一道經(jīng)典例題的解法探究及拓展

葉景輝　吳偉朝

一、例題賞析

在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某20張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值100元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券2張，每張可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有三等獎(jiǎng)券5張，每張可獲價(jià)值20元的獎(jiǎng)品.某顧客從20張券中任抽2張，求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望.

解析：如果顧客從20張券中任抽2張，則x的所有可能取值為0，20，40，50，70，100，120，150.由于顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值x服從超幾何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列為

從而顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

點(diǎn)評(píng)：以上解題思路是先求出X的所有可能取值，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布，并結(jié)合離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的求解方式得出相應(yīng)結(jié)果，整個(gè)計(jì)算過程的復(fù)雜程度適中.

二、例題拓展

如果將以上例題的條件“某顧客從20張券中任抽2張”改為“某顧客從20張券中任抽3張”，其他條件不變，這時(shí)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望是多少？

解析：如果顧客從20張券中任抽3張，那么此時(shí)X的所有可能取值為0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列為

從而顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

點(diǎn)評(píng)：通過以上對(duì)比分析，我們可以得知：若顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值有8種；若顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值有13種.同時(shí)，離散型隨機(jī)變量在這兩種情況下都服從超幾何分布，所以，我們都可以根據(jù)X的不同分布列求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望.隨著抽取張數(shù)的增加，我們可以發(fā)現(xiàn)：獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值種數(shù)也隨著增加，計(jì)算量也越來越大，X的分布列也變得越來越復(fù)雜，從而使計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望的難度也逐漸增加.

三、例題反思

在離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布的條件下，當(dāng)X的所有可能取值種數(shù)較少時(shí)，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望相對(duì)比較容易；而當(dāng)X的所有可能取值種數(shù)較多時(shí)，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望相對(duì)比較復(fù)雜.對(duì)此，我們可以提出這樣的問題：是否有一種比較簡(jiǎn)單的方法能解決這樣的問題？

解析：離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望所表示的意義，在于反映離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平，由此我們產(chǎn)生一種新的思路，建立一種新的解法.因?yàn)?0張券總的價(jià)值為100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每張券的獎(jiǎng)品平均價(jià)值為300120=15（元）.因此，當(dāng)顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=15×2=30（元）；當(dāng)顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=15×3=45（元）.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望所表示的意義，分別求解顧客從20張券中任抽2張、任抽3張獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望，所得的結(jié)果與前面利用超幾何分布求出的數(shù)學(xué)期望是相符的.利用這種思路去探究類似的問題，有助于簡(jiǎn)化解題過程.在解答一些選擇題、填空題時(shí)，這種解法也有助于為考生節(jié)省更多的時(shí)間.

參考文獻(xiàn)

[1]課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中學(xué)數(shù)學(xué)大全[M].北京：外文出版社，2010.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）endprint

一、例題賞析

在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某20張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值100元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券2張，每張可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有三等獎(jiǎng)券5張，每張可獲價(jià)值20元的獎(jiǎng)品.某顧客從20張券中任抽2張，求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望.

解析：如果顧客從20張券中任抽2張，則x的所有可能取值為0，20，40，50，70，100，120，150.由于顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值x服從超幾何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列為

從而顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

點(diǎn)評(píng)：以上解題思路是先求出X的所有可能取值，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布，并結(jié)合離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的求解方式得出相應(yīng)結(jié)果，整個(gè)計(jì)算過程的復(fù)雜程度適中.

二、例題拓展

如果將以上例題的條件“某顧客從20張券中任抽2張”改為“某顧客從20張券中任抽3張”，其他條件不變，這時(shí)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望是多少？

解析：如果顧客從20張券中任抽3張，那么此時(shí)X的所有可能取值為0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列為

從而顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

點(diǎn)評(píng)：通過以上對(duì)比分析，我們可以得知：若顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值有8種；若顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值有13種.同時(shí)，離散型隨機(jī)變量在這兩種情況下都服從超幾何分布，所以，我們都可以根據(jù)X的不同分布列求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望.隨著抽取張數(shù)的增加，我們可以發(fā)現(xiàn)：獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值種數(shù)也隨著增加，計(jì)算量也越來越大，X的分布列也變得越來越復(fù)雜，從而使計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望的難度也逐漸增加.

三、例題反思

在離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布的條件下，當(dāng)X的所有可能取值種數(shù)較少時(shí)，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望相對(duì)比較容易；而當(dāng)X的所有可能取值種數(shù)較多時(shí)，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望相對(duì)比較復(fù)雜.對(duì)此，我們可以提出這樣的問題：是否有一種比較簡(jiǎn)單的方法能解決這樣的問題？

解析：離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望所表示的意義，在于反映離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平，由此我們產(chǎn)生一種新的思路，建立一種新的解法.因?yàn)?0張券總的價(jià)值為100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每張券的獎(jiǎng)品平均價(jià)值為300120=15（元）.因此，當(dāng)顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=15×2=30（元）；當(dāng)顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=15×3=45（元）.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望所表示的意義，分別求解顧客從20張券中任抽2張、任抽3張獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望，所得的結(jié)果與前面利用超幾何分布求出的數(shù)學(xué)期望是相符的.利用這種思路去探究類似的問題，有助于簡(jiǎn)化解題過程.在解答一些選擇題、填空題時(shí)，這種解法也有助于為考生節(jié)省更多的時(shí)間.

參考文獻(xiàn)

[1]課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中學(xué)數(shù)學(xué)大全[M].北京：外文出版社，2010.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）endprint

一、例題賞析

在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某20張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值100元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券2張，每張可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有三等獎(jiǎng)券5張，每張可獲價(jià)值20元的獎(jiǎng)品.某顧客從20張券中任抽2張，求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望.

解析：如果顧客從20張券中任抽2張，則x的所有可能取值為0，20，40，50，70，100，120，150.由于顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值x服從超幾何分布，因此，P（X=0）=C2121C220=33195，P（X=20）=C15C1121C220=6119，P（X=40）=C251C220=1119，P（X=50）=C12C1121C220=12195，P（X=70）=C12C151C220=1119，P（X=100）=C11C112+C221C220=131190，P（X=120）=C11C151C220=1138，P（X=150）=C11C121C220=1195.所以，X的分布列為

從而顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=0×33195+20×6119+40×1119+50×12195+70×1119+100×131190+120×1138+150×1195=30（元）.

點(diǎn)評(píng)：以上解題思路是先求出X的所有可能取值，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布，并結(jié)合離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的求解方式得出相應(yīng)結(jié)果，整個(gè)計(jì)算過程的復(fù)雜程度適中.

二、例題拓展

如果將以上例題的條件“某顧客從20張券中任抽2張”改為“某顧客從20張券中任抽3張”，其他條件不變，這時(shí)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望是多少？

解析：如果顧客從20張券中任抽3張，那么此時(shí)X的所有可能取值為0，20，40，50，60，70，90，100，120，140，150，170，200.同上可求得X的分布列為

從而顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=0×11157+20×11138+40×2119+50×11195+60×11114+70×2119+90×1157+100×131190+120×131228+140×11114+150×2195+170×11114+200×111140=45（元）.

點(diǎn)評(píng)：通過以上對(duì)比分析，我們可以得知：若顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值有8種；若顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值有13種.同時(shí)，離散型隨機(jī)變量在這兩種情況下都服從超幾何分布，所以，我們都可以根據(jù)X的不同分布列求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望.隨著抽取張數(shù)的增加，我們可以發(fā)現(xiàn)：獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的所有可能取值種數(shù)也隨著增加，計(jì)算量也越來越大，X的分布列也變得越來越復(fù)雜，從而使計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望的難度也逐漸增加.

三、例題反思

在離散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布的條件下，當(dāng)X的所有可能取值種數(shù)較少時(shí)，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望相對(duì)比較容易；而當(dāng)X的所有可能取值種數(shù)較多時(shí)，計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望相對(duì)比較復(fù)雜.對(duì)此，我們可以提出這樣的問題：是否有一種比較簡(jiǎn)單的方法能解決這樣的問題？

解析：離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望所表示的意義，在于反映離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平，由此我們產(chǎn)生一種新的思路，建立一種新的解法.因?yàn)?0張券總的價(jià)值為100×1+50×2+20×5=300（元），所以，每張券的獎(jiǎng)品平均價(jià)值為300120=15（元）.因此，當(dāng)顧客從20張券中任抽2張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=15×2=30（元）；當(dāng)顧客從20張券中任抽3張，獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=15×3=45（元）.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望所表示的意義，分別求解顧客從20張券中任抽2張、任抽3張獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的數(shù)學(xué)期望，所得的結(jié)果與前面利用超幾何分布求出的數(shù)學(xué)期望是相符的.利用這種思路去探究類似的問題，有助于簡(jiǎn)化解題過程.在解答一些選擇題、填空題時(shí)，這種解法也有助于為考生節(jié)省更多的時(shí)間.

參考文獻(xiàn)

[1]課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2009.

[2]丁益祥.中學(xué)數(shù)學(xué)大全[M].北京：外文出版社，2010.

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