲線x2136-y219=1上一點P（-6，0）作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程.

解法一（點差法）：設(shè)弦PQ中點M（x，y），弦端點P（x1，y1），Q（x2，y2），

則有x21-4y21=36

x22-4y22=36，兩式相減得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因為 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化簡可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心對稱變換法）：設(shè)弦中點M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因為Q在雙曲線上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中點M的軌跡方程為（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求點的軌跡方程即是求曲線上的點的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.本題所給出的兩種方法，都是找動點（x，y）與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于x，y的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程.

一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關(guān)鍵在于充分利用“中點”這一條件，靈活運用中點坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系，而更優(yōu)的解法則是點差法，因為點差法方法簡單，結(jié)構(gòu)精巧，應(yīng)用特征明顯，利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題興趣.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）endprint